njtynhj

20÷5=4displaystyle 20div 5=4

数学中，尤其是在基本计算裏，除法可以看成是「乘法的反运算」，也可以理解为「重复的减法」。除法运算的本质就是「把参与运算的除数变为1displaystyle 1，得出被除数的值」。

例如：6÷3=2displaystyle 6div 3=2，就好像6−3−3=0displaystyle 6-3-3=0，
{6−3=33−3=0displaystyle begincases6-3=3\3-3=0endcases，6displaystyle 6被3displaystyle 3減了兩次後，就變成了0displaystyle 0。

如果

a×b=cdisplaystyle atimes b=c

而且bdisplaystyle b不等于零，那么

a=c÷bdisplaystyle a=cdiv b

其中，a称为商数，b称为除数，c称为被除数。

如果除式的商數（adisplaystyle a）必須是整數，则称为带餘除法，a×bdisplaystyle atimes b与cdisplaystyle c相差的数值，称为餘數（ddisplaystyle d）。

c÷b=a…ddisplaystyle cdiv b=adots d

這也意味著

c=a×b+ddisplaystyle c=atimes b+d

在高等数学（包括在科学与工程学中）和计算机编程语言中，c÷bdisplaystyle cdiv b写成c/bdisplaystyle c/b。如果我们不需要知道确切值或者留待以后引用，这种形式也常常是称之为分数的最终形式。其中尋找商數的函數為divdisplaystyle operatorname div ，尋找餘數的函數則為moddisplaystyle operatorname mod 。

在大部分的非英语语言中，c:bdisplaystyle c:b代表c÷bdisplaystyle cdiv b的比，讀做c比b；c/bdisplaystyle c/b則代表c÷bdisplaystyle cdiv b的比值。用法请参照比例。

整除

整除是数学中两个自然数之间的一种关系。自然数adisplaystyle a可以被自然数bdisplaystyle b整除，是指bdisplaystyle b是adisplaystyle a的因數，且a是b的整数倍数，也就是adisplaystyle a除以bdisplaystyle b没有餘数。

a÷b=q…0displaystyle adiv b=qdots 0

因數判別法可參照整除規則。

表示法

b∣adisplaystyle bmid a表示bdisplaystyle b整除adisplaystyle a，即adisplaystyle a是bdisplaystyle b的倍数，bdisplaystyle b是adisplaystyle a的因数。

举例

15displaystyle 15可以被5displaystyle 5整除，记作5∣15displaystyle 5mid 15。

20displaystyle 20不能被6displaystyle 6整除（因为餘数为2displaystyle 2），记作6∤20displaystyle 6nmid 20。在∣displaystyle mid 上加一条斜线即表示不整除⋯⋯

除法计算

根据乘法表，两个整数可以用长除法（直式除法）笔算。如果被除数有分数部分（或者说时小数点），计算时将小数点带下来就可以；如果除数有小数点，将除数与被除数的小数点同时移位，直到除数没有小数点。

算盘也可以做除法运算。

長除法

長除法俗稱「長除」，適用於正式除法、小數除法、多項式除法（即因式分解）等較重視計算過程和商數的除法，過程中兼用了乘法和減法。

使用長除法計算1260257÷37displaystyle 1260257div 37：

1260257÷37displaystyle 1260257div 37的演算過程

37 )34061 1260257111150  148  225  222  37370displaystyle beginarrayl37 big )\\\\\\\\endarray!!!!!beginarrayr34061\hline 1260257\111quad quad \hline 150quad \148quad \hline 225 \222 \hline 37\37\hline 0\endarray

短除法

短除法是長除法的簡化版本。在短除法裏，被除數放中央，旁以一L型符號表示除法，被除數左側為除數，下側為商，省去了長除法逐層計算的過程。

• 使用短除法計算3÷7displaystyle 3div 7的近似值：

7 | 3.00000000000000000… _0.42857142857142857… displaystyle !underline , 3.00000000000000000dots \0.42857142857142857dots endarray

• 使用短除法計算420displaystyle 420的質因數分解：

2 |   420 _2 |  210 _3 | 105 _5 | 35 _7 displaystyle !underline , 420 \2

420=22×3×5×7displaystyle 420=2^2times 3times 5times 7

• 使用短除法計算420,270displaystyle 420,270的最大公因數及最小公倍數：

2 |   420270 _3 |  210135 _5 | 70  45 _14    9 displaystyle beginarrayr2

{gcd(420,270)=2×3×5=30lcm⁡(420,270)=2×3×5×14×9=3780displaystyle begincasesgcd(420,270)=2times 3times 5=30\operatorname lcm (420,270)=2times 3times 5times 14times 9=3780endcases

多項式的除法

和整数之间的带余除法类似，一元多项式之间也可以进行带余除法。可以证明，设有多项式Adisplaystyle A和非零多项式Bdisplaystyle B，则存在唯一的多项式Qdisplaystyle Q和Rdisplaystyle R，满足：

A=BQ+Rdisplaystyle A=BQ+R

而多项式Rdisplaystyle R若非零多项式，則其冪次严格小于Bdisplaystyle B的冪次。

作为特例，如果要计算某个多项式Pdisplaystyle P除以一次多项式X−adisplaystyle X-a得到的餘多项式，可以直接将adisplaystyle a代入到多项式Pdisplaystyle P中。Pdisplaystyle P除以X−adisplaystyle X-a的餘多项式是P(a)displaystyle P(a)。

具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如，计算X3−12X2−42displaystyle X^3-12X^2-42除以X−3displaystyle X-3，列式如下：

X2−9X−27X−3|X3−12X2+0X−42¯X3−3X2_−9X2+0X−9X2+27X_−27X−42−27X+81_−123displaystyle beginmatrixqquad quad ;,X^2;-9Xquad -27\qquad quad X-3overline vert X^3-12X^2+0X-42\;;underline ;;X^3-;;3X^2\qquad qquad quad ;-9X^2+0X\qquad qquad quad ;underline -9X^2+27X\qquad qquad qquad qquad qquad -27X-42\qquad qquad qquad qquad qquad underline -27X+81\qquad qquad qquad qquad qquad qquad ;;-123endmatrix

因此，商式是 X2−9X−27displaystyle X^2-9X-27，餘式是 −123displaystyle -123。

重要性質

通常不定义除以零这种形式。亦即當除以0 或分數的分母為0 時，該式或該數無意義。

参见

• 筹算除法


• 同餘


• 余数


• 带餘除法

查 论 编 分數 & 比率 除法 ＆比例 被除數 : 除數 = 商數 分數 分子/分母=商數 代數 Aspect 连分数 十进制 二进分数 古埃及分數 黄金分割率 白銀比例 整数 最简分数 精簡 最小公分母 音程 百分比 單位分數