移動中的磁鐵與導體問題
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一個導體以速度 vdisplaystyle v
移動於磁場。移動中的磁鐵跟導體問題（moving magnet and conductor problem）是一個源自於19世紀的著名思想實驗，涉及到經典電磁學與狹義相對論（classical electromagnetism and special relativity）的交叉領域。在這問題裏，相對於磁鐵的參考系，導體以均勻速度 vdisplaystyle v
目录
1 簡介
2 前論
3 電磁場的伽利略變換
3.1 磁鐵參考系
3.2 導體參考系
3.3 勞侖茲力不變性
3.4 電磁場的伽利略變換方程式
4 電磁場的勞侖茲變換
4.1 作用力的相對論性修正
5 經典電磁理論的協變表述
6 參閱
7 參考文獻
8 外部連結
簡介
在愛因斯坦發表的 1905 年論文裏，首段描述的就是移動中的磁鐵與導體問題[2]：
如大眾所知，馬克士威的電動力學——若按當前的普通看法——當應用於移動物體，會導致不對稱性，而這不對稱性並非可見現象的內在屬性。舉例而言，磁鐵與導體兩者間相互的電動力學作用，其可觀測到的現象只和導體與磁鐵的相對運動有關，然而，慣常的觀點卻將這兩種狀況劃下鮮明的界線，這些物體中不是一個在移動就是另一個在移動。若是磁鐵在移動而導體呈靜止狀態，則磁鐵週遭會生成帶有特定能量的電場，在導體所坐落的位置造成電流。但若是磁鐵呈靜止狀態而導體在移動，則磁鐵週遭不會有電場生成，然而在導體中，會發現電動勢，它並不帶有對應的能量，但卻可給出——假設在所討論的這兩種情況中，相對運動是一樣的——前例中電場力所造成的一模一樣的電流。
— 論動體的電動力學, 愛因斯坦, 1905年
關於不同參考系所觀測到的現象，有一個絕對不可妥協的要求，那就是一致性。這是很重要的論點，因為關於趨動電荷、造成電流的作用力，牛頓力學預測一種變換（伽利略變換），而電動力學預測另外一種不同的變換（勞侖茲變換）。從許多實驗的結果，像光行差、邁克生-莫立實驗等等，建立了勞侖茲變換為正確無誤。狹義相對論的成功發展將這與牛頓力學的不符之處徹底解決。關於作用力的變換，從一個參考系到另一個參考系，狹義相對論將這變換加以修改，促使與勞侖茲不變性一致化。稍後，會詳細解釋這些變換。
再進一步，假若能夠將這些描述合併在一起，獨立於參考系的考量之外，不必被各種各樣的參考系牽扯，那會是多麼美好之舉。達到這目標的細微線索是，在一個參考系的磁場，在另一個參考系會變成電場。類似地，在一個參考系的電場的螺線部分（不是由電荷產生的部分），在另一個參考系會變成磁場；也就是說，螺線電場與磁場是一塊銅幣的兩面[3]。這意味著不同描述的弔詭可能只是語意方面的問題。
為了避免這語意陷阱，可以合併描述為電磁張量。電場與磁場變成電磁張量的分量，在所有參考系裏，形式相同。
前論
电子束在磁场中做圆周运动，气体原子被电子激发而发光。
從做實驗可以觀測到帶電粒子的運動軌道，從而推斷出经典電磁場的存在，经典電磁場理論能夠解釋帶電粒子的運動行為。
物理學強烈地要求，所有觀測必需對於粒子的運動軌道達成共論。例如，假若某觀測發現一個粒子碰撞到標靶靶心，則所有觀測必需達到同樣的結論。這要求對於電磁場的屬性與從一個參考系變換到另一個參考系的物理行為給予約束。這要求也對於電磁場怎樣影響加速度給予約束，從而影響帶電粒子的運動軌道。
愛因斯坦在他的1905年闡述狹義相對論的論文裏提到的例子，即關於導體移動於磁鐵產生的磁場的問題。在磁鐵的參考系，導體會感受到磁場力。在導體的參考系，移動相對於磁鐵，導體會感受到電場力。這磁鐵參考系的磁場與導體參考系的電場，必需對於導體的運動造成一致性的結果。在1905年，愛因斯坦表明，馬克士威方程組所代表的場方程組正確無誤，牛頓運動定律需要修改才能給出一致性的粒子軌道[4]
電磁場的伽利略變換
假設磁鐵參考系與導體參考系是以伽利略變換相關聯，則這兩個參考系所觀測到的電磁場、作用力可以直截了當的計算出來，解釋兩個參考系所觀測到的感應電流相同。這也會順便給出一般方程式，能夠以一個參考系的電磁場表達另一個參考系的電磁場[5][6]。
實際而言，兩個參考系不是以伽利略變換相關聯，而是以勞侖茲變換相關聯。然而，在相對速度超小於光速之時，伽利略變換是非常優良的近似。
單撇號的參考系（紅色）對於沒有單撇號的參考系（藍色）的相對速度為 vdisplaystyle mathbf v
（灰色）。在以下論述裏，沒有單撇號的符號對應於磁鐵的靜止參考系，而有單撇號的符號對應於導體的靜止參考系。
設定 vdisplaystyle mathbf v 
r′=r−vtdisplaystyle mathbf r '=mathbf r -mathbf v t、
t′=tdisplaystyle t'=t。
在伽利略變換下，∇displaystyle nabla 
∇′=∇displaystyle nabla '=nabla、
∂∂t′=∂∂t+v⋅∇displaystyle frac partial partial t'=frac partial partial t+mathbf v cdot nabla。
磁鐵參考系
在磁鐵的靜止參考系，參數為場位置 rdisplaystyle mathbf r 
通常，處於電場 E(r,t)displaystyle mathbf E (mathbf r ,t)
F=q(E+v×B)displaystyle mathbf F =q(mathbf E +mathbf v times mathbf B )。
由於電場為零，帶電粒子所感受到的作用力為
F=qv×Bdisplaystyle mathbf F =qmathbf v times mathbf B。
導體參考系
在導體的靜止參考系，磁場 B′displaystyle mathbf B '
B′(r′,t′)=B(r,t)displaystyle mathbf B '(mathbf r ',t')=mathbf B (mathbf r ,t)。
由於磁場 B′displaystyle mathbf B '
∇′×E′=− ∂B′∂t′=−(∂∂t+v⋅∇)B=−(v⋅∇)B=−(v⋅∇′)Bdisplaystyle nabla 'times mathbf E '=- frac partial mathbf B 'partial t'=-left(frac partial partial t+mathbf v cdot nabla right)mathbf B =-(mathbf v cdot nabla )mathbf B =-(mathbf v cdot nabla ')mathbf B="-(mathbfvcdotnabla)mathbfB"
="-(mathbfvcdotnabla')mathbfB"/> 。
應用向量恆等式與高斯磁定律，注意到 vdisplaystyle mathbf v
∇′×E′=−(v⋅∇′)B=−∇′×(B×v)−v(∇′⋅B)=−∇′×(B×v)displaystyle nabla 'times mathbf E' =-(mathbf v cdot nabla ')mathbf B =-nabla 'times (mathbf B times mathbf v )-mathbf v (nabla 'cdot mathbf B )=-nabla 'times (mathbf B times mathbf v )。
對於這方程式，存在有解答
E′=v×Bdisplaystyle mathbf E '=mathbf v times mathbf B。
在導體參考系，導體內部的電荷 qdisplaystyle q
F′=qE′=qv×Bdisplaystyle mathbf F '=qmathbf E '=qmathbf v times mathbf B。
注意到 F=F′displaystyle mathbf F =mathbf F '
勞侖茲力不變性
在伽利略變換下的電場與磁場也可以從勞侖茲力不變性猜出。由於加速度的伽利略變換為
a=a′displaystyle mathbf a =mathbf a '，
作用力的伽利略變換為
F=F′displaystyle mathbf F =mathbf F '
思考移動於電磁場的一個帶電粒子，其所感受到的勞侖茲力為：
q(E+w×B)=q(E′+w′×B′)displaystyle q(mathbf E +mathbf w times mathbf B )=q(mathbf E '+mathbf w 'times mathbf B ')；
其中，wdisplaystyle mathbf w 
速度的伽利略變換為
w=w′+vdisplaystyle mathbf w =mathbf w '+mathbf v，
將這變換公式代入，可以得到
E+v×B′=E′+w×(B′−B)displaystyle mathbf E +mathbf v times mathbf B '=mathbf E '+mathbf w times (mathbf B '-mathbf B )。
從參考系裏觀測到的電磁場，不應該與粒子速度有關，唯一可能是設定
B′=Bdisplaystyle mathbf B '=mathbf B、
E=E′−v×B′displaystyle mathbf E =mathbf E '-mathbf v times mathbf B '。
對於移動中的磁鐵與導體問題，E=0displaystyle mathbf E =0
F=qv×Bdisplaystyle mathbf F =qmathbf v times mathbf B
F′=qE′=qv×Bdisplaystyle mathbf F '=qmathbf E '=qmathbf v times mathbf B
電磁場的伽利略變換方程式
將前面結果加以延伸，假設在磁鐵參考系觀測到的電場不等於零，則仍舊可倚賴馬克士威-法拉第方程式做出解釋，在導體參考系，這含時電場會貢獻出磁場。通常而言，最終結果是
E′=E+v×Bdisplaystyle mathbf E '=mathbf E +mathbf v times mathbf B、
B′=B−1c2 v×Edisplaystyle mathbf B '=mathbf B -frac 1c^2 mathbf v times mathbf E；
其中，cdisplaystyle c
將這些變換方程式帶入馬克士威方程組，可以發覺，假若在一個參考系裏，馬克士威方程組完全成立，則在另外一個參考系裏，馬克士威方程組幾乎完全成立，只差幾個不正確的項目。這些項目必需靠勞侖茲變換來修正。所以，這些變換方程式有瑕疵，稍後會有更詳細解釋。
電磁場的勞侖茲變換
假設相對於磁鐵參考系，導體參考系以速度 vdisplaystyle mathbf v
E∥′=E∥displaystyle mathbf E _parallel '=mathbf E _parallel、
E⊥′=γ(E⊥+v×B)displaystyle mathbf E _bot '=gamma (mathbf E _bot +mathbf v times mathbf B )、
B∥′=B∥displaystyle mathbf B _parallel '=mathbf B _parallel、
B⊥′=γ(B⊥−vc2×E)displaystyle mathbf B _bot '=gamma (mathbf B _bot -frac mathbf v c^2times mathbf E )；
其中，γ=11−(v/c)2displaystyle gamma =frac 1sqrt 1-(v/c)^2
假設在磁鐵參考系裏，電場為零，E=0displaystyle mathbf E =0
E′=γv×Bdisplaystyle mathbf E '=gamma mathbf v times mathbf B。
在導體參考系裏，電荷感受到的作用力為
F′=qE′=qγv×Bdisplaystyle mathbf F '=qmathbf E '=qgamma mathbf v times mathbf B。
這方程式與先前從非相對論性牛頓運動定律獲得的方程式不同，相差一個勞侖茲因子 γdisplaystyle gamma 
作用力的相對論性修正
從兩個慣性參考系觀測導體（灰色）所感受到的作用力。在磁鐵參考系（暗藍色），導體以速度 v=vx^displaystyle mathbf v =vhat mathbf x
移動。在導體參考系（以暗紅色，單撇號標記），導體呈靜止狀態。磁場 Bdisplaystyle mathbf B 隨著位置改變。注意到在兩個參考系裏，勞侖茲力都具有同樣的形式，雖然電磁場的數值大小不同：
F=q[E+v×B]displaystyle mathbf F =qleft[mathbf E +mathbf v times mathbf B right]、
F′=q[E′+v′×B′]displaystyle mathbf F '=qleft[mathbf E '+mathbf v 'times mathbf B 'right]。
如右圖所示，稍微簡化案例，設定磁場為 B=Bz^displaystyle mathbf B =Bhat mathbf z 
Fy=−qvBdisplaystyle F_y=-qvB。
在導體參考系裏，磁鐵相對地移動，電荷感受的作用力為
Fy′=qE′=−qγvBdisplaystyle F_y'=qE'=-qgamma vB。
這兩個作用力相差勞侖茲因子 γdisplaystyle gamma
x′=γ(x−vt) displaystyle x'=gamma (x-vt)、 x=γ(x′+vt′)displaystyle x=gamma (x'+vt')
、
t′=γ(t−vxc2)displaystyle t'=gamma left(t-frac vxc^2right)、 t=γ(t′+vx′c2)displaystyle t=gamma left(t'+frac vx'c^2right)
。
這些變換引至作用力y-分量的差別[9]：
Fy′=γFydisplaystyle F_y'=gamma F_y。
為了遵守勞侖茲不變性，同樣的作用力，在不同參考系觀測到的數值可能不一樣，這與伽利略不變性迥然不同。但是，回憶前段落根據勞侖茲力定律所做的分析，可以得到
γFy=−qγvBdisplaystyle gamma F_y=-qgamma vB、 Fy′=−qγvBdisplaystyle F_y'=-qgamma vB
。
兩個結果完全相符合。雖然從不同參考系測量得到的作用力數值不一樣，但是參考系與參考系之間的變換完全遵守相對論。
經典電磁理論的協變表述
應用協變表述，閔可夫斯基度規的形式被規定為 diag(1,−1,−1,−1)displaystyle diag(1,-1,-1,-1)
先列出解析移動中的磁鐵與導體問題所需的變量與方程式。定義帶電粒子的四維速度 uζdisplaystyle u_zeta 
uζ =def (u0,u1,u2,u3)=γ(c,−vx,−vy,−vz)displaystyle u_zeta stackrel def= (u_0,,u_1,,u_2,,u_3)=gamma (c,,-v_x,,-v_y,,-v_z)；
其中，cdisplaystyle c
定義電磁場張量 Fξζdisplaystyle F^xi zeta 
Fξζ =def [0−Ex/c−Ey/c−Ez/cEx/c0−BzByEy/cBz0−BxEz/c−ByBx0]displaystyle F^xi zeta stackrel def= beginbmatrix0&-E_x/c&-E_y/c&-E_z/c\E_x/c&0&-B_z&B_y\E_y/c&B_z&0&-B_x\E_z/c&-B_y&B_x&0endbmatrix0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \
E_x/c & 0 & -B_z & B_y \
E_y/c & B_z & 0 & -B_x \
E_z/c & -B_y & B_x & 0
endbmatrix"/> ；
其中，E=(Ex,Ey,Ez)displaystyle mathbf E =(E_x,,E_y,,E_z)
結合牛頓運動定律與勞侖茲力定律在一起，以電磁場張量寫為協變形式(covariant form)：
fξ =def dpξdτ=quζFξζdisplaystyle f^xi stackrel def= frac dp^xi dtau =qu_zeta F^xi zeta；
其中，fξdisplaystyle f^xi 
應用勞侖茲變換，電磁場張量可以從一個參考系變換到另一個參考系：
F′μν=ΛμξΛνζFξζdisplaystyle F'^mu nu =Lambda ^mu _xi Lambda ^nu _zeta F^xi zeta；
其中，Λμξdisplaystyle Lambda ^mu _xi 
現在，可以開始解析移動中的磁鐵與導體問題。與這問題相關的勞侖茲變換矩陣 Λνμdisplaystyle Lambda _nu ^mu 
Λνμ= (γ−γβ00−γβγ0000100001)displaystyle Lambda _nu ^mu = left(beginmatrixgamma &-gamma beta &0&0\-gamma beta &gamma &0&0\0&0&1&0\0&0&0&1endmatrixright)；
其中，β=vcdisplaystyle beta =frac vc
在磁鐵參考系，觀測到的電磁場張量 Fξζdisplaystyle F^xi zeta
Fξζ=[000000−B00B000000]displaystyle F^xi zeta =beginbmatrix0&0&0&0\0&0&-B&0\0&B&0&0\0&0&0&0endbmatrix0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & -B & 0 \
0 & B & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0
endbmatrix"/> 。
帶電粒子（也可以說是導體）的四維速度 uζdisplaystyle u_zeta
uζ=γ(c,−v,0,0)displaystyle u_zeta =gamma (c,,-v,,0,,0)；
四維力 fξdisplaystyle f^xi
fξ=quζFξζ=γ(0,0,−vB,0)displaystyle f^xi =qu_zeta F^xi zeta =gamma (0,,0,,-vB,,0)。
在導體參考系，觀測到的電磁場張量 F′μνdisplaystyle F'^mu nu 
F′02=Λ0ξΛ2ζFξζ=Λ01Λ22F12+Λ02Λ21F21=γβBdisplaystyle F'^02=Lambda ^0_xi Lambda ^2_zeta F^xi zeta =Lambda ^0_1Lambda ^2_2F^12+Lambda ^0_2Lambda ^2_1F^21=gamma beta B="Lambda^0_1 Lambda^2_2 F^12+Lambda^0_2 Lambda^2_1 F^21=gammabeta B"/> 、
F′20=Λ2ξΛ0ζFξζ=Λ21Λ02F12+Λ22Λ01F21=−γβBdisplaystyle F'^20=Lambda ^2_xi Lambda ^0_zeta F^xi zeta =Lambda ^2_1Lambda ^0_2F^12+Lambda ^2_2Lambda ^0_1F^21=-gamma beta B="Lambda^2_1 Lambda^0_2 F^12+Lambda^2_2 Lambda^0_1 F^21=-gammabeta B"/> 。
其他項目都等零。所以電磁場張量 F′μνdisplaystyle F'^mu nu
F′μν=[00γβB00000−γβB0000000]displaystyle F'^mu nu =beginbmatrix0&0&gamma beta B&0\0&0&0&0\-gamma beta B&0&0&0\0&0&0&0endbmatrix0 & 0 & gammabeta B & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 \
-gammabeta B & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0
endbmatrix"/> ，
在導體參考系，電場為
E′=−γvBdisplaystyle E'=-gamma vB。
帶電粒子（也可以說是導體）的四維速度 uζ′displaystyle u'_zeta 
uζ′=γ(c,0,0,0)displaystyle u'_zeta =gamma (c,,0,,0,,0)；
四維力 f′ξdisplaystyle f'^xi 
f′ξ=quζ′F′ξζ=γ(0,0,−vB,0)displaystyle f'^xi =qu'_zeta F'^xi zeta =gamma (0,,0,,-vB,,0)。
這滿足兩個參考系之間對於四維力的勞侖茲變換：
f′μ=Λμξfξdisplaystyle f'^mu =Lambda ^mu _xi f^xi。
參閱
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參考文獻
^ 在所有慣性參考系裏，物理定律都完全相同。
^ 2.02.1 愛因斯坦, 阿爾伯特. ON THE ELECTRODYNAMICS OF MOVING BODIES. June 30, 1905.
^ 電場可以分為兩個部分：螺線場（solenoidal field）（或不可壓縮場）與保守場（或無旋場）。通過改換參考系，螺線場可以變換為磁場。保守場是由電荷產生的，會永遠變換為電場，雖然數值大小會改變。
^ Roger Penrose (Martin Gardner: foreword). The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics. Oxford University Press. 1999: 248. ISBN 0192861980.
^ Preti, Giovanni; Fernando de Felice, Luca Masiero. On the Galilean non-invariance of classical electromagnetism. EUROPEAN JOURNAL OF PHYSICS (IOP Publishing). 2009, 30: 381–391. 引文使用过时参数coauthors (帮助)
^ Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 208–211, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1 引文格式1维护：冗余文本 (link)
^ 這表達式可以視為一種假定，基於長久做磁鐵實驗的經驗結果而獲得的假定，即磁鐵的磁場與磁鐵移動速度無關。若速度為相對論性速度，或者磁鐵參考系的電場不等於零，則這表達式不正確。
^ Tai L. Chow. Electromagnetic theory. Sudbury MA: Jones and Bartlett. 2006: Chapter 10.21; p. 402–403 ff. ISBN 0-7637-3827-1.
^ 9.09.1
Tai L. Chow. Electromagnetic theory. Sudbury MA: Jones and Bartlett. 2006: Chapter 10.5; p. 368 ff. ISBN 0-7637-3827-1.
外部連結
加州大學洛杉磯分校物理課堂示範網頁 ：磁鐵與導體的相對運動實驗
