向量空间
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向量空間是现代数学中的一个基本概念。是線性代數研究的基本对象。
向量空间的一个直观模型是向量几何,幾何上的向量及相关的運算即向量加法,標量乘法,以及对運算的一些限制如封闭性,结合律,已大致地描述了“向量空間”这个數學概念的直观形象。
在现代数学中,“向量”的概念不仅限于此,满足下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如,實系數多項式的集合在定义适当的运算后构成向量空間,在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后,也构成向量空间,研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。
目录
1 公理化定義
1.1 基本性质
2 例子
2.1 方程组与向量空间
3 子空間基底
4 線性映射
5 概念化及額外結構
6 參考文獻
公理化定義
給定域.mw-parser-output .seriffont-family:Times,serifF,F上的向量空間V是一个集合,其上定义了两种二元运算:
向量加法
+ : V × V → V,把
V中的两个元素
u 和
v 映射到
V中另一个元素,记作
u + v;
标量乘法
· : F × V → V,把
F中的一个元素
a 和
V 中的一个元素
u变为
V中的另一个元素,記作
a ·u。
V中的元素称为向量,相对地,F中的元素称为标量。
而集合V公理[1]才构成一个向量空间(对F中的任意元素a、b以及V中的任意元素u、v、w都成立):
公理 | 说明 |
---|---|
向量加法的结合律 | u + (v + w) = (u + v) + w |
向量加法的交换律 | u + v = v + u |
向量加法的单位元 | 存在一个叫做零向量的元素 0 ∈ V,使得对任意 u ∈ V都满足 u + 0 = u |
向量加法的逆元素 | 对任意 v ∈ V都存在其逆元素 −v ∈ V使得 v + (−v) = 0 |
标量乘法与标量的域乘法相容 | a(bv) = (ab)v |
标量乘法的单位元 | 域 F存在乘法单位元 1满足 1v = v |
标量乘法对向量加法的分配律 | a(u + v) = au + av |
标量乘法对域加法的分配律 | (a + b)v = av + bv |
前四個公理說明装备了向量加法的V是交換群,餘下的四个公理應用於标量乘法。需要注意的是向量之间的加法“+”和标量之间的加法“+”是不一样的,标量与向量之间的标量乘法·和两个标量之间的乘法(域F中自带的乘法)也是不一样的。
簡而言之,向量空間是一個F−模。
基本性质
以下是一些可以从向量空间的公理直接推出的性质:
- 零向量0是唯一的;
- 对任意
a ∈ F,
a · 0 = 0; - 对任意
u ∈ V,0
·u = 0(0是
F的加法單位元)。 - 如果
a ·u = 0,则要么
a = 0,要么
u = 0。 - 向量加法的逆向量
v是唯一的,记作
− v。
u + (− v)也可以写成
u − v,两者都是标准的。 - 对任意
u ∈ V,−1
·u = − u. - 对任意
a ∈ F以及
u ∈ V,
(−a) ·u= −(a ·u) = a · (− u).
例子
對一般域F,V记為F-向量空間。若F是實數域ℝ,则V稱為實數向量空間;若F是複數域ℂ,则V稱為複數向量空間;若F是有限域,则V稱為有限域向量空間。
最简单的F-向量空間是F自身。只要定义向量加法为域中元素的加法,标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当F是实数域ℝ时,可以验证对任意实数a、b以及任意实数u、v、w,都有:
u + (v + w) = (u + v) + w,
v + w = w + v,- 零元素存在:零元素
0满足:对任何的向量元素
v,
v + 0 = v, - 逆元素存在:对任何的向量元素
v,它的相反数
w = −v就满足
v + w = 0。 - 标量乘法对向量加法满足分配律:
a(v + w) = a v + a w. - 向量乘法对标量加法满足分配律:
(a + b)v = a v + b v. - 标量乘法与标量的域乘法相容:
a(bv) =(ab)v。 - 标量乘法有單位元:
ℝ中的乘法单位元,也就是实数“1”满足:对任意实数
v,
1v = v。
更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面:平面上的每一点Pdisplaystyle P都有一个坐标P(x,y)displaystyle P(x,y),并对应着一个向量(x,y)displaystyle (x,y)。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间,记作ℝ²,因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组(x,y)displaystyle (x,y)。可以验证,对于普通意义上的向量加法和标量乘法,ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上,向量空间是ℝ²的推广。
同样地,高维的欧几里得空间ℝn也是向量空间的例子。其中的向量表示为v=(a1,a2,⋯,an)displaystyle v=(a_1,a_2,cdots ,a_n),其中的a1,a2,⋯,andisplaystyle a_1,a_2,cdots ,a_n都是实数。定义向量的加法和标量乘法是:
∀λ∈R,v=(a1,a2,⋯,an)∈Rn,w=(b1,b2,⋯,bn)∈Rndisplaystyle forall lambda in mathbb R ,,v=(a_1,a_2,cdots ,a_n)in mathbb R ^n,,w=(b_1,b_2,cdots ,b_n)in mathbb R ^n,
v+w=(a1,a2,⋯,an)+(b1,b2,⋯,bn)=(a1+b1,a2+b2,⋯,an+bn)displaystyle v+w=(a_1,a_2,cdots ,a_n)+(b_1,b_2,cdots ,b_n)=(a_1+b_1,a_2+b_2,cdots ,a_n+b_n)
λv=λ(a1,a2,⋯,an)=(λa1,λa2,⋯,λan)displaystyle lambda v=lambda (a_1,a_2,cdots ,a_n)=(lambda a_1,lambda a_2,cdots ,lambda a_n)
可以验证这也是一个向量空间。
再考虑所有系数为实数的多项式的集合R[X]displaystyle mathbb R [X]。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法,R[X]displaystyle mathbb R [X]也构成一个向量空间。更广泛地,所有从实数域射到实数域的连续函数的集合C(R,R)displaystyle mathcal C(mathbb R ,mathbb R )也是向量空间,因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。
方程组与向量空间
向量空间的另一种例子是齐次线性方程组(常数项都是0的线性方程组)的解的集合。例如下面的方程组:
- 3x+2y−z=0displaystyle 3x+2y-z=0
- x+5y+2z=0displaystyle x+5y+2z=0
如果(x1,y1,z1)displaystyle (x_1,y_1,z_1)和(x2,y2,z2)displaystyle (x_2,y_2,z_2)都是解,那么可以验证它们的“和”(x1+x2,y1+y2,z1+z2)displaystyle (x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)也是一组解,因为:
- 3(x1+x2)+2(y1+y2)−(z1+z2)=(3x1+2y1−z1)+(3x2+2y2−z2)=0displaystyle 3(x_1+x_2)+2(y_1+y_2)-(z_1+z_2)=(3x_1+2y_1-z_1)+(3x_2+2y_2-z_2)=0
- (x1+x2)+5(y1+y2)+2(z1+z2)=(x1+5y1+2z1)+(x2+5y2+2z2)=0displaystyle (x_1+x_2)+5(y_1+y_2)+2(z_1+z_2)=(x_1+5y_1+2z_1)+(x_2+5y_2+2z_2)=0
同样,将一组解乘以一个常数后,仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理,因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。
一般来说,当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时,方程组有无限多组解,并且这些解组成一个向量空间。
对于齐次线性微分方程,解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程:
- f″+4xf′+cos(x)f=0displaystyle f''+4xf'+cos(x)f=0
出于和上面类似的理由,方程的两个解f1displaystyle f_1和f2displaystyle f_2的和函数f1+f2displaystyle f_1+f_2也满足方程。可以验证,这个方程的所有解构成一个向量空间。
子空間基底
如果一個向量空間V的一個非空子集合W对于V的加法及標量乘法都封闭(也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中),那么将W称为V的線性子空間(简称子空间)。V的子空间中,最平凡的就是空間V自己,以及只包含0的子空间0displaystyle 0。
給出一個向量集合B,那么包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間,也称線性包络,记作span(B)。
給出一個向量集合B,若它的生成子空间就是向量空間V,则稱B為V的一个生成集。如果一个向量空間V拥有一个元素个数有限的生成集,那么就稱V是一个有限维空间。
可以生成一個向量空間V的線性獨立子集,稱為這個空間的基。若V=0,约定唯一的基是空集。對非零向量空間V,基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后,空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能够把基中元素按下标排列:B=e1,e2,⋯,en,⋯displaystyle mathbf B =lefte_1,e_2,cdots ,e_n,cdots right,那么空间中的每一个向量v便可以通过座標系統來呈現:
- v=λ1e1+λ2e2+⋯+λnen+⋯displaystyle v=lambda _1e_1+lambda _2e_2+cdots +lambda _ne_n+cdots
这种表示方式必然存在,而且是唯一的。也就是说,向量空间的基提供了一个坐标系。
可以证明,一个向量空間的所有基都擁有相同基數,稱為該空間的維度。当V是一个有限维空间时,任何一组基中的元素个数都是定值,等于空间的维度。例如,各种實數向量空間:ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ∞,…中, ℝn的維度就是n。在一个有限维的向量空间(维度是n)中,确定一组基B=e1,e2,⋯,endisplaystyle mathbf B =lefte_1,e_2,cdots ,e_nright,那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说,如果某个向量v表示为:
v=λ1e1+λ2e2+⋯+λnendisplaystyle v=lambda _1e_1+lambda _2e_2+cdots +lambda _ne_n
那么v可以用数组v=(λ1,λ2,⋯,λn)displaystyle v=(lambda _1,lambda _2,cdots ,lambda _n)来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法,基中元素表示为:
e1=(1,0,⋯,0)displaystyle e_1=(1,0,cdots ,0)
e2=(0,1,⋯,0)displaystyle e_2=(0,1,cdots ,0)
en=(0,0,⋯,1)displaystyle e_n=(0,0,cdots ,1)
可以证明,存在从任意一个n维的Fdisplaystyle mathbf F -向量空间到空间Fndisplaystyle mathbf F ^n的双射。这种关系称为同构。
線性映射
給定兩個系数域都是F的向量空間V和W,定义由V到W的線性變換(或称线性映射)为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f:
f:V→Wdisplaystyle f:,Vrightarrow W
∀a∈F,u,v∈V,f(u+v)=f(u)+f(v),f(a⋅v)=a⋅f(v)displaystyle forall ain F,u,vin V,,f(u+v)=f(u)+f(v),,f(acdot v)=acdot f(v)
所有线性变换的集合记为L(V,W)displaystyle mathcal L(V,W),这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后,L(V,W)displaystyle mathcal L(V,W)中的线性变换可以通过矩阵来表示。
如果两个向量空間V和W之间的一个線性映射是一一映射,那么这个线性映射称为(线性)同构,表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之間存在同構,那么稱這兩個空間為同構的。如果向量空間V和W之间存在同构f:V→Wdisplaystyle f:,Vrightarrow W,那么其逆映射g:W→Vdisplaystyle g:,Wrightarrow V也存在,并且对所有的x∈V,y∈Wdisplaystyle xin V,,yin W,都有:
g∘f(x)=x,f∘g(y)=ydisplaystyle gcirc f(x)=x,,fcirc g(y)=y
概念化及額外結構
研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下:
- 一個實數或複數向量空間加上長度概念(就是範數)則成為賦範向量空間。
- 一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念則成為內積空間。
- 一個向量空間加上拓撲結構并滿足連續性要求(加法及標量乘法是連續映射)則成為拓撲向量空間。
- 一個向量空間加上雙線性算子(定義為向量乘法)則成為域代數。
參考文獻
- 《中国大百科全书》
- Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
- Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
- Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
- Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
- Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8
^ Roman 2005, ch. 1, p. 27