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在数学中，微分算子是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上，将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的，它接受一个函数得到另一个函数（以计算机科学中高阶函数的方式）。

当然有理由不单限制于线性算子；例如施瓦茨导数是一个熟知的非线性算子。不过这里只考虑线性的情形。

记号

最常用的微分算子是取导数自身。这个算子的常用记号包括：

ddxdisplaystyle d over dx

Ddisplaystyle D，这里关于哪个变量微分是清楚的，以及

Dxdisplaystyle D_x，这里指明了变量。

一阶导数如上所示，但当取更高阶n-次导数时，下列替代性记号是有用的：

dndxndisplaystyle d^n over dx^n

Dndisplaystyle D^n

Dxndisplaystyle D_x^n

记号D的发明与使用归于奥利弗·亥维赛，他在研究微分方程中考虑了如下形式的微分算子

∑k=0nckDkdisplaystyle sum _k=0^nc_kD^k

另一个最常见的微分算子是拉普拉斯算子，定义为

Δ=∇2=∑k=1n∂2∂xk2displaystyle Delta =nabla ^2=sum _k=1^npartial ^2 over partial x_k^2

另一个微分算子是Θ算子，定义为

Θ=zddzdisplaystyle Theta =zd over dz

有时候这也称为齐次算子，因为它的本征函数是关于z的单项式：

Θ(zk)=kzk,k=0,1,2,…displaystyle Theta (z^k)=kz^k,quad k=0,1,2,dots

在n个变量中齐次算子由

Θ=∑k=1nxk∂∂xkdisplaystyle Theta =sum _k=1^nx_kfrac partial partial x_k

给出。与单变量一样，Θ的本征空间是齐次多项式空间。

一个算子的伴随

给定一个线性微分算子T

Tu=∑k=0nak(x)Dkudisplaystyle Tu=sum _k=0^na_k(x)D^ku，

这个算子的伴随定义为算子T∗displaystyle T^*使得

⟨Tu,v⟩=⟨u,T∗v⟩displaystyle langle Tu,vrangle =langle u,T^*vrangle

这里记号⟨⋅,⋅⟩displaystyle langle cdot ,cdot rangle 表示数量积或点积。从而此定义取决于数乘的定义。

单变量中的形式伴随

在平方可积函数空间中，数量积定义为

⟨f,g⟩=∫abf(x)g(x)¯dxdisplaystyle langle f,grangle =int _a^bf(x),overline g(x),dx

如果另外增添要求f或g当x→adisplaystyle xto a与x→bdisplaystyle xto b等于零，我们也可定义T的伴随为

T∗u=∑k=0n(−1)kDk[ak(x)u]displaystyle T^*u=sum _k=0^n(-1)^kD^k[a_k(x)u]

此公式不明显地取决于数量积的定义，故有时作为伴随算子的一个定义。当T∗displaystyle T^*用这个公式定义时，它称为T的形式伴随。

一个（形式）自伴算子是与它的（形式）伴随相等的算子。

多变量

如果Ω是Rⁿ中一个区域，而P是Ω上一个微分算子，则P在L²(Ω)中的伴随由对偶性以类似的方式定义：

⟨f,P∗g⟩L2(Ω)=⟨Pf,g⟩L2(Ω)displaystyle langle f,P^*grangle _L^2(Omega )=langle Pf,grangle _L^2(Omega )

对所有光滑L²函数f与g。因为光滑函数在L²中是稠密的，这在L²的一个稠密子集上定义了伴随：: P^*是一个稠定算子。

例子

施图姆-刘维尔算子是形式自伴算子一个熟知的例子。这个二阶微分算子L可以写成如下形式

Lu=−(pu′)′+qu=−(pu″+p′u′)+qu=−pu″−p′u′+qu=(−p)D2u+(−p′)Du+(q)u.displaystyle Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^2u+(-p')Du+(q)u.;!

这个性质可用上面的形式自伴的定义来证明。

L∗u=(−1)2D2[(−p)u]+(−1)1D[(−p′)u]+(−1)0(qu)=−D2(pu)+D(p′u)+qu=−(pu)″+(p′u)′+qu=−p″u−2p′u′−pu″+p″u+p′u′+qu=−p′u′−pu″+qu=−(pu′)′+qu=Ludisplaystyle beginalignedL^*u&=(-1)^2D^2[(-p)u]+(-1)^1D[(-p')u]+(-1)^0(qu)\&=-D^2(pu)+D(p'u)+qu\&=-(pu)''+(p'u)'+qu\&=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\&=-p'u'-pu''+qu\&=-(pu')'+qu\&=Luendaligned

这个算子在施图姆-刘维尔理论（Sturm–Liouville theory）
中的关键，其中考虑了这个算子本征函数（类比于本征向量）。

微分算子的性质

微分是线性的，即

D(f+g)=(Df)+(Dg)displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg)

D(af)=a(Df)displaystyle D(af)=a(Df)

这里f和g是函数，而a是一个常数。

任何以函数为系数之D的多项式也是一个微分算子。我们也可以通过法则

(D1∘D2,f)=D1(D2(f))displaystyle (D_1circ D_2,f)=D_1(D_2(f))

复合微分算子。需要一些注意：首先算子D₂中的任何函数系数必须具有D₁所要求的可微次数。为了得到这样运算的一个环，我们必须假设所用的系数的所有阶导数。第二，这个环不是交换的：一个算子gD一般与Dg不同。事实上我们有例，如在量子力学中的基本关系：

Dx−xD=1displaystyle Dx-xD=1

但这些算子的子环：D的常系数多项式是交换的。它可以另一种方式刻画：它由平移不变算子组成。

微分算子也服从移位定理（shift theorem）。

多变量

同样的构造可对偏导数也成立，关于不同的变量微分给出可交换的算子（参见二阶导数的对称性）。

坐标无关描述以及与交换代数的关系

在微分几何与代数几何中，通常习惯于对两个向量丛之间的微分算子有一个坐标无关描述。设Edisplaystyle E与Fdisplaystyle F是流形Mdisplaystyle M上两个向量丛。截面的一个Rdisplaystyle mathbb R -线性映射P:Γ(E)→Γ(F)displaystyle P:Gamma (E)rightarrow Gamma (F)称为一个k-阶微分算子，如果它分解穿过节丛Jk(E)displaystyle J^k(E)。换句话说，存在一个向量丛的线性映射

iP:Jk(E)→Fdisplaystyle i_P:J^k(E)rightarrow F

使得

P=i^P∘jkdisplaystyle P=hat i_Pcirc j^k

这里i^Pdisplaystyle hat i_P表示由iPdisplaystyle i_P，在截面上诱导的映射，而jk:Γ(E)→Γ(Jk(E))displaystyle j^k:Gamma (E)rightarrow Gamma (J^k(E))，是典范（或通用）k-阶微分算子。

这恰好意味着对一个给定的截面sdisplaystyle s of Edisplaystyle E，P(s)displaystyle P(s)在一个点x∈Mdisplaystyle xin M的值完全由sdisplaystyle s在xdisplaystyle x的k-阶无穷小行为决定。特别地这蕴含着P(s)(x)displaystyle P(s)(x)由sdisplaystyle s在xdisplaystyle x的芽决定，这说明了微分算子是局部的。一个基本的结果是皮特定理（Peetre theorem）证明了逆命题也是正确的：任何局部算子是微分。

线性微分算子的一个等价的，但纯代数的描述如下：
一个Rdisplaystyle mathbb R -线性映射Pdisplaystyle P是一个k-阶微分算子，如果对任何(k + 1)阶光滑函数f0,…,fk∈C∞(M)displaystyle f_0,ldots ,f_kin C^infty (M)我们有

[fk[fk−1[⋯[f0,P]⋯]]=0displaystyle [f_k[f_k-1[cdots [f_0,P]cdots ]]=0

这里括号[f,P]:Γ(E)→Γ(F)displaystyle [f,P]:Gamma (E)rightarrow Gamma (F)定义为交换子

[f,P](s)=P(f⋅s)−f⋅P(s)displaystyle [f,P](s)=P(fcdot s)-fcdot P(s)

线性算子的这个刻画说明，它们是一个交换代数上的模之间的一个特殊映射，使这个概念可视为交换代数的一部分。

例子

• 在物理科学的应用中，像拉普拉斯算子在建立与求解偏微分方程中起着主要的作用。

• 在微分拓扑中，外导数与李导数算子有内蕴意义。

• 在抽象代数中，导子的概念是微分算子不要求分析的一个推广。通常这样的推广用于代数几何与交换代数。另见节。

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