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卡西尼卵形线，焦点为(-1, 0)和(1, 0)

卡西尼卵形线，是平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，是环面曲线的一种。也就是说，如果我们定义dist(a,b)为从点a到点b的距离，则卡西尼卵形线上的所有点都满足以下的方程：

dist(q1,p)dist(q2,p)=b2displaystyle mboxdist(q_1,p)mboxdist(q_2,p)=b^2,

其中b是常数。

q₁和q₂称为卵形线的焦点。

假设q₁是点(a,0)，q₂是点(-a,0)，则曲线的方程为：

((x−a)2+y2)((x+a)2+y2)=b4displaystyle ((x-a)^2+y^2)((x+a)^2+y^2)=b^4

或

(x2+y2)2−2a2(x2−y2)+a4=b4displaystyle (x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)+a^4=b^4

以及

(x2+y2+a2)2−4a2x2=b4displaystyle (x^2+y^2+a^2)^2-4a^2x^2=b^4

极坐标系中的方程为：

r4−2a2r2cos⁡2θ=b4−a4displaystyle r^4-2a^2r^2cos 2theta =b^4-a^4

卵形线的形状与比值b/a有关。如果b/a大于1，则轨迹是一条闭曲线。如果b/a小于1，则轨迹是两条不相连的闭曲线。如果b/a等于1，则是伯努利双扭线。

参考文献

• Gray, A. "Cassinian Ovals." §4.2 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 82-86, 1997.


• Lockwood, E. H. A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 187-188, 1967.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 卡西尼卵形线. MathWorld. 


• 2Dcurves.com