njtynhj

本條目已列出參考文獻，但因為沒有文內引註而使來源仍然不明。（2013年10月1日） 请通过加入合适的行内引用来改善这篇条目。

在信號處理及控制理論中，有界輸入有界輸出穩定性簡稱BIBO穩定性，是一種針對有輸入信號線性系統的穩定性。BIBO是「有界輸入有界輸出」（Bounded-Input Bounded-Output）的簡稱，若系統有BIBO穩定性，則針對每一個有界的輸入，系統的輸出也都會有界，不會發散到無限大。

對於信號若存在有限的定值B>0displaystyle B>0使得信號的振幅不會超過Bdisplaystyle B，則此信號為有界的，也就是說

 |y[n]|≤B∀n∈Zdisplaystyle 針對離散訊號，或

 |y(t)|≤B∀t∈Ry(t) 針對連續訊號

線性非時變系統時域分析下的條件

連續系統的充份及必要條件

針對連續時間的線性時不變（LTI）系統，BIBO穩定性的條件是脈衝響應需為絕對可積分，也就是存在L¹範數

∫−∞∞|h(t)|dt=‖h‖1<∞_1<infty

離散系統的充份條件

針對離散時間的線性時不變系統，BIBO穩定性的條件是脈衝響應需為絕對可積分，也就是存在L¹範數

 ∑n=−∞∞|h[n]|=‖h‖1<∞_1<infty

充份條件的證明

假設離散時間的線性時不變系統，其脈衝響應 h[n]displaystyle h[n]和輸入 x[n]displaystyle x[n]和輸出 y[n]displaystyle y[n]之間會有以下的關係：

 y[n]=h[n]∗x[n]displaystyle y[n]=h[n]*x[n]

其中∗displaystyle *為卷積
則依卷積的定義：

 y[n]=∑k=−∞∞h[k]x[n−k]displaystyle y[n]=sum _k=-infty ^infty h[k]x[n-k]

令‖x‖∞displaystyle 為 |x[n]|displaystyle 的最大值

|y[n]|=|∑k=−∞∞h[n−k]x[k]|=left

≤∑k=−∞∞|h[n−k]||x[k]|displaystyle leq sum _k=-infty ^infty left（根據三角不等式）

≤∑k=−∞∞|h[n−k]|‖x‖∞displaystyle leq sum _k=-infty ^infty left

=‖x‖∞∑k=−∞∞|h[n−k]|x

=‖x‖∞∑k=−∞∞|h[k]|displaystyle =

若h[n]displaystyle h[n]是絕對可求和，則∑k=−∞∞|h[k]|=‖h‖1<∞h且

‖x‖∞∑k=−∞∞|h[k]|=‖x‖∞‖h‖1_1

因此若h[n]displaystyle h[n]是絕對可求和，且|x[n]|x[n]right有界，則因為‖x‖∞‖h‖1<∞_infty ，|y[n]|displaystyle left也會有界。

連續時間的情形也可以依類似的方式證明。

線性非時變系統頻域分析下的條件

連續時間訊號

對於一個有理的連續時間系統，穩定性的條件是拉普拉斯轉換的收斂區域包括複數平面的虛軸。若系統為因果系統，其收斂區域為「最大極點」（實部為最大值的極點）實部垂直線往右的開集，定義收斂區域的極點實部稱為收斂橫坐標（英语：abscissa of convergence）。因此，若要有BIBO穩定性，系統的所有極點都需在S平面的嚴格左半平面（不能在虛軸上）。

可以將時域分析下的穩定性條件擴展到頻域下：

∫−∞∞|h(t)|d⁡tdisplaystyle int _-infty ^infty ,operatorname d t

=∫−∞∞|h(t)||e−jωt|dtdisplaystyle =int _-infty ^infty left

=∫−∞∞|h(t)(1⋅e)−jωt|dtdisplaystyle =int _-infty ^infty h(t)(1cdot e)^-jomega tright

=∫−∞∞|h(t)(eσ+jω)−t|dtdisplaystyle =int _-infty ^infty h(t)(e^sigma +jomega )^-tright

=∫−∞∞|h(t)e−st|dtdisplaystyle =int _-infty ^infty h(t)e^-stright

其中s=σ+jωdisplaystyle s=sigma +jomega ，且Re(s)=σ=0displaystyle mboxRe(s)=sigma =0.

因此收斂區域必須包括虛軸。

離散時間訊號

對於一個有理的離散時間系統，穩定性的條件是Z轉換的收斂區域包括單位圓。若系統為因果系統，其收斂區域為極點絕對值中最大值為半徑的圓周以外的開集，因此，若要有BIBO穩定性，系統的所有極點都需在Z平面的單位圓內（不能在單位圓上）。

可以用類似的方式推導穩定性準則：

∑n=−∞∞|h[n]|=∑n=−∞∞|h[n]||e−jωn|displaystyle sum _n=-infty ^infty left=sum _n=-infty ^infty left

=∑n=−∞∞|h[n](1⋅e)−jωn|displaystyle =sum _n=-infty ^infty

=∑n=−∞∞|h[n](rejω)−n|displaystyle =sum _n=-infty ^infty

=∑n=−∞∞|h[n]z−n|displaystyle =sum _n=-infty ^infty h[n]z^-nright

其中z=rejωdisplaystyle z=re^jomega ，且r=|z|=1z

因此收斂區域必須包括單位圓。

相關條目

• 线性时不变系统理论


• 
  有限脉冲响应（FIR）濾波器


• 
  無限脈衝響應（IIR）濾波器


• 奈奎斯特图


• 羅斯-霍維茨穩定性準則


• 波德圖


• 相位裕度


• 根軌跡法


• 超穩定性

延伸閱讀