双扭线
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伯努利双扭线，以及其二個焦點
双扭线（lemniscate）是代數幾何中的名詞，是指8字型或是.mw-parser-output .seriffont-family:Times,serif∞型的曲線[1][2]，lemniscate源自拉丁文"lēmniscātus"，意思是「用緞帶裝飾」[2]，或是指羊毛（緞帶的原料）[1]。
目录
1 歷史和例子
1.1 Booth双扭线
1.2 伯努利双扭线
1.3 赫羅諾雙紐線
1.4 其他
2 相關條目
3 參考資料
4 外部連結
歷史和例子
Booth双扭线
Booth双扭线
Booth双扭线的研究可以追溯到西元五世紀的希臘新柏拉图主义哲學家及數學家普罗克洛，他考慮环面和一個和環面軸心平行的平面相交產生的圖形，他所觀測到的，大部份這類的截面會包括一個或是兩個卵形，不過若平面恰好和環面的內表面相切，其圖形會是一個8字型的圖案，普罗克洛稱為腳銬或是Hippopede。lemniscate這個名字最早是在十七世紀出現，19世紀的數學家James Booth也曾研究此一曲線[1]。
Booth双扭线可以定義為四次多項式(x2+y2)2−cx2−dy2displaystyle (x^2+y^2)^2-cx^2-dy^2
伯努利双扭线
伯努利双扭线
乔凡尼·多美尼科·卡西尼在1680年研究一系列的曲線，現今稱為卡西尼卵形线，是所有到兩個定點（圖形的焦點）距離乘積為常數的點形成的軌跡。在非常特殊的條件下（兩點距離的一半等於上述常數的平方根），所得的就是双扭线。
約翰·白努利在1694年研究卡西尼卵形线中的双扭线（現今稱為伯努利双扭线，如上圖），他找到這曲線和戈特弗里德·莱布尼茨稍早提出的等時降線的關係。此曲線是多項式(x2+y2)2−2a2(x2−y2)displaystyle (x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)
赫羅諾雙紐線
赫羅諾雙紐線：x4−x2+y2=0的解集合[5]
赫羅諾雙紐線（lemniscate of Gerono）也稱為8字型線或惠更斯雙紐線（lemniscate of Huygens），是四次方程式y2−x2(a2−x2)=0displaystyle y^2-x^2(a^2-x^2)=0
其他
其他有8字型的代數曲線有
魔鬼曲線，是由四次方程y2(y2−a2)=x2(x2−b2)displaystyle y^2(y^2-a^2)=x^2(x^2-b^2)所定義的曲線，曲線中有一部份為8字型[8]。
瓦特曲線是由機械連桿形成的8字型曲線，瓦特曲線是六次方程(x2+y2)(x2+y2−d2)2+4a2y2(x2+y2−b2)=0displaystyle (x^2+y^2)(x^2+y^2-d^2)^2+4a^2y^2(x^2+y^2-b^2)=0的解集合，伯努利双扭线是瓦特曲線中的一個特例。
相關條目
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多項式雙紐線，複數多項式絕對值的水平集- 廣義圓錐曲線
參考資料
^ 1.01.11.21.3 Schappacher, Norbert, Some milestones of lemniscatomy, Algebraic Geometry (Ankara, 1995), Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 193, New York: Dekker: 257–290, 1997, MR 1483331
^ 2.02.1 Erickson, Martin J., 1.1 Lemniscate, Beautiful Mathematics, MAA Spectrum, Mathematical Association of America: 1–3, 2011, ISBN 9780883855768 .
^ Bos, H. J. M., The lemniscate of Bernoulli, For Dirk Struik, Boston Stud. Philos. Sci., XV, Dordrecht: Reidel: 3–14, 1974, ISBN 9789027703934, MR 774250 .
^ Langer, Joel C.; Singer, David A., Reflections on the lemniscate of Bernoulli: the forty-eight faces of a mathematical gem, Milan Journal of Mathematics, 2010, 78 (2): 643–682, MR 2781856, doi:10.1007/s00032-010-0124-5
^ Achtkurve.
^ Chandrasekhar, S, Newton's Principia for the common reader, Oxford University Press: 133, 2003, ISBN 9780198526759 .
^ Costa, Luisa Rossi; Marchetti, Elena, Mathematical and Historical Investigation on Domes and Vaults, (编) Weber, Ralf; Amann, Matthias Albrecht, Aesthetics and architectural composition : proceedings of the Dresden International Symposium of Architecture 2004, Mammendorf: Pro Literatur: 73–80, 2005 .
^ Darling, David, devil's curve, The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes, John Wiley & Sons: 91–92, 2004, ISBN 9780471667001
外部連結
 | 维基共享资源中相关的多媒体资源：双扭线 |
Hazewinkel, Michiel (编), Lemniscates, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
