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  本條目介紹的是拓扑学中的边界。關於流形中的边界，請見“流形”。

集合（淺藍色）和它的邊界（深藍色）。

在拓扑学中，拓扑空间 X 的子集 S 的边界是从 S 和从 S 的外部都可以接近的点的集合。更形式的说，它是 S 的闭包中的不属于 S 的内部的点的集合。S 的边界的元素叫做 S 的边界点。集合 S 的边界的符号包括 bd(S)、fr(S) 和 ∂S。某些作者（比如 Willard 在 General Topology 中）使用术语“边境”而不用边界来试图避免混淆于代数拓扑学中使用的边界概念。

S 的边界的连通单元叫做 S的边界单元。

定义

拓扑空间(X,τ)displaystyle (X,tau )的子集Sdisplaystyle S的边界（記為∂Sdisplaystyle partial S）有一些常用及等价的定义:

• 
  Sdisplaystyle S的闭包减去Sdisplaystyle S的内部：∂S=S¯−Sodisplaystyle partial S=bar S-S^o。


• 
  Sdisplaystyle S的闭包和其补集的闭包的交集：∂S=S¯∩(X−S)¯displaystyle partial S=bar Scap overline (X-S)。


• 
  ∂Sdisplaystyle partial S是所有满足以下条件的点xdisplaystyle x的集合：xdisplaystyle x的每个邻域都包含至少一个点属于Sdisplaystyle S，且至少一个点不属于Sdisplaystyle S。这些点称为Sdisplaystyle S的边界点。

性质

• 集合的边界是闭集。


• 
  p 是某集合的边界点，当且仅当所有 p 的邻域包含至少一个点属于该集合且至少一个点不属于该集合。


• 某集合的边界等于该集合的闭包和该集合的补集的闭包的交集。


• 某集合是闭集，当且仅当该集合的边界在该集合中；某集合是开集，当且仅当该集合与其边界不相交。


• 某集合的边界等于其补集的边界。


• 某集合的闭包等于该集合和其边界的并集。


• 某集合的边界为空，当且仅当该集合既是开集也是闭集(也就是闭开集)。

举例

• 若 X=[0,5)displaystyle X=[0,5),，则 ∂X=0,5displaystyle partial X=0,5。


• ∂B¯(a,r)=B¯(a,r)−B(a,r)displaystyle partial overline B(mathbf a ,r)=overline B(mathbf a ,r)-B(mathbf a ,r)


• ∂Dn≃Sn−1displaystyle partial D^nsimeq S^n-1


• ∂∅=∅displaystyle partial emptyset =emptyset


• 在 R³ 中，若 Ω=x²+y² ≤ 1且Z=0，则 ∂Ω = Ω；但在 R² 中，∂Ω = x²+y² = 1。所以，集合的边界依赖其背景空间。

引用

• 
  J. R. Munkres. Topology. Prentice-Hall. 2000. ISBN 978-0-13-181629-9. 
  


• 
  S. Willard. General Topology. Addison-Wesley. 1970. ISBN 978-0-201-08707-9.