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单位圆。变量t是角度

在数学中，单位圆是指半径为单位长度的圆，通常为欧几里得平面直角坐标系中圆心为（0,0）、半径为1的圆。单位圆对于三角函数和复数的坐标化表示有着重要意义。单位圆通常表示为S¹。多维空间中，单位圆可推广为单位球。

如果单位圆上的点 (x, y)位于第一象限，那么x与y是斜边长度为1的直角三角形的两条边，根据勾股定理，x与y满足方程：

x2+y2=1displaystyle x^2+y^2=1,!

由于对于所有的x来说x² = (−x)²，并且所有这些点相对于x轴或者y轴的反射点也都位于单位圆上，因此单位圆上的所有点都满足上面的方程。

单位圆与三角函数

事实上，不仅仅是正弦与余弦，而且所有六个标准三角函数—正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）、正割（sec）、余割（csc）以及不常用正矢（versin）与外正割（exsec）—都可以在单位圆表示出来。

在直角三角形中，正弦、余弦以及其它三角函数只有当角度大于0且小于π/2时才有意义。但是，在单位圆上，对于任意的实数角度，这些函数都有直观的意义。

角度 θ的所有三角函数都可以在圆心为0的单位圆上表示出来。

• 
  正弦函数与余弦函数可以用如下方法定义。

设 (x, y)是单位圆上的一个点。设角 t的起始边为x轴的正方向，角度按照逆时针方向测量。那么角t的终边和单位圆会有一个交点。因此：

cos⁡(t)=xdisplaystyle cos(t)=x,!

sin⁡(t)=ydisplaystyle sin(t)=y,!

另外，从x² + y² = 1可以得到

cos2⁡(t)+sin2⁡(t)=1displaystyle cos ^2(t)+sin ^2(t)=1,!

从这里还可以直观地看出正弦函数与余弦函数都是周期函数，对于任意的整数k有恒等式

cos⁡t=cos⁡(2πk+t)displaystyle cos t=cos(2pi k+t),!

sin⁡t=sin⁡(2πk+t)displaystyle sin t=sin(2pi k+t),!

单位圆上已知準確座標的点

这些恒等式的依据是在角度t增加任意圈数或者减小任意圈数的时候x与y坐标保持不变。一圈 = 2π 弧度。

复数的圆群

复数也可以用欧几里得平面内的点来表示，a + bi表示为（a, b）。在这种表示下，单位圆是不断增加的群，在数学以及科学领域这个群有很重要的应用。

参见

• 三角函数


• 角


• 单位球


• 单位正方形


• 单位圆盘


• 圆群