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在相對論中，快度通常被用來衡量相對論效應下的速度。在數學上，快度可以被定義成一個雙曲角，這個角能夠反映兩個存在相對運動的參考座標系之间的差异——它们的时空坐標为洛仑兹变换所聯繫。

對於一維運動，快度可以簡單相加，而速度必須套用愛因斯坦的速度加成式。在低速的情況下，快度和速度是成比例的，但是對於更高速的狀況下，快度將增長得更快。特别地，光的速度為光速，而光的快度是無限大。

我們使用反雙曲函數 $artanh$ 來定義快度，當速度為 $v$ 時，其對應的快度 $w$ 是 $w = artanh(v / c)$ ，其中 $c$ 是光速。速度較慢時， $w$ 約為 $v / c$ 。由於在相對論中，速度v被局限於區間 $- c < v < c$ ，因此比率 $v / c$ 將滿足 $-1 < v / c < 1$ 。反雙曲正切函數的定義域為 $(-1, 1)$ ，而值域為整條實數線，所以可以將區間 $- c < v < c$ 映射到 $-\infty < w < \infty$ 。

歷史

在1908年赫爾曼·閔考斯基指出勞倫茲轉換可以被簡單的轉換為座標時中的雙曲旋轉（英语：hyperbolic rotation），即為一個虛數角度的旋轉。^[1] 這個角度在一維空間中可以代表著座標系間速度的度量，且具有可加性。^[2]

1910年，弗拉基米爾·瓦里卡克（英语：Vladimir Varićak）^[3]和E. T. 惠特克（英语：E. T. Whittaker）^[4]提出用此參數來取代速度的觀念。而這個參數被阿爾弗雷德·羅伯（英语：Alfred Robb） (1911)^[5]命名為快度，並隨後被許多筆者所採用，如盧迪威格·席柏斯坦 (1914)，愛德華·莫立 (1936)和沃夫岡·潤德勒 (2001)。

雙曲線扇形面積

雙曲函數xy=1的求積法（英语：quadrature (mathematics)），是由格雷瓜爾·德·聖-文森特（英语：Gregoire de Saint-Vincent）提出的，他指出雙曲扇形的面積、或是一塊沿著漸進線所定義出的等效面積，可以用自然對數描述。
在時空理論中，類光事件將宇宙分為相對於給定“位置”和“時刻”的“（絕對）過去”、“（絕對）未來”和其他時空點。在空間中的任何一條線上，一道光束的行進方向可以向左或是向右。將向右行進的光束事件定為x軸，向左行進的光束事件定為y軸。則靜止座標系的時間軸即為對角線x = y。而速度可以用第一象限中的直角雙曲線xy = 1來表示，其中速度為零的點對應到點 $displaystyle (1,1)$ 。任何一個雙曲線上的點都能以點 $displaystyle (e^w, e^-w)$ 表示，其中的 $w$ 即為快度，同時 $w$ 也是從點 $displaystyle (1,1)$ 到點 $displaystyle (e^w, e^-w)$ 與原點所構成的雙曲線扇形面積。也有許多筆者在討論標準閔考斯基圖時，會使用單位雙曲線（英语：unit hyperbola） $displaystyle x^2-y^2$ ，將快度作為參數曲線的參數。而此時的坐標可以用時鐘和米尺來測量，並選用更加常見的基準，這也是時空理論的基礎。所以快度作為光束空間的雙曲參數，這樣的描述是參考了十七世紀時超越函數理論的發展，以及閔考斯基圖。

在一維空間中

快度 $w$ 出現在勞倫茲變換的線性表示法中，此時勞倫茲變換被表示為向量－矩陣乘積

displaystyle beginpmatrixct'\x'endpmatrix=beginpmatrixcosh w&-sinh w\-sinh w&cosh wendpmatrixbeginpmatrixct\xendpmatrix=mathbf Lambda (w)beginpmatrixct\xendpmatrix

矩陣 $Λ (w)$ 為 $displaystyle beginpmatrixp&q\q&pendpmatrix$ 的形式，其中 $p$ 和 $q$ 滿足關係 $p 2 - q 2 = 1$ ，因此 $(p, q)$ 將會落在單位雙曲線（英语：unit hyperbola）上。這樣的矩陣形成了不定正交群 O(1,1)，伴隨著由單位反對角矩陣所張出的一維李代數，顯示出快度是這個李代數上的座標，這個作用可在閔考斯基圖上被描繪出來。
在矩陣指數表示法中， $Λ (w)$ 可以被表示為 $displaystyle mathbf Lambda (w)=e^mathbf Z w$ ，其中 $Z$ 是單位反對角矩陣

displaystyle mathbf Z =beginpmatrix0&1\1&0endpmatrix

不難證明

displaystyle mathbf Lambda (w_1+w_2)=mathbf Lambda (w_1)mathbf Lambda (w_2)

這顯現出了快度實用的求和性質：若 $A$ ， $B$ 和 $C$ 為參考座標系，則

displaystyle w_textAC=w_textAB+w_textBC

其中 $w PQ$ 表示了參考座標系 $Q$ 相對於參考座標系 $P$ 的快度。與速度加成式相比，這個式子更為簡潔。

我們可以從上述的勞倫茲轉換看出，勞倫茲因子等同於 $cosh w$

displaystyle gamma =frac 1sqrt 1-v^2/c^2equiv cosh w

因此快度 $w$ 作為一個雙曲角，隱含在勞倫茲轉換中的 $γ$ 和β中。我們將快度與速度加成式聯繫在一起

displaystyle u=(u_1+u_2)/(1+u_1u_2/c^2)

藉由

displaystyle beta _i=frac u_ic=tanh w_i

從而得到

displaystyle beginalignedtanh w&=frac tanh w_1+tanh w_21+tanh w_1tanh w_2\&=tanh(w_1+w_2)endaligned

$β$ 和 $γ$ 的乘積時常出現，從先前的討論可知

displaystyle beta gamma =sinh w,

固有加速度（一個加速物體實質感受到的加速度）是快度對於固有時間（一個加速物體本身所量測到的時間）的變化率。假想在物體的運動過程中，與加速中的物體保持相對靜止的一系列“非物理的”參考系，若在這個非物理的慣性系中非相對論性地計算物體的速度，則計算結果將是這個物體的快度。

指數和對數關係

由上述的表達式可以得到

displaystyle e^w=gamma (1+beta )=gamma left(1+frac vcright)=sqrt frac 1+tfrac vc1-tfrac vc

因此

displaystyle e^-w=gamma (1-beta )=gamma left(1-frac vcright)=sqrt frac 1-tfrac vc1+tfrac vc

或是更加清楚地表示為

displaystyle w=ln left[gamma (1+beta )right]=-ln left[gamma (1-beta )right],

相對論性都普勒效應因子與快度 $w$ 的關係為 $displaystyle k=e^w$ 。

在多維空間中

相對論性速度 $displaystyle boldsymbol beta$ 與快度 $mathbf w$ 为下列關係所聯繫^[6]

displaystyle mathfrak so(3,1)supset mathrm span K_1,K_2,K_3approx mathbb R ^3ni mathbf w =boldsymbol hat beta tanh ^-1beta ,quad boldsymbol beta in mathbb B ^3,

其中的向量 $displaystyle mathbf w$ 是勞倫茲群對應的李代數 $displaystyle mathfrak o(3,1)approx mathfrak so(3,1)$ 中，由三個推進生成元（英语：Representation theory of the Lorentz group#Conventions and Lie algebra bases） $displaystyle K_1,K_2,K_3$ 張成的三維線性子空間上的座標。而這可以完全類比至上述一維情況時的 $displaystyle mathfrak o(1,1)$ 。因為光速 $c$ 是速度量值的上限（選用單位使得 $c=1$ ），所以速度符合條件 $displaystyle$ ，因此速度空間可以用一個半徑為 $1$ 的開球 $displaystyle mathbb B ^3$ 表示。

一般性的快度求和公式為^[7]^{[nb 1]}

displaystyle mathbf w =boldsymbol hat beta tanh ^-1beta ,quad boldsymbol beta =boldsymbol beta _1oplus boldsymbol beta _2,

其中 $displaystyle boldsymbol beta _1oplus boldsymbol beta _2$ 對應到速度加成式， $displaystyle boldsymbol hat beta$ 是 $displaystyle boldsymbol beta$ 方向上的單位向量。這個運算不符合交換律與結合律。斜向角度為 $theta$ 的快度 $displaystyle mathbf w _1,mathbf w _2$ 之和的模 $\text{[math]}$ （歐氏空間中的長度）由餘弦的雙曲關係（英语：hyperbolic law of cosines）給出^[8]

displaystyle cosh w=cosh w_1cosh w_2+sinh w_1sinh w_2cos theta

快度空間上的幾何結構，透過對應的映射繼承了速度空間上的雙曲幾何。相應地，這個幾何結構可以從相對論性速度的求和公式來推得。^[9]因此，二維空間中的快度空間可以有效地透過龐加萊圓盤模型來想像^[10]，其上的測地線會對應到勻加速運動。三維空間中的快度空間，可以透過同樣的方法，與雙曲面模型建立保距同構（英语：Isometry (Riemannian geometry)）。閔考斯基時空的幾何條目中有更多相關的細節。

兩個快度的相加變換並非只是獲得一個新的快度值，整體的變換是由上述求和式給出的快度、透過向量 $displaystyle boldsymbol theta$ 來參數化的旋轉，兩者組合而成。

displaystyle Lambda =e^-iboldsymbol theta cdot mathbf J e^-imathbf w cdot mathbf K

這裡使用到了物理學家慣用的指數映射。
這是交換法則所致的結果

displaystyle [K_i,K_j]=-iepsilon _ijkJ_k

其中 $J_k$ 是旋轉群的生成元， $displaystyle (k=1,2,3)$ ，這與湯瑪斯進動現象有關。連結中的文章有關於參數 $displaystyle boldsymbol theta$ 的計算方法。

在粒子物理中

一個非零（靜止）質量 $m$ 粒子的能量 $E$ 以及動量的大小 $| p |$ 為：

displaystyle E=gamma mc^2

displaystyle

透過快度 $w$ 的定義

displaystyle w=operatorname artanh frac vc

並且

displaystyle cosh w=cosh left(operatorname artanh frac vcright)=frac 1sqrt 1-frac v^2c^2=gamma

displaystyle sinh w=sinh left(operatorname artanh frac vcright)=frac frac vcsqrt 1-frac v^2c^2=beta gamma

能量和動量大小可以被表示為

displaystyle E=mc^2cosh w

displaystyle

所以快度可以用測量到的能量與動量大小透過下式來計算得出：

displaystyle w=operatorname artanh frac E=frac 12ln frac mathbf p c

然而實驗粒子物理學家常使用修改過的、相對於粒子束的快度定義

displaystyle y=frac 12ln frac E+p_zcE-p_zc

其中 $p z$ 是沿著粒子束方向的動量分量^[11]。這是從「實驗室參考系」到一個「粒子運動方向與粒子束方向垂直的參考系」的勞倫茲變換所對應的快度，相關的概念可以參考條目贗快度。

參見

Bondi k-calculus（英语：Bondi k-calculus）

勞倫茲變換

贗快度

固有速度

相對論

注釋

^ 這可以被理解成，欲求給定兩個速度所對應到的快度和，實際上就是在對原速度作相對論性的求和，再求出該速度對應的快度。此外，快度從 $mathbb R^3$ 上也繼承了三維向量加法的求和性質，這是與上述快度和不同的一種和。在下文提到「快度求和」時，請依照上下文判斷是哪一種求和。

參考文獻

^ 赫爾曼·閔考斯基 (1908) Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies via Wikisource

^ Sommerfeld, Phys. Z 1909

^ 弗拉基米爾·瓦里卡克（英语：Vladimir Varicak） (1910)Application of Lobachevskian Geometry in the Theory of Relativity Physikalische Zeitschrift 經由維基文庫

^ 埃德蒙·泰勒·惠特克（英语：E. T. Whittaker） (1910) A History of the Theories of the Aether and Electricity, 第441頁，經由互聯網檔案館.

^ 阿爾弗雷德·羅伯（英语：Alfred Robb） (1911) Optical Geometry of Motion p.9

^ Jackson 1999，第547页

^ Rhodes & Semon 2003

^ Robb 1910, Varićak 1910，Borel 1913

^ Landau & Lifshitz 2002，Problem p. 38

^ Rhodes & Semon 2003

^ Amsler, C. et al., "The Review of Particle Physics", Physics Letters B 667 (2008) 1, Section 38.5.2

Varićak V（英语：Vladimir Varićak） (1910), (1912), (1924) See Vladimir Varićak#Publications（英语：Vladimir Varićak#Publications）

Whittaker, E. T. A history of the theories of aether and electricity: 441. 1910 [22 January 2016].

Robb, Alfred. Optical geometry of motion, a new view of the theory of relativity. Cambridge: Heffner & Sons. 1911.

埃米爾·博雷爾 (1913) La théorie de la relativité et la cinématique, Comptes Rendus Acad Sci Paris 156 215-218; 157 703-705

Silberstein, Ludwik. The Theory of Relativity. London: Macmillan & Co. 1914.

Vladimir Karapetoff（英语：Vladimir Karapetoff） (1936)"Restricted relativity in terms of hyperbolic functions of rapidities", 赫爾曼·邦迪 43:70.

法蘭克·莫雷 (1936) "When and Where", The Criterion, edited by T.S. Eliot, 15:200-2009.

沃夫岡·潤德勒 (2001) Relativity: Special, General, and Cosmological, page 53, 牛津大學出版社.

Shaw, Ronald (1982) Linear Algebra and Group Representations, v. 1, page 229, Academic Press（英语：Academic Press） ISBN 0-12-639201-3.

Walter, Scott. The non-Euclidean style of Minkowskian relativity (PDF). (编) J. Gray. The Symbolic Universe: Geometry and Physics. Oxford University Press. 1999: 91–127. (see page 17 of e-link)

Rhodes, J. A.; Semon, M. D. Relativistic velocity space, Wigner rotation, and Thomas precession. Am. J. Phys. 2004, 72: 93–90. Bibcode:2004AmJPh..72..943R. arXiv:gr-qc/0501070. doi:10.1119/1.1652040.

Jackson, J. D. Chapter 11. Classical Electrodynamics 3d. John Wiley & Sons. 1999 [1962]. ISBN 0-471-30932-X.

[8] 這可以被理解成，欲求給定兩個速度所對應到的快度和，實際上就是在對原速度作相對論性的求和，再求出該速度對應的快度。此外，快度從 $mathbb R^3$ 上也繼承了三維向量加法的求和性質，這是與上述快度和不同的一種和。在下文提到「快度求和」時，請依照上下文判斷是哪一種求和。

[1] 赫爾曼·閔考斯基 (1908) Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies via Wikisource

[2] Sommerfeld, Phys. Z 1909

[3] 弗拉基米爾·瓦里卡克（英语：Vladimir Varicak） (1910)Application of Lobachevskian Geometry in the Theory of Relativity Physikalische Zeitschrift 經由維基文庫

[4] 埃德蒙·泰勒·惠特克（英语：E. T. Whittaker） (1910) A History of the Theories of the Aether and Electricity, 第441頁，經由互聯網檔案館.

[5] 阿爾弗雷德·羅伯（英语：Alfred Robb） (1911) Optical Geometry of Motion p.9

[6] Jackson 1999，第547页

[7] Rhodes & Semon 2003

[9] Robb 1910, Varićak 1910，Borel 1913

[10] Landau & Lifshitz 2002，Problem p. 38

[11] Rhodes & Semon 2003

[12] Amsler, C. et al., "The Review of Particle Physics", Physics Letters B 667 (2008) 1, Section 38.5.2

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