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在欧几里得幾何中，莫雷角三分線定理（Morley's theorem）說明對所有的三角形，其三個内角作角三分線，靠近公共边三分線的三個交點，是一個等邊三角形。此定理由法蘭克·莫雷在1899年發現。对外角作外角三分線，也會有类似的性质，可以再作出4個等邊三角形。

此定理有趣的地方是我們沒辦法用尺規作圖作出其等邊三角形，因為已經證明出尺規作圖無法作出三等分角。

證明

引理

由三倍角公式及和差公式可得出：

sin⁡3θ≡4sin⁡θsin⁡(60∘+θ)sin⁡(120∘+θ)displaystyle sin 3theta equiv 4sin theta sin(60^circ +theta )sin(120^circ +theta )

引理證明

sin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin3⁡θdisplaystyle sin 3theta =3sin theta -4sin ^3theta

=sin⁡θ(3−4sin2⁡θ)=sin⁡θ(3cos2⁡θ−sin2⁡θ)displaystyle =sin theta (3-4sin ^2theta )=sin theta (3cos ^2theta -sin ^2theta )

=sin⁡θ(3cos⁡θ+sin⁡θ)(3cos⁡θ−sin⁡θ)displaystyle =sin theta (sqrt 3cos theta +sin theta )(sqrt 3cos theta -sin theta )

=4sin⁡θ(32cos⁡θ+12sin⁡θ)(32cos⁡θ−12sin⁡θ)displaystyle =4sin theta (tfrac sqrt 32cos theta +tfrac 12sin theta )(tfrac sqrt 32cos theta -tfrac 12sin theta )

=4sin⁡θsin⁡(60∘+θ)sin⁡(120∘+θ)displaystyle =4sin theta sin(60^circ +theta )sin(120^circ +theta )

莫雷角三分線定理證明

定理證明

在△ABCdisplaystyle triangle ABC中：

αdisplaystyle alpha 是∠Adisplaystyle angle A的三等分角

βdisplaystyle beta 是∠Bdisplaystyle angle B的三等分角

γdisplaystyle gamma 是∠Cdisplaystyle angle C的三等分角

作6條角三分線分別為BX¯displaystyle overline BX、XC¯displaystyle overline XC、CY¯displaystyle overline CY、YA¯displaystyle overline YA、AZ¯displaystyle overline AZ、ZB¯displaystyle overline ZB，作Ddisplaystyle D、Edisplaystyle E、Fdisplaystyle F在BC¯displaystyle overline BC上，且BC¯⊥XD¯displaystyle overline BCbot overline XD、∠BXE=∠CXF=60∘displaystyle angle BXE=angle CXF=60^circ

容易得出α+β+γ=60∘displaystyle alpha +beta +gamma =60^circ ，由此等式還可以得出以下三式：

∠BXC=120∘+αdisplaystyle angle BXC=120^circ +alpha

∠CYA=120∘+βdisplaystyle angle CYA=120^circ +beta

∠AZB=120∘+γdisplaystyle angle AZB=120^circ +gamma

由正弦定理可得出：

sin⁡(120∘+β)=AC¯sin⁡γAY¯displaystyle sin(120^circ +beta )=frac overline ACsin gamma overline AY

sin⁡(120∘+γ)=AB¯sin⁡βAZ¯displaystyle sin(120^circ +gamma )=frac overline ABsin beta overline AZ

從這裡可以得出△XEFdisplaystyle triangle XEF的三個內角，計算出∠XEFdisplaystyle angle XEF和∠XFEdisplaystyle angle XFE的正弦值：

∠EXF=αdisplaystyle angle EXF=alpha

∠XEF=60∘+β⇒sin⁡(60∘+β)=XD¯XE¯displaystyle angle XEF=60^circ +beta Rightarrow sin(60^circ +beta )=tfrac overline XDoverline XE

∠XFE=60∘+γ⇒sin⁡(60∘+γ)=XD¯XF¯displaystyle angle XFE=60^circ +gamma Rightarrow sin(60^circ +gamma )=tfrac overline XDoverline XF

我們知道：

AB¯sin⁡3β=AC¯sin⁡3γdisplaystyle overline ABsin 3beta =overline ACsin 3gamma

從引理我們可以得出：

AB¯4sin⁡βsin⁡(60∘+β)sin⁡(120∘+β)=AC¯4sin⁡γsin⁡(60∘+γ)sin⁡(120∘+γ)displaystyle overline AB4sin beta sin(60^circ +beta )sin(120^circ +beta )=overline AC4sin gamma sin(60^circ +gamma )sin(120^circ +gamma )

AB¯sin⁡βXD¯XE¯AC¯sin⁡γAY¯=AC¯sin⁡γXD¯XF¯AB¯sin⁡βAZ¯displaystyle overline ABsin beta frac overline XDoverline XEfrac overline ACsin gamma overline AY=overline ACsin gamma frac overline XDoverline XFfrac overline ABsin beta overline AZ

化簡後得出：

XE¯XF¯=AZ¯AY¯⇒△XEF≈△AZYdisplaystyle frac overline XEoverline XF=frac overline AZoverline AYRightarrow triangle XEFapprox triangle AZY

因為△XEFdisplaystyle triangle XEF和△AYZdisplaystyle triangle AYZ相似，所以可得出：

∠AZY=∠XEF=60∘+βdisplaystyle angle AZY=angle XEF=60^circ +beta

∠AYZ=∠XFE=60∘+γdisplaystyle angle AYZ=angle XFE=60^circ +gamma

同理可得出：

∠BZX=60∘+αdisplaystyle angle BZX=60^circ +alpha

∠CYX=60∘+αdisplaystyle angle CYX=60^circ +alpha

綜合以上結果，可得出∠XZY=∠XYZ=60∘displaystyle angle XZY=angle XYZ=60^circ ，因此△XYZdisplaystyle triangle XYZ是等邊三角形

推廣

更一般的莫雷角三分線定理由Taylor和Marr於1914年發表，將6條角三分線順時鐘和逆時鐘旋轉120°，其交點共可得出27個不同的等邊三角形。

參見

• 三等分角


• 三角恆等式

參考資料

• Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 253-256, 1929.


• Morley's Miracle — Several proofs of Morley's theorem


• 
  Morleys Theorem MathWorld


• 
  Morley's Trisection Theorem MathPages