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擁有不同範數的單位圓

範數（英语：norm），是具有“长度”概念的函數。在線性代數、泛函分析及相關的數學領域，是一個函數，其為向量空間內的所有向量賦予非零的正長度或大小。另一方面，半範數（英语：seminorm）可以為非零的向量賦予零長度。

舉一個簡單的例子，一個二維度的歐氏幾何空間R2displaystyle mathbb R ^2就有歐氏範數。在這個向量空間的元素（譬如：(3,7)）常常在笛卡兒座標系統被畫成一個從原點出發的箭號。每一個向量的歐氏範數就是箭號的長度。

擁有範數的向量空間就是賦範向量空間。同樣，擁有半範數的向量空間就是賦半範向量空間。

定義

假設V是域F上的向量空間；V的半範數是一個函數p:V→R;x↦p(x)displaystyle p:Vto mathbb R ;xmapsto p(x)，满足：

∀a∈F,∀u,v∈Vdisplaystyle forall ain F,forall u,vin V,

1. 
   p(v)≥0displaystyle p(v)geq 0（具有半正定性）


2. 
   p(av)=|a|p(v)displaystyle p(av)=（具有绝对一次齐次性）


3. 
   p(u+v)≤p(u)+p(v)displaystyle p(u+v)leq p(u)+p(v) （满足三角不等式）

範數是一個半範數加上額外性质：

4. p(v)=0displaystyle p(v)=0,当且仅当vdisplaystyle v是零向量（正定性）

如果拓撲向量空間的拓撲可以被範數導出，這個拓撲向量空間被稱為賦範向量空間。

例子

• 所有范数都是半范数。


• 
  平凡半范数,即p(x)=0,∀x∈Vdisplaystyle p(x)=0,forall xin V。


• 
  绝对值是实数集上的一个范数。


• 对向量空间上的线性型f可定义一个半范数：x→|f(x)|displaystyle boldsymbol xto 。

绝对值范数

绝对值

‖x‖=|x|boldsymbol x

是在由实数或虚数构成的一维向量空间中的范数。

绝对值范数是曼哈顿范数的特殊形式。

欧几里德范数

在n维欧几里德空间Rndisplaystyle mathbb R ^n上，向量x=(x1,x2,…,xn)Tdisplaystyle boldsymbol x=(x_1,x_2,,ldots ,,x_n)^mathrm T 的最符合直觉的长度由以下公式给出

‖x‖2:=x12+⋯+xn2.boldsymbol x

根据勾股定理，它给出了从原点到点xdisplaystyle boldsymbol x之间的（通常意义下的）距离。欧几里德范数是Rndisplaystyle mathbb R ^n上最常用的范数，但正如下面举出的，Rndisplaystyle mathbb R ^n上也可以定义其他的范数。然而，以下定义的范数都定义了同一个拓扑结构，因此它们在某种意义上都是等价的。

在一个n维复数空间Cndisplaystyle mathbb C ^n中，最常见的范数是：

‖z‖:=|z1|2+⋯+|zn|2=z1z¯1+⋯+znz¯n.:=sqrt z_n=sqrt z_1bar z_1+cdots +z_nbar z_n.

以上两者又可以以向量与其自身的内积的平方根表示：

‖x‖:=x∗x,boldsymbol x

其中x是一个列向量([x1,x2,…,xn]Tdisplaystyle [x_1,x_2,,ldots ,,x_n]^mathrm T )，而x∗displaystyle boldsymbol x^*表示其共轭转置。

以上公式适用于任何内积空间，包括欧式空间和复空间。在欧几里得空间里，内积等价于点积，因此公式可以写成以下形式：

‖x‖:=x⋅x.displaystyle

特别地，Rn+1displaystyle mathbb R ^n+1中所有的欧几里得范数为同一个给定正实数的向量的集合是一个n维球面。

复数的欧几里得范数

如果将复平面看作欧几里得平面R2displaystyle mathbb R ^2，那么复数的欧几里得范数是其绝对值（又称为模）。这样，我们可把x+iydisplaystyle x+i,y视为欧几里得平面上的一个向量，由此，这个向量的欧几里得范数即为x2+y2displaystyle sqrt x^2+y^2（最初由欧拉提出）。

參見

• 內積


• 賦範向量空間


• 矩陣範數


• 曼哈頓距離

參考文獻