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  本條目介紹的是数学上的复数。關於语言学上的复数或称众數，請見“众数 (语言学)”。

函数f(x)=(x2−1)(x−2−i)2(x+2+2i)displaystyle f(x)=frac (x^2-1)(x-2-i)^2(x+2+2i)的色相環複變函數圖形。色相表示函数的辐角，饱和度与明度表示函数的幅值。

複數，為實數的延伸，它使任一多項式方程都有根。複數當中有個「虛數單位」idisplaystyle i，它是−1displaystyle -1的一个平方根，即i2=−1displaystyle i^2=-1。任一複數都可表達為x+yidisplaystyle x+yi，其中xdisplaystyle x及ydisplaystyle y皆為實數，分別稱為複數之「實部」和「虛部」。

複數的發現源於三次方程的根的表達式。數學上，「複」字表明所討論的數域為複數，如複矩陣、複變函數等。

歷史

最早有關負數方根的文獻出於公元1世紀希臘數學家希罗，他考慮的是平頂金字塔不可能問題。16世紀意大利數學家（請參看塔塔利亞和卡爾達諾）得出一元三次和四次方程式的根的表達式，並發現即使只考慮實數根，仍不可避免面對負數方根。17世紀笛卡兒稱負數方根為虛數，「子虛烏有的數」，表達對此的無奈和不忿。18世紀初棣莫弗及歐拉大力推動複數的接受。1730年，棣莫弗提出棣莫弗公式：

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡nθ+isin⁡nθdisplaystyle (cos theta +isin theta )^n=cos ntheta +isin ntheta ，

而歐拉則在1748年提出分析學中的歐拉公式：

cos⁡θ+isin⁡θ=eiθdisplaystyle cos theta +isin theta =e^itheta ，

18世紀末，複數漸漸被大多數人接受，當時卡斯帕尔·韦塞尔提出複數可看作平面上的一點。數年後，高斯再提出此觀點並大力推廣，複數的研究開始高速發展。詫異的是，早於1685年約翰·沃利斯已經在De Algebra tractatus提出此一觀點。

卡斯帕尔·韦塞尔的文章發表在1799年的Proceedings of the Copenhagen Academy上，以當今標準來看，也是相當清楚和完備。他又考慮球體，得出四元數並以此提出完備的球面三角學理論。1804年，Abbé Buée亦獨立地提出與沃利斯相似的觀點，即以±−1displaystyle pm sqrt -1來表示平面上與實數軸垂直的單位線段。1806年，Buée的文章正式刊出，同年讓-羅貝爾·阿爾岡亦發表同類文章，而阿岡的複數平面成了標準。1831年高斯認為複數不夠普及，次年他發表了一篇備忘錄，奠定複數在數學的地位。柯西及阿贝尔的努力，掃除了複數使用的最後顧忌，後者更是首位以複數研究著名的。

複數吸引了著名數學家的注意，包括库默尔（1844年）、克罗内克（1845年）、Scheffler（1845年、1851年、1880年）、Bellavitis（1835年、1852年）、喬治·皮科克（1845年）及德·摩根（1849年）。莫比乌斯發表了大量有關複數幾何的短文，約翰·彼得·狄利克雷將很多實數概念，例如質數，推廣至複數。

費迪南·艾森斯坦研究a+bjdisplaystyle a+bj，其中jdisplaystyle j是x3−1=0displaystyle x^3-1=0的複根。其他如xk−1=0displaystyle x^k-1=0 (kdisplaystyle k是質數)亦有考慮。類以推廣的先鋒為库默尔的完美數理論，經由菲利克斯·克莱因（1893年）以幾何角度加以簡化。伽羅華其後提出更一般的推廣，解決了五次以上多項式的根不能表達問題。

定義

符号表示

尽管可以使用其他表示法，复数通常写为如下形式

a+bidisplaystyle a+bi，

这裡的adisplaystyle a和bdisplaystyle b是实数，而i是虛數單位，它有着性质i2=−1displaystyle i^2=-1。实数adisplaystyle a叫做复数的实部，而实数bdisplaystyle b叫做复数的虚部。实数可以被认为是虚部为零的复数；就是说实数adisplaystyle a等价于复数a+0idisplaystyle a+0i。实部为零且虚部不为零的复数也被称作“纯虚数”；而实部为不為零且虚部也不为零的复数也被称作“非純虚数”或“雜虛數”。

例如，3+2idisplaystyle 3+2i是复数，它的实部为3虚部为2。如果z=a+ibdisplaystyle z=a+ib，则实部（adisplaystyle a）被指示为Re⁡(z)displaystyle operatorname Re (z)或ℜ(z)displaystyle Re (z)，而虚部（bdisplaystyle b）被指示为Im⁡(z)displaystyle operatorname Im (z)或ℑ(z)displaystyle Im (z)。

在某些领域（特别是电子工程，这裡的i是电流的符号）中，虚部idisplaystyle i被替代写为jdisplaystyle j，所以复数有时写为a+jbdisplaystyle a+jb。

所有复数的集合通常指示为Cdisplaystyle C，或者用黑板粗体写为Cdisplaystyle mathbb C 。实数Rdisplaystyle mathbb R 可以被当作Cdisplaystyle mathbb C 的子集，通过把实数的所有成员当作复数：a=a+0idisplaystyle a=a+0i。

等量关系

复数中的虚数是无法比较大小的，即两个虚数只有相等和不等两种等量关系。

两个复数是相等的，当且仅当它们的实部是相等的并且它们的虚部是相等的。就是说，設adisplaystyle a,bdisplaystyle b,cdisplaystyle c,ddisplaystyle d為實數，則a+bi=c+didisplaystyle a+bi=c+di当且仅当a=cdisplaystyle a=c并且b=ddisplaystyle b=d。

运算

通过形式上应用代数的结合律、交换律和分配律，再加上等式i2=−1displaystyle i^2=-1，定义复数的加法、减法、乘法和除法:

• 
  加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)idisplaystyle ,(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
  


• 
  减法：(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)idisplaystyle ,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
  


• 
  乘法：(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac−bd)+(bc+ad)idisplaystyle ,(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2=(ac-bd)+(bc+ad)i
  


• 
  除法：(a+bi)(c+di)=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bci−adi−bdi2c2−(di)2=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2=(ac+bdc2+d2)+(bc−adc2+d2)idisplaystyle ,frac (a+bi)(c+di)=frac (a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)=frac ac+bci-adi-bdi^2c^2-(di)^2=frac (ac+bd)+(bc-ad)ic^2+d^2=left(ac+bd over c^2+d^2right)+left(bc-ad over c^2+d^2right)i
  

複數域

複數可定義為實數a,bdisplaystyle a,b組成的有序對，而其相關之和及積為：

• 
  (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，

• 
  (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,bc+ad)displaystyle (a,b)cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad)，

複數數系是一個域，複數域常以Cdisplaystyle mathbb C 來表示。

一個實數adisplaystyle a等同於複數(a,0)displaystyle (a,0)，故實數域為複數域的子域。虛數單位idisplaystyle i就是複數(0,1)displaystyle (0,1)。此外，還有:

• 加法单位元（“零元”）: (0,0)displaystyle (0,0)
  


• 乘法单位元（“幺元”）: (1,0)displaystyle (1,0)
  


• 
  (a,b)displaystyle (a,b)的加法逆元: (−a,−b)displaystyle (-a,-b)
  


• 非零(a,b)displaystyle (a,b)的乘法逆元（倒数）: (aa2+b2,−ba2+b2)displaystyle left(a over a^2+b^2,-b over a^2+b^2right)。

複數域亦可定為代數數的拓撲閉包或實數域的代數閉包。

複數平面

先把坐标轴画出来，横的叫实轴，竖的叫虚轴，然后确定0的位置，z=a+bidisplaystyle z=a+bi可以用二维空间来表示出来。

复数zdisplaystyle z可以被看作在被称为阿甘得图（得名於让-罗贝尔·阿冈，也叫做高斯平面）的二维笛卡尔坐标系内的一个点或位置向量。这个点也就是这个复数zdisplaystyle z可以用笛卡尔（直角）坐标指定。复数的笛卡尔坐标是实部x=ℜzdisplaystyle x=Re z和虚部y=ℑzdisplaystyle y=Im z。复数的笛卡尔坐标表示叫做复数的“笛卡尔形式”、“直角形式”或“代数形式”。

絕對值、共軛與距離

z=reiϕdisplaystyle z=re^iphi ，则|z|=r=r是zdisplaystyle z的「絕對值」（「模」、「幅值」）。如果z=a+bidisplaystyle z=a+bi，則|z|=a2+b2z.

對所有zdisplaystyle z及wdisplaystyle w，有

|z|−|w|≤|z+w|≤|z|+|w|w

|zw|=|z||w|

|zw|=|z||w|frac zwright

當定義了距離d(z,w)=|z−w|z-wright，複數域便成了度量空间，我們亦可談極限和連續。加法、乘法及除法都是連續的運算。

z=a+ibdisplaystyle z=a+ib的共軛複數定義為z=a−ibdisplaystyle z=a-ib，記作z¯displaystyle overline z或z∗displaystyle z^*。如圖所示，z¯displaystyle overline z是zdisplaystyle z关于實數轴的「对称点」。有

z+w¯=z¯+w¯displaystyle overline z+w=overline z+overline w

zw¯=z¯⋅w¯displaystyle overline zw=overline zcdot overline w

(zw)¯=z¯w¯displaystyle overline left(frac zwright)=frac overline zoverline w

z¯¯=zdisplaystyle overline overline z=z

z¯=zdisplaystyle overline z=z 當且僅當zdisplaystyle z是實數

|z|=|z¯|

|z|2=zz¯^2=zoverline z

z−1=z¯|z|−2displaystyle z^-1=overline z 若zdisplaystyle z非零。這是計算乘法逆最常用的等式。

對於所有代數運算fdisplaystyle f，共軛值是可交換的。這即是說f(z¯)=f(z)¯displaystyle f(overline z)=overline f(z)。一些非代數運算如正弦「sindisplaystyle sin 」亦有此性質。這是由於idisplaystyle i的不明確選擇——x2=−1displaystyle x^2=-1有二解。可是，共軛值是不可微分的（參見全纯函数）。

一複數z=reiϕdisplaystyle z=re^iphi 的「幅角」或「相位」為ϕdisplaystyle phi 。此值對模2πdisplaystyle 2pi 而言是唯一的。

對於乘法和除法分別有：

reαiseβi=(rs)e(α+β)idisplaystyle ,re^alpha ise^beta i=(rs)e^(alpha +beta )i（即“模值相乘，幅角相加”）

reαiseβi=rse(α−β)idisplaystyle ,frac re^alpha ise^beta i=frac rse^(alpha -beta )i（即“模值相除，幅角相减”)

复数运算的几何解释

X = A + B

X = AB

X = A*

考虑一个平面。一个点是原点0。另一个点是单位1。

两个点A和B的和是点X = A + B使得顶点0, A, B的三角形和顶点A, B, X的三角形是全等的。

两个点A和B的积是点X = AB使得顶点0, 1, A的三角形和顶点0, B, X的三角形是相似的。

点A的共轭复数是点X = A^*使得顶点0, 1, A的三角形和顶点0, 1, X的三角形相互是镜像。

极坐标形式

作为替代，复数zdisplaystyle z可以用极坐标来指定。极坐标是叫做绝对值或模的r=|z|≥0displaystyle r=leftvert zrightvert geq 0和叫做zdisplaystyle z的辐角的φ=arg⁡zdisplaystyle varphi =arg z。对于r=0displaystyle r=0，任何值的φdisplaystyle varphi 都描述同一个数。要得到唯一的表示，常规的选择是设置arg⁡0=0displaystyle arg 0=0。对于r>0displaystyle r>0辐角φdisplaystyle varphi 模以2πdisplaystyle 2pi 后是唯一的；就是说，如果复数辐角的两个值只相差精确的2πdisplaystyle 2pi 的整数倍数，则它们被认为是等价的。要得到唯一表示，常规的选择是限制φdisplaystyle varphi 在区间(−π,π]displaystyle (-pi ,pi ]内，就是−π<φ≤πdisplaystyle -pi <varphi leq pi 。复数的极坐标表示叫做复数的“极坐标形式”。

从极坐标形式到笛卡儿坐标形式的转换

x=rcos⁡φdisplaystyle x=rcos varphi

y=rsin⁡φdisplaystyle y=rsin varphi

从笛卡尔坐标形式到极坐标形式的转换

r=x2+y2displaystyle r=sqrt x^2+y^2

φ={arctan⁡(yx)if x>0arctan⁡(yx)+πif x<0 and y≥0arctan⁡(yx)−πif x<0 and y<0+π2if x=0 and y>0−π2if x=0 and y<0undefinedif x=0 and y=0.displaystyle varphi =begincasesarctan(frac yx)&mboxif x>0\arctan(frac yx)+pi &mboxif x<0mbox and ygeq 0\arctan(frac yx)-pi &mboxif x<0mbox and y<0\+frac pi 2&mboxif x=0mbox and y>0\-frac pi 2&mboxif x=0mbox and y<0\mathrm undefined &mboxif x=0mbox and y=0.endcases

前面的公式要求非常繁杂的情况区分。但是很多编程语言提供了经常叫做atan2一个变体的反正切函数来处理这些细节。使用反余弦函数的公式要求更少的情况区分:

φ={+arccos⁡xrif y≥0 and r≠0−arccos⁡xrif y<0undefinedif r=0.displaystyle varphi =begincases+arccos frac xr&mboxif ygeq 0mbox and rneq 0\-arccos frac xr&mboxif y<0\mathrm undefined &mboxif r=0.endcases

极坐标形式的符号

极坐标形式的符号

z=r(cos⁡φ+isin⁡φ)displaystyle z=r,(cos varphi +isin varphi )，

被叫做“三角形式”。有时使用符号cis φ简写cosφ + isinφ。
使用欧拉公式还可以写为

z=reiφ,displaystyle z=r,mathrm e ^ivarphi ,,

这叫做“指数形式”。

极坐标形式下的乘法、除法、指数和开方根

在极坐标形式下乘法、除法、指数和开方根要比笛卡尔形式下容易许多。

使用三角恒等式得到

r1eiφ1⋅r2eiφ2=r1r2ei(φ1+φ2)displaystyle r_1,e^ivarphi _1cdot r_2,e^ivarphi _2=r_1,r_2,e^i(varphi _1+varphi _2)，

和

r1eiφ1r2eiφ2=r1r2ei(φ1−φ2)displaystyle frac r_1,e^ivarphi _1r_2,e^ivarphi _2=frac r_1r_2,e^i(varphi _1-varphi _2)。

依据棣莫弗定理做整数幂的指数运算，

(reiφ)n=rneinφdisplaystyle big (r,e^ivarphi big )^n=r^n,e^invarphi 。

任意复数幂的指数运算在条目指数函数中讨论。

两个复数的加法只是两个向量的向量加法，乘以一个固定复数的可以被看作同时旋转和伸缩。

乘以idisplaystyle i对应于一个逆时针旋转90 度(π2displaystyle frac pi 2 弧度)。方程i2=−1displaystyle i^2=-1的几何意义是顺序的两个90度旋转导致一个180度(πdisplaystyle pi 弧度)旋转。甚至算术中的(−1)×(−1)=+1displaystyle (-1)times (-1)=+1都可以被在几何上被理解为两个180度旋转的组合。

任何数的所有方根，实数或复数的，都可以用简单的算法找到。ndisplaystyle n次方根给出为

reiφn=rn ei(φ+2kπn)displaystyle sqrt[n]re^ivarphi =sqrt[n]r e^ileft(frac varphi +2kpi nright)

对于k=0,1,2,…,n−1displaystyle k=0,1,2,ldots ,n-1，这裡的rndisplaystyle sqrt[n]r表示rdisplaystyle r的主ndisplaystyle n次方根。

代數性質

下表给出任何複數adisplaystyle a，bdisplaystyle b和cdisplaystyle c的加法和乘法的基本性质。

性質	加法	乘法
封闭性	a+bdisplaystyle a+b  是複數	a×bdisplaystyle atimes b   是複數
结合律	a+(b+c)=(a+b)+cdisplaystyle a+(b+c)=(a+b)+c	a×(b×c)=(a×b)×cdisplaystyle atimes (btimes c)=(atimes b)times c
交换律	a+b=b+adisplaystyle a+b=b+a	a×b=b×adisplaystyle atimes b=btimes a
存在单位元	a+0=adisplaystyle a+boldsymbol 0=a	a×1=adisplaystyle atimes boldsymbol 1=a
存在逆元	a+(−a)=0displaystyle a+(boldsymbol -a)=0	在複數集中，只有1或 -1关于乘法存在複數逆元，其余複數adisplaystyle a关于乘法的逆元为1adisplaystyle frac 1a，都不为複數。
分配律	a×(b+c)=(a×b)+(a×c)displaystyle atimes (b+c)=(atimes b)+(atimes c)

一些特性

矩陣表達式

這是個實用價值不大，但具數學意義的表達式，是將複數看作能旋轉及伸縮二維位置矢量的2×2實數矩陣，即是

a+ib↔(a−bba)=r[cos⁡φ−sin⁡φsin⁡φcos⁡φ]=rexp⁡(φ[0−110]),displaystyle a+ibleftrightarrow beginpmatrixa&-b\b&;;aendpmatrix=rbeginbmatrixcos varphi &-sin varphi \sin varphi &cos varphi endbmatrix=rexp left(varphi beginbmatrix0&-1\1&0endbmatrixright),

其中adisplaystyle a及bdisplaystyle b為實數。可算出此類矩陣的和、積及乘法逆都是此類矩陣。此外

(a−bba)=a(1001)+b(0−110)displaystyle beginpmatrixa&-b\b&;;aendpmatrix=abeginpmatrix1&;;0\0&;;1endpmatrix+bbeginpmatrix0&-1\1&;;0endpmatrix

即實數1對應着單位矩陣

(1001)displaystyle beginpmatrix1&;;0\0&;;1endpmatrix，

而虛數單位idisplaystyle i對應着

(0−110)displaystyle beginpmatrix0&-1\1&;;0endpmatrix。

此矩陣令平面作逆時鐘90度旋轉，它的平方就是-1。

複數的絶對值就是行列式的平方根。這些矩陣對應相應的平面變換，其旋轉角度等於複數的徧角，改變比例等於複數的絶對值。複數的軛就是矩陣的轉置。

若矩陣中的adisplaystyle a和bdisplaystyle b本來就是複數，則構成的代數便是四元數。由此，矩陣代表法可看成代數的凱萊-迪克森結構法。

實向量空間

Cdisplaystyle mathbb C 可以視作二維實綫性空間。^[1]不同於實數，複數上不可能有與其算術相容的全序：Cdisplaystyle mathbb C 並非有序。

域域域

多項式的根

滿足p(z)=0displaystyle p(z)=0的複數z是多項式pdisplaystyle p的“根”。代數基本定理指出，所有ndisplaystyle n次多項式，不管實數系數抑或複數系數的，都剛好有ndisplaystyle n個複數根（kdisplaystyle k重根按kdisplaystyle k个计算）。這定理等價於複數是代數閉域。

域

事實上，複數是實數的代數閉包。它是多項式環R[X]displaystyle mathbb R [X]經由理想⟨X2+1⟩displaystyle leftlangle X^2+1rightrangle 顯生出的商環：

域域

C=R[X]/(X2+1)displaystyle mathbb C =mathbb R [X]/(X^2+1)。

這是一個因為X2+1displaystyle X^2+1為不可約多項式，而Xdisplaystyle X在商環內對應着虛數單位idisplaystyle i。

域

代數特徵

複數Cdisplaystyle mathbb C 唯一（就同構來說）的擁有三項代數特征:

域域域

• 它的特徵值是0


• 它對質數域的超越度是實數的基數
  


• 它是代數閉的

而然，Cdisplaystyle mathbb C 包含很多與Cdisplaystyle mathbb C 同構的子。

域

不可排序

在Cdisplaystyle mathbb C 上不可能建立與其加法及乘法相容之全序關係，即不存在一全序⪯displaystyle preceq 使得對於任意複數z1,z2displaystyle z_1,z_2，有0⪯z1,z2⇒0⪯z1+z2,0⪯z1z2displaystyle 0preceq z_1,z_2Rightarrow 0preceq z_1+z_2,0preceq z_1z_2。

复指数幂

计算一个实数的复数幂是可以的。azdisplaystyle a^z可以定义为ez⋅ln⁡(a)displaystyle e^zcdot ln(a)。

複分析

研究複變函數的理論稱為複分析。它在應用數學和其他數學分支上都有許多實際應用。實分析和數論的結果，最自然的証明經常是以複分析的技巧完成（例子可見素數定理）。

複變函數的圖像是四維的，所以不像實變函數般可以用平面圖像表示。要表示複變函數的圖像，可以用有顏色的三維圖像表達四維資訊，或者以動畫表示函數對複平面的動態變換。

應用

系统分析

在系统分析中，系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。因此可在複平面上分析系统的极点和零点。分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法和尼科尔斯图法都是在複平面上进行的。

无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面，根轨迹法都很重要。如果系统极点

• 位于右半平面，则因果系统不稳定；


• 都位于左半平面，则因果系统稳定；


• 位于虚轴上，则系统为临界稳定的。

如果稳定系统的全部零点都位于左半平面，则这是个最小相位系统。如果系统的极点和零点关于虚轴对称，则这是全通系统。

信号分析

信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值|z|displaystyle leftvert zrightvert 表示信号的幅度，辐角arg⁡zdisplaystyle arg z表示给定频率的正弦波的相位。

利用傅里叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的複函數的实部表示：

f(t)=zeiωtdisplaystyle f(t)=ze^iomega t，

其中ωdisplaystyle omega 对应角频率，复数zdisplaystyle z包含了幅度和相位的信息。

电路分析中，引入电容、电感与频率有关的虚部可以方便的将电压、电流的关系用简单的线性方程表示并求解。（有时用字母jdisplaystyle j作为虚数单位，以免与电流符号i混淆。）

反常積分

在應用層面，複分析常用以計算某些實值的反常積分，藉由複值函數得出。方法有多種，見圍道積分方法（英语：Methods of contour integration）。

量子力學

量子力學中複數是十分重要的，因其理論是建基於複數域上無限維的希尔伯特空间。

相對論

如將時間變數視為虛數的話便可簡化一些狹義和廣義相對論中的時空度量 (Metric)方程。

應用數學

實際應用中，求解給定差分方程模型的系統，通常首先找出線性差分方程對應的特徵方程的所有複特徵根r，再將系統以形爲f(t)= e^rt的基函數的線性組合表示。

流體力學

複函數於流體力學中可描述二維勢流。

分形

一些分形如曼德博集合和茹利亚集（Julia set）是建基於複平面上的點的。

复数的平方根

复数的平方根是可以计算的。其公式为x+iy=|x+iy|+x2±i|x+iy|−x2displaystyle sqrt x+iy=sqrt frac x+iyright2pm isqrt frac x+iyright2。

參見

• 複平面


• 複幾何


• 棣莫弗公式


• 歐拉恆等式


• 超複數


• 局部域


• 相量


• 四元數


• 双曲复数

參考資料

1. 
   ^ 繆龍驥. 從實數到複數. 數學知識. [2014-10-22]. 
   

• 
  Conway, John. Functions of One Complex Variable I. Springer. 1986. ISBN 0-387-90328-3. 
  

延伸閱讀

• 
  An Imaginary Tale: The Story of −1displaystyle sqrt -1, by Paul J. Nahin; Princeton University Press; ISBN 0-691-02795-1 (hardcover, 1998). A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.


• 
  Numbers, by H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, J. Neukirch, A. Prestel, R. Remmert; Springer; ISBN 0-387-97497-0 (hardcover, 1991). An advanced perspective on the historical development of the concept of number.


• 
  The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, by Roger Penrose; Alfred A. Knopf, 2005; ISBN 0-679-45443-8. Chapters 4-7 in particular deal extensively (and enthusiastically) with complex numbers.


• 
  Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra, by John Derbyshire; Joseph Henry Press; ISBN 0-309-09657-X (hardcover 2006). A very readable history with emphasis on solving polynomial equations and the structures of modern algebra.


• 
  Visual Complex Analysis, by Tristan Needham; Clarendon Press; ISBN 0-19-853447-7 (hardcover, 1997). History of complex numbers and complex analysis with compelling and useful visual interpretations.

外部連結

維基教科書中的相關電子教程：複數

• 
  Euler's work on Complex Roots of Polynomials at Convergence
  


• John and Betty's Journey Through Complex Numbers


• 埃里克·韦斯坦因. Complex Number. MathWorld. 


• SOS Math - Complex Variables


• 
  Algebraic Structure of Complex Numbers from cut-the-knot
  


• Complex Numbers Module by John H. Mathews


• 
  IMO Compendium Training Materials contains a text on applications of complex numbers to euclidean geometry


• myElectrical.com Complex Number Ccalculator


• solvemymath.com Complex Numbers Calculator


• Interactive Visual Representation of Complex Numbers