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雙極坐標系繪圖。圖中的紅色圓圈是 σdisplaystyle sigma ,!-等值曲線，藍色圓圈則是 τdisplaystyle tau ,!-等值曲線。

二維雙極坐標系（英语：Bipolar coordinates）是一個正交坐標系。學術界上有三種常用的雙極坐標系^[1]。除了在這裏討論的坐標系以外，另外兩種是雙心坐標系與雙角坐標系。

這裡所要討論的雙極坐標系建立於阿波羅尼奧斯圓。σdisplaystyle sigma ,! 的等值曲線是圓圈。 τdisplaystyle tau ,! 的等值曲線也是圓圈。兩組圓圈互相垂直相交。雙極坐標系有兩個焦點 F1displaystyle F_1,! 與 F2displaystyle F_2,! ，其直角坐標 (x, y)displaystyle (x, y),! 通常分別設定為 (−a, 0)displaystyle (-a, 0),! 與 (a, 0)displaystyle (a, 0),! 。所以，這兩個焦點都處於直角坐標系的 x-軸。

雙極坐標系是好幾種三維正交坐標系的原始模。往 z-軸方向延伸，則可得到雙極圓柱坐標系。繞著 x-軸旋轉，即可得到雙球坐標系。繞著 y-軸旋轉，就可得到圓環坐標系。

基本定義

雙極坐標的幾何詮釋。 F1P¯displaystyle overline F_1P,! 與 F2P¯displaystyle overline F_2P,! 的夾角 ∠F1PF2displaystyle angle F_1PF_2,! 的弧度是 σdisplaystyle sigma ,! 。F1Pdisplaystyle F_1P,! 與 F2Pdisplaystyle F_2P,! 的比例的自然對數是 τdisplaystyle tau ,! 。σdisplaystyle sigma ,! 與 τdisplaystyle tau ,! 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（以洋紅色表示）。

在二維空間裏，一個點 P 的雙極坐標 (σ, τ)displaystyle (sigma , tau ),! 通常定義為

x=a sinh⁡τcosh⁡τ−cos⁡σdisplaystyle x=a frac sinh tau cosh tau -cos sigma ,!，

y=a sin⁡σcosh⁡τ−cos⁡σdisplaystyle y=a frac sin sigma cosh tau -cos sigma ,!；

其中，點 Pdisplaystyle P,! 的 σdisplaystyle sigma ,! 坐標等於 ∠F1PF2displaystyle angle F_1PF_2,! 的弧度，τdisplaystyle tau ,! 坐標等於 d1=F1Pdisplaystyle d_1=F_1P,! 與 d2=F2Pdisplaystyle d_2=F_2P,! 的比例的自然對數

τ=ln⁡d1d2displaystyle tau =ln frac d_1d_2,!。

（回想 F1displaystyle F_1,! 與 F2displaystyle F_2,! 的坐標分別為 (−a, 0)displaystyle (-a, 0),! 與 (a, 0)displaystyle (a, 0),! ）。

等值曲線

不同 σdisplaystyle sigma ,! 的等值曲線是一組不同圓心，而相交於兩個焦點 F1displaystyle F_1,! 與 F2displaystyle F_2,! 的圓圈：

x2+(y−acot⁡σ)2=a2sin2⁡σdisplaystyle x^2+(y-acot sigma )^2=frac a^2sin ^2sigma ,!

它們的圓心都包含於 y-軸。正值 σdisplaystyle sigma ,! 的圓圈的圓心都在 x-軸以上；而負值 σdisplaystyle sigma ,! 的圓圈的圓心則在 x-軸以下。當絕對值 |σ|displaystyle left 增加時，圓半徑會減小，圓心會靠近原點。當圓心與原點同點時，|σ|displaystyle left 達到最大值 π/2displaystyle pi /2,! 。

不同 τdisplaystyle tau ,! 的等值曲線是一組圍著焦點，互不相交，不同半徑的圓圈。半徑為

y2+(x−acoth⁡τ)2=a2sinh2⁡τdisplaystyle y^2+left(x-acoth tau right)^2=frac a^2sinh ^2tau ,! 。

它們的圓心都包含於 x-軸。正值 τdisplaystyle tau ,! 的圓圈在 x>0displaystyle x>0,! 半平面；而負值 τdisplaystyle tau ,! 的圓圈在 x<0displaystyle x<0,! 半平面。τ=0displaystyle tau =0,! 曲線則與 y-軸同軸。當 τdisplaystyle tau ,! 值增加時，圓圈的半徑會減少，圓心會靠近焦點。

逆變換

雙極坐標 (σ, τ)displaystyle (sigma , tau ),! 可以用直角坐標 (x, y)displaystyle (x, y),! 來表達。點 P 與兩個焦點之間的距離是

d12=(x+a)2+y2displaystyle d_1^2=(x+a)^2+y^2,! ，

d22=(x−a)2+y2displaystyle d_2^2=(x-a)^2+y^2,! 。

τdisplaystyle tau ,! 是 d1displaystyle d_1,! 與 d2displaystyle d_2,! 的比例的自然對數：

τ=ln⁡d1d2displaystyle tau =ln frac d_1d_2,! 。

∠F1PF2displaystyle angle F_1PF_2,! 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 F1P¯displaystyle overline F_1P,! 與 F2P¯displaystyle overline F_2P,! 的夾角。這夾角的弧度是 σdisplaystyle sigma ,! 。用餘弦定理來計算：

cos⁡σ=d12+d22−4a22d1d2displaystyle cos sigma =frac d_1^2+d_2^2-4a^22d_1d_2,! ；

標度因子

雙極坐標 (σ, τ)displaystyle (sigma , tau ),! 的標度因子相等：

hσ=hτ=acosh⁡τ−cos⁡σdisplaystyle h_sigma =h_tau =frac acosh tau -cos sigma ,! 。

所以，無窮小面積元素等於

dA=a2(cosh⁡τ−cos⁡σ)2 dσdτdisplaystyle dA=frac a^2(cosh tau -cos sigma )^2 dsigma dtau ,! 。

拉普拉斯算子是

∇2Φ=(cosh⁡τ−cos⁡σa)2(∂2Φ∂σ2+∂2Φ∂τ2)displaystyle nabla ^2Phi =left(frac cosh tau -cos sigma aright)^2(frac partial ^2Phi partial sigma ^2+frac partial ^2Phi partial tau ^2),! 。

其它微分算子，例如 ∇⋅Fdisplaystyle nabla cdot mathbf F ,! 與 ∇×Fdisplaystyle nabla times mathbf F ,! ，都可以用雙極坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標系的一般方程式內。

應用

雙極坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，雙極坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是，有兩個互相平行的圓柱導體，請問其周圍的電場為什麼？應用雙極坐標，我們可以精緻地分析這例題。

參閱

• 拉普拉斯-龍格-冷次向量

參考文獻

• H. Bateman "Spheroidal and bipolar coordinates", Duke Mathematical Journal 4 (1938), no. 1, 39–50。


• Lockwood, E. H. "Bipolar Coordinates." Chapter 25 in A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 186-190, 1967。


• Korn GA and Korn TM, (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill。

1. 
   ^ MathWorld 的雙極坐標系