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  提示：本条目的主题不是伴隨矩陣。

数学上，特别是泛函分析中，希尔伯特空间中的每个线性算子有一个相应的伴随算子（adjoint operator）。算子的伴随将方块矩阵共轭转置推广到（可能）无穷维情形。如果我们将希尔伯特空间上的算子视为“广义复数”，则一个算子的伴随起着一个复数的共轭的作用。

一个算子A的伴随常常也称为埃尔米特伴随（Hermitian adjoint，以夏尔·埃尔米特命名），记作A^*或A^†（后者尤其用于狄拉克符号记法）。

有界算子

假設H是一個希爾伯特空間，帶有內積
⟨⋅,⋅⟩displaystyle langle cdot ,cdot rangle 。考慮連續線性算子A : H → H（這與有界算子相同）。

利用里斯表示定理，我們可以證明存在惟一的連續線性算子

A* : H → H具有如下性質：

⟨Ax,y⟩=⟨x,A∗y⟩displaystyle langle Ax,yrangle =langle x,A^*yrangle ，对所有x,y∈Hdisplaystyle x,yin H。

這個算子A* 是A的伴隨。

這可以視為一個方塊矩陣的轉置共軛或伴隨矩陣推廣，在標準（復）內積下具有相似的性質。

性质

马上可得的性质

1. 
   A** = A
   


2. 如A可逆，则A* 也可逆，且 (A*)⁻¹ = (A⁻¹)*


3. (A + B)* = A* + B*


4. (λA)* = λ* A*，这里λ* 表示复数λ的复共轭
   


5. (AB)* = B* A*

如果我们定义A的算子范数为

‖A‖op:=sup‖Ax‖:‖x‖≤1A

则

‖A∗‖op=‖A‖op,displaystyle

而且有

‖A∗A‖op=‖A‖op2_op^2。

希尔伯特空间H上有界线性算子与伴随算子以及算子范数给出一个C*代数例子。

A的像与它的伴随的核的关系为

ker⁡A∗=(im⁡ A)⊥,displaystyle ker A^*=left(operatorname im Aright)^bot ,

(ker⁡A∗)⊥=im⁡ A¯displaystyle left(ker A^*right)^bot =overline operatorname im A。

第一个等式的证明：

A∗x=0⟺⟨A∗x,y⟩=0∀y∈H⟺⟨x,Ay⟩=0∀y∈H⟺x ⊥ im⁡ Adisplaystyle beginalignedA^*x=0&iff langle A^*x,yrangle =0quad forall yin H\&iff langle x,Ayrangle =0quad forall yin H\&iff x bot operatorname im Aendaligned

第二个等式由第一个推出，于两边取正交空间即可。注意到一般地，像未必是闭的，但连续算子的核总是闭的。

埃尔米特算子

有界算子A: H → H称为埃尔米特或自伴如果

A = A*

这等价于

⟨Ax,y⟩=⟨x,Ay⟩,∀x,y∈Hdisplaystyle langle Ax,yrangle =langle x,Ayrangle ,forall x,yin H。

在某种意义下，这种算子起着实数（等于他们的复共轭）的作用。他们在量子力学中作为实值可观测量的模型。更多细节参见自伴算子一文。

无界算子的伴随

许多重要的算子不是连续的或只定义在希尔伯特的一个子空间上。在这种情形，我们仍然能定义伴随，在自伴算子一文有解释。

其他伴随

范畴论中，方程

⟨Ax,y⟩=⟨x,A∗y⟩displaystyle langle Ax,yrangle =langle x,A^*yrangle

形式上类似地定义了伴随函子偶性质，这也是伴随函子得名之由来。

又见

• 数学概念
  
  • 线性代数
  
  
  • 内积
  
  
  • 希尔伯特空间
  
  
  • 埃尔米特算子
  
  
  • 范数
  
  
  • 算子范数
  
  
  • 线性映射的转置
  
  


• 物理应用
  
  • 对偶空间
  
  
  • 狄拉克符号
  
  
  • 量子力学
  
  
  • 可观测量
  
  

参考文献

• Walter Rudin. Functional Analysis(2nd ed.), China Machine Press, 2006