超实数 (非标准分析)
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 | 本條目需要擴充。 (2013年2月14日) |
各种各样的數 | ||
基本 | ||
N⊆Z⊆Q⊆R⊆Cdisplaystyle mathbb N subseteq mathbb Z subseteq mathbb Q subseteq mathbb R subseteq mathbb C
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延伸 | ||
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其他 | ||
圓周率 π=3.141592653…displaystyle pi =3.141592653dots |
![mathbbZ[i]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
![displaystyle mathbb Z [omega ]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae955a9a0d0f342fc73aaafe28af604d23267f7)
超實數系統是為了嚴格處理無窮量（無窮大量和無窮小量）而提出的。自從微積分的發明以來，數學家、科學家和工程師等（包括牛頓和萊布尼茲在內）就一直廣泛地用無窮小量等概念。超實數集，或稱為非標準實數集，記爲∗Rdisplaystyle ^*mathbb R 
1+1+⋯+1displaystyle 1+1+cdots +1（有限個）
這可以解釋為無窮大；而它們的倒數就作為無窮小量。∗Rdisplaystyle ^*mathbb R
- ∀x,y∈R,x+y=y+xdisplaystyle forall x,yin mathbb R ,x+y=y+x
是關於 Rdisplaystyle mathbb R
- ∀x,y∈∗R,x+y=y+xdisplaystyle forall x,yin ^*mathbb R ,x+y=y+x
也就是說超實數集同樣滿足加法交換律。
無窮小量的概念是否嚴格呢？此問題可以追溯到古希臘數學：數學家們如歐幾里得、阿基米德等，為了在一些證明裡繞開無窮小量的爭議以保證嚴格性，而采用了窮竭法等其它說明方式[1]。而亞伯拉罕·魯濱遜在1960年代證明了，
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超實數系統是相容的，當且僅當實數系統是相容的
換句話說，如果對實數的使用没有懷疑，那也可以放心使用超實數。在處理數學分析的問題時對超實數、尤其是傳達原理的使用，通稱為非標準分析。
参考资料
^ Ball, p. 31
Ball, W.W. Rouse. A Short Account of the History of Mathematics 4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908]. New York: Dover Publications. 1960: 50–62. ISBN 0-486-20630-0.
