njtynhj

  「偏微分」重定向至此。關於含有未知函数及其偏导数的方程，詳見「偏微分方程」。

在数学中，一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数，而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何，以及机器学习中是很有用的。

函数fdisplaystyle f关于变量xdisplaystyle x的偏导数写为fx′displaystyle f_x^prime 或∂f∂xdisplaystyle frac partial fpartial x。偏导数符号∂displaystyle partial 是全导数符号ddisplaystyle d的变体，这个符号是阿德里安-马里·勒让德引入的，并在雅可比的重新引入后得到普遍接受。

简介

假设ƒ是一个多元函数。例如：

z=f(x,y)=x2+xy+y2displaystyle z=f(x,y)=x^2+xy+y^2

f = x² + xy + y²的图像。我们希望求出函数在点（1, 1, 3）的对x的偏导数；对应的切线与xOz平面平行。

因为曲面上的每一点都有无穷多条切线，描述这种函数的导数相当困难。偏导数就是选择其中一条切线，并求出它的斜率。通常，最感兴趣的是垂直于y轴（平行于xOz平面）的切线，以及垂直于x轴（平行于yOz平面）的切线。

这是右图中y = 1时的图像片段。

一种求出这些切线的好办法是把其他变量视为常数。例如，欲求出以上的函数在点（1, 1, 3）的与xOz平面平行的切线。右图中显示了函数的图像以及这个平面。左图中显示了函数在平面y = 1上是什么样的。我们把变量y视为常数，通过对方程求导，我们发现ƒ在点（x, y, z）的。我们把它记为：

∂z∂x=2x+ydisplaystyle frac partial zpartial x=2x+y

于是在点（1, 1, 3）的与xOz平面平行的切线的斜率是3。

∂f∂x=3displaystyle frac partial fpartial x=3

在点（1, 1, 3），或称“f在（1, 1, 3）的关于x的偏导数是3”。

定义

函数f可以解释为y为自变量而x为常数的函数：

f(x,y)=fx(y)=x2+xy+y2displaystyle f(x,y)=f_x(y)=,!x^2+xy+y^2。

也就是说，每一个x的值定义了一个函数，记为f_x，它是一个一元函数。也就是说：

fx(y)=x2+xy+y2displaystyle f_x(y)=x^2+xy+y^2。

一旦选择了一个x的值，例如a，那么f(x,y)便定义了一个函数f_a，把y映射到a² + ay + y²：

fa(y)=a2+ay+y2displaystyle f_a(y)=a^2+ay+y^2。

在这个表达式中，a是常数，而不是变量，因此f_a是只有一个变量的函数，这个变量是y。这样，便可以使用一元函数的导数的定义：

fa′(y)=a+2ydisplaystyle f_a'(y)=a+2y

以上的步骤适用于任何a的选择。把这些导数合并起来，便得到了一个函数，它描述了f在y方向上的变化：

∂f∂y(x,y)=x+2ydisplaystyle frac partial fpartial y(x,y)=x+2y

这就是f关于y的偏导数，在这裡，∂是一个弯曲的d，称为偏导数符号。为了把它与字母d区分，∂有时读作“der”、“del”、“dah”或“偏”，而不是“dee”。

一般地，函数f(x₁,...,x_n)在点（a₁,...,a_n）关于x_i的偏导数定义为：

∂f∂xi(a1,…,an)=limh→0f(a1,…,ai+h,…,an)−f(a1,…,an)hdisplaystyle frac partial fpartial x_i(a_1,ldots ,a_n)=lim _hto 0frac f(a_1,ldots ,a_i+h,ldots ,a_n)-f(a_1,ldots ,a_n)h

在以上的差商中，除了x_i以外的所有变量都是固定的。这个固定值的选择决定了一个一元函数fa1,…,ai−1,ai+1,…,an(xi)=f(a1,…,ai−1,xi,ai+1,…,an)displaystyle f_a_1,ldots ,a_i-1,a_i+1,ldots ,a_n(x_i)=f(a_1,ldots ,a_i-1,x_i,a_i+1,ldots ,a_n)，根据定义，

dfa1,…,ai−1,ai+1,…,andxi(a1,…,an)=∂f∂xi(a1,…,an)displaystyle frac df_a_1,ldots ,a_i-1,a_i+1,ldots ,a_ndx_i(a_1,ldots ,a_n)=frac partial fpartial x_i(a_1,ldots ,a_n)

这个表达式说明了偏导数的计算可以化为一元导数的计算。

多变量函数的一个重要的例子，是欧几里德空间Rⁿ（例如R²或R³）上的标量值函数f(x₁,...x_n)。在这种情况下，f关于每一个变量x_j具有偏导数∂f/∂x_j。在点a，这些偏导数定义了一个向量：

∇f(a)=(∂f∂x1(a),…,∂f∂xn(a))displaystyle nabla f(a)=left(frac partial fpartial x_1(a),ldots ,frac partial fpartial x_n(a)right)

这个向量称为f在点a的梯度。如果f在定义域中的每一个点都是可微的，那么梯度便是一个向量值函数∇f，它把点a映射到向量∇f（a）。这样，梯度便决定了一个向量场。

一个常见的符号滥用是在欧几里得空间R³中用单位向量 i^,j^,k^displaystyle mathbf hat i ,mathbf hat j ,mathbf hat k 来定义Nabla算子 (∇) 如下:

∇=[∂∂x]i^+[∂∂y]j^+[∂∂z]k^displaystyle nabla =bigg [frac partial partial xbigg ]mathbf hat i +bigg [frac partial partial ybigg ]mathbf hat j +bigg [frac partial partial zbigg ]mathbf hat k

或者，更一般地，对于n维欧几里得空间Rⁿ 的坐标(x₁, x₂, x₃,...,x_n)和单位向量(e^1,e^2,e^3,…,e^ndisplaystyle mathbf hat e_1 ,mathbf hat e_2 ,mathbf hat e_3 ,dots ,mathbf hat e_n ):

∇=∑j=1n[∂∂xj]e^j=[∂∂x1]e^1+[∂∂x2]e^2+[∂∂x3]e^3+⋯+[∂∂xn]e^ndisplaystyle nabla =sum _j=1^nbigg [frac partial partial x_jbigg ]mathbf hat e_j =bigg [frac partial partial x_1bigg ]mathbf hat e_1 +bigg [frac partial partial x_2bigg ]mathbf hat e_2 +bigg [frac partial partial x_3bigg ]mathbf hat e_3 +dots +bigg [frac partial partial x_nbigg ]mathbf hat e_n

例子

圆锥的体积与它的高度和半径有关

考虑一个圆锥的体积V；它与高度h和半径r有以下的关系：

V(r,h)=πr2h3displaystyle V(r,h)=frac pi r^2h3。

V关于r的偏导数为：

∂V∂r=2πrh3displaystyle frac partial Vpartial r=frac 2pi rh3 它描述了高度固定而半径变化时，圆锥的体积的变化率。

V关于h的偏导数为：

∂V∂h=πr23displaystyle frac partial Vpartial h=frac pi r^23 它描述了半径固定而高度变化时，圆锥的体积的变化率。

现在考虑V关于r和h的全导数。它们分别是：

d⁡Vd⁡r=2πrh3⏞∂V∂r+πr23⏞∂V∂h∂h∂rdisplaystyle frac operatorname d Voperatorname d r=overbrace frac 2pi rh3 ^frac partial Vpartial r+overbrace frac pi r^23 ^frac partial Vpartial hfrac partial hpartial r

以及

d⁡Vd⁡h=πr23⏞∂V∂h+2πrh3⏞∂V∂r∂r∂hdisplaystyle frac operatorname d Voperatorname d h=overbrace frac pi r^23 ^frac partial Vpartial h+overbrace frac 2pi rh3 ^frac partial Vpartial rfrac partial rpartial h

现在假设，由于某些原因，高度和半径的比k需要是固定的：

k=hr=∂h∂rdisplaystyle k=frac hr=frac partial hpartial r

这便给出了关于r的全导数：

d⁡Vd⁡r=2πrh3+kπr23displaystyle frac operatorname d Voperatorname d r=frac 2pi rh3+kfrac pi r^23

可以化简为：

d⁡Vd⁡r=kπr2displaystyle frac operatorname d Voperatorname d r=kpi r^2

类似地，关于h的全导数是：

d⁡Vd⁡h=kπr2displaystyle frac operatorname d Voperatorname d h=kpi r^2

含有未知函数的偏导数的方程，称为偏微分方程，它在物理学、工程学，以及其它应用科学中经常会见到。

与关于r和h二者相关的全导数是由雅可比矩阵给出的，它的形式为梯度向量∇V=(∂V∂r,∂V∂h)=(23πrh,13πr2)displaystyle nabla V=(frac partial Vpartial r,frac partial Vpartial h)=(frac 23pi rh,frac 13pi r^2)。

记法

在以下的例子中，设f为x、y和z的函数。

f的一阶偏导数为：

∂f∂x=fx=∂xfdisplaystyle frac partial fpartial x=f_x=partial _xf

二阶偏导数为：

∂2f∂x2=fxx=∂xxfdisplaystyle frac partial ^2fpartial x^2=f_xx=partial _xxf

二阶混合偏导数为：

∂2f∂y∂x=∂∂y(∂f∂x)=fxy=∂yxfdisplaystyle frac partial ^2fpartial y,partial x=frac partial partial yleft(frac partial fpartial xright)=f_xy=partial _yxf

高阶偏导数为：

∂i+j+kf∂xi∂yj∂zk=f(i,j,k)displaystyle frac partial ^i+j+kfpartial x^i,partial y^j,partial z^k=f^(i,j,k)

当处理多变量函数时，有些变量可能互相有关，这样就需要明确指定哪些变量是固定的。在诸如统计力学的领域中，f关于x的偏导数，把y和z视为常数，通常记为：

(∂f∂x)y,zdisplaystyle left(frac partial fpartial xright)_y,z

正式定义和性质

像导数一样，偏导数也是定义为一个极限。设U为Rⁿ的一个开子集，f : U → R是一个函数。我们定义f在点a = (a₁, ..., a_n) ∈ U关于第i个变量x_i的偏导数为：

∂∂xif(a)=limh→0f(a1,…,ai−1,ai+h,ai+1,…,an)−f(a1,…,an)hdisplaystyle frac partial partial x_if(mathbf a )=lim _hrightarrow 0f(a_1,dots ,a_i-1,a_i+h,a_i+1,dots ,a_n)-f(a_1,dots ,a_n) over hlim_h rightarrow 0
f(a_1, dots , a_i-1, a_i+h, a_i+1, dots ,a_n) -
f(a_1, dots ,a_n) over h "/>

即使在某个给定的点a，所有的偏导数∂f/∂x_i(a)都存在，函数仍然不一定在该点连续。然而，如果所有的偏导数在a的一个邻域内存在并连续，那么f在该邻域内完全可微分，且全导数是连续的。在这种情况下，我们称f是一个C¹函数。

偏导数∂f∂xdisplaystyle frac partial fpartial x可以视为定义在U内的另外一个函数，并可以再次求偏导数。如果所有的混合二阶偏导数在某个点（或集合）连续，我们便称f为在该点（或集合）的一个C²函数；在这种情况下，根据克莱罗定理，偏导数可以互相交换：

∂2f∂xi∂xj=∂2f∂xj∂xidisplaystyle frac partial ^2fpartial x_i,partial x_j=frac partial ^2fpartial x_j,partial x_i。

参考文献

• 
  George B. Thomas & Ross L. Finney. Calculus and Analytic Geometry. Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1994: 833–840. ISBN 0-201-52929-7. 
  

参见