域 (數學)

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「域」的各地常用別名
中国大陸
港臺
體,場,範圍,域[1]

在抽象代数中,Field)是一种可進行加、減、乘和除(除了除以零之外,「零」即加法單位元素)運算的代數結構。的概念是数域以及四则运算的推广。


域是环的一种。域和一般的环的区别在于域要求它的元素(除零元素之外)可以进行除法运算,这等于说每个非零的元素都要有乘法逆元。體中的運算关于乘法是可交换的。若乘法運算沒有要求可交換則稱為除環(division ring)或skew field。




目录





  • 1 定义

    • 1.1 定义1


    • 1.2 定义2


    • 1.3 定义3



  • 2 例子


  • 3 基本性质


  • 4 參見




定义


非正式的講,域是種集合,集合中的元素可以做兩種運算,"加法":a+bdisplaystyle a+ba+b 和"乘法": a⋅bdisplaystyle acdot bdisplaystyle acdot b, 且要求集合中任意元素 adisplaystyle aa 有加法反元素 −adisplaystyle -a-a,對所有非零元素 bdisplaystyle bb 有乘法反元素 b−1displaystyle b^-1displaystyle b^-1,這種性質讓我們可以用以下方法來定義加法和乘法的"反運算",減法:a−bdisplaystyle a-bdisplaystyle a-b 和除法 a/bdisplaystyle a/ba/b


a−b=a+(−b)displaystyle a-b=a+(-b)displaystyle a-b=a+(-b)

a/b=a⋅b−1displaystyle a/b=acdot b^-1displaystyle a/b=acdot b^-1


定义1


域是交换性除环。



定义2


域是一種交換環(F, +, *),當中加法單位元(0)不等於乘法單位元(1),且所有非零元素有乘法逆元。更簡單講就是:域是可交換除環。



定义3


域是個集合 Fdisplaystyle FF 且帶有加法和乘法兩種運算,這裡“運算”可以想成是種映射,對任意兩元素
a,b∈Fdisplaystyle a,bin Fdisplaystyle a,bin F,這映射將此兩元素對應到某元素,且這些運算满足如下性质:


在加法和乘法兩種運算上封閉

對所有屬於F的a,bdisplaystyle a,ba, ba+bdisplaystyle a+ba+ba∗bdisplaystyle a*ba*b屬於F(另一種說法:加法和乘法是F上的二元運算)。

加法和乘法符合結合律

對所有屬於F的a,b,cdisplaystyle a,b,ca, b, c(a+b)+c=a+(b+c)displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)(a∗b)∗c=a∗(b∗c)displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)(a*b)*c=a*(b*c)

加法和乘法符合交換律

對所有屬於F的a,bdisplaystyle a,ba, ba+b=b+adisplaystyle a+b=b+aa+b=b+aa∗b=b∗adisplaystyle a*b=b*aa*b=b*a

符合乘法對加法的分配律

對所有屬於F的a,b,cdisplaystyle a,b,ca, b, ca∗(b+c)=(a∗b)+(a∗c)displaystyle a*(b+c)=(a*b)+(a*c)a*(b+c)=(a*b)+(a*c)

存在加法單位

在F中有元素0,使得所有a∈Fdisplaystyle ain Fdisplaystyle ain Fa+0=adisplaystyle a+0=aa+0=a

存在乘法單位

在F中有不同于0的元素1,使得所有屬於F的adisplaystyle aaa∗1=adisplaystyle a*1=aa*1=a

存在加法逆元

對所有屬於F的adisplaystyle aa,存在−adisplaystyle -a-a使得a+(−a)=0displaystyle a+(-a)=0a+(-a)=0

非零元素存在乘法逆元

對所有a≠0displaystyle aneq 0a ne 0,存在元素a−1displaystyle a^-!1a^-!1使得a∗a−1=1displaystyle a*a^-1=1a*a^-1=1

其中0 ≠ 1的要求排除了平凡的只由一个元素组成的域。


由以上性质可以得出一些最基本的推论:


−(a * b) =(−a)* b = a *(−b)


a * 0 = 0

如果a * b = 0,则要么a = 0,要么b = 0


例子


  • 許多常见的数域都是域。比如说,全体复数的集合Cdisplaystyle mathbb C mathbbC 对于加法和乘法构成一个域。全体有理数的集合Qdisplaystyle mathbb Q mathbbQ也是一个域,它是Cdisplaystyle mathbb C mathbbC 子域,并且不包含更小的子域了。

  • 代数数域:代数数域是有理数域Qdisplaystyle mathbb Q mathbbQ的有限扩域,也就是说代数数域是Qdisplaystyle mathbb Q mathbbQ上的有限维向量空间。代数数域都同构于Cdisplaystyle mathbb C mathbbC 的子域,并且这个同构保持Qdisplaystyle mathbb Q mathbbQ不变,即这个同构把每个有理数都映射到它自身。代数数域是代数数论研究的对象。

  • 代数数构成的域:所有的代数数的集合对于加法和乘法构成一个域,记作Q¯displaystyle overline mathbb Q overlinemathbbQQ¯displaystyle overline mathbb Q overlinemathbbQ是有理数域Qdisplaystyle mathbb Q mathbbQ的代数闭包(见下)。Q¯displaystyle overline mathbb Q overlinemathbbQ是特征为零的代数封闭的域的一个例子。
  • 全体实数的集合Rdisplaystyle mathbb R mathbbR 对于加法和乘法构成一个域。实数域是复数域Cdisplaystyle mathbb C mathbbC 的子域,也是一个有序域。后者使得实数域上能够建立起微积分理论。
  • 所有的实代数数的集合也构成一个域,它是Rdisplaystyle mathbb R mathbbR 的一个子域。
  • 任意一个有限域的元素个数是一个素数q的乘方,一般记作Fq,就是所谓的伽罗瓦域。任意一个元素个数是素数q的域都同构于Z/pZ = 0, 1, ..., p − 1。令p = 2,就得到最小的域:F2F2只含有两个元素0和1运算法则如下:
0 10 1
0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1

  • EF是两个域,EF的子域,则FE扩域。设xF中的一个元素,则存在着一个最小的同时包含ExF的子域,记作E (x)E (x)称作EF中关于 x单扩张。比如说,复数域Cdisplaystyle mathbb C mathbbC 就是实数域Rdisplaystyle mathbb R mathbbR Cdisplaystyle mathbb C mathbbC 中关于虚数单位i的单扩张。
  • 每一个有乘法么元的环R都对应着一个包含它的域,称为它的分式域,记作K(R)。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类,再将环“嵌入”其中(详见分式域)。可以证明,K(R)是包含R的“最小”的域。
  • F是一个域,定义F (X)是所有以F中元素为系数的分式的集合,则F (X)F的一个扩域。F (X)F上的一个无穷维的向量空间,这是域的超越扩张的一个例子。
  • F是一个域,p(X)是多项式环F[X]上的一个不可约多项式,则商环F[X]/<p(X)>是一个域。其中的<p(X)>表示由p(X)生成的理想。举例来说,R[X]/<X2 + 1>是一个域(同构于复数域Cdisplaystyle mathbb C mathbbC )。可以证明,F的所有单扩张都同构于此类形式的域。
  • V是域F上的一个代數簇,则所有V → F 的有理函数构成一个域,称为V函数域
  • S是一个黎曼曲面,则全体S → C 的亚纯函数构成一个域。
  • 由于序数的类不是集合,因此在其上定义的尼姆数不能构成真正的域。但它满足域的所有条件,且其任意封闭子集(如小于22ndisplaystyle 2^2^n2^2^n的所有自然数构成的子集)都是域。


基本性质


  • F中的所有非零元素的集合(一般记作F×)是一个关于乘法的阿贝尔群。F×的每个有限子群都是循环群。
  • 若存在正整数n使得0 = 1 + 1 + ... + 1(n个1),那么这样的n中最小的一个称为这个域的特征,特征要么是一个素数p,要么是0(表示这样的n不存在)。此时Fdisplaystyle FF中最小的子域分别是Qdisplaystyle mathbb Q mathbbQ或有限域Fpdisplaystyle mathbb F _pmathbbF_p,称之为Fdisplaystyle FF素域
  • 一个交换环是域当且仅当它的理想只有自身和零理想。
  • 在选择公理成立的假设下,对每个域F都存在着唯一的一个域G(在同构意义上),G包含FGF的代数扩张,并且G代数封闭。G称作由F确定的代数闭包。在很多情况下上述的同构并不是唯一的,因此又说GF的一个代数闭包。


參見


  • 特徵 (代数)

  • 環論

  • 域論

  • 有序域


  1. ^ 張幼賢等. 學術名詞編譯系列叢書-數學名詞(第四版). 台北市: 國家教育研究院. 2014: p149. ISBN 9789860440454 (中文(台灣)‎).  引文格式1维护:冗余文本 (link)

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