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  提示：本条目的主题不是p进制数。

3进整数相互关系图示

pdisplaystyle p进数是数论中的概念，也称作局部数域，是有理数域拓展成的完备数域的一种。这种拓展与常见的有理数域Qdisplaystyle mathbb Q 到实数域Rdisplaystyle mathbb R 、复数域Cdisplaystyle mathbb C 的数系拓展不同，其具体在于所定义的“距离”概念。pdisplaystyle p进数的距离概念建立在整数的整除性质上。给定素数pdisplaystyle p，若两个数之差被pdisplaystyle p的高次幂整除，那么这两个数距离就“接近”，幂次越高，距离越近。这种定义在数论性质上的“距离”能够反映同余的信息，使pdisplaystyle p进数理论成为了数论研究中的有力工具。例如安德鲁·怀尔斯对费马大定理的证明中就用到了pdisplaystyle p进数理论。

pdisplaystyle p进数的概念首先由库尔特·亨泽尔于1897年构思并刻画，其发展动机主要是试图将幂级数方法引入到数论中，但现今pdisplaystyle p进数的影响已远不止于此。例如可以在pdisplaystyle p进数上建立pdisplaystyle p进数分析，将数论和分析的工具结合起来。此外pdisplaystyle p进数在量子物理学、认知科学、计算机科学等领域都有应用。

预备知识

数系的拓展

数系是人类将自然中的数量关系抽象化得到的代数系统。最早建立的数系是带有加法与乘法的自然数N=0,1,2,3⋯displaystyle mathbb N =0,1,2,3cdots ，其後引入了负数、分数的概念，形成了有理数Qdisplaystyle mathbb Q ^[1]:32。Qdisplaystyle mathbb Q 是“最小的”能够包容四则运算的代数系统^{[N 1]}，这样的系统在近世代数中称为域^[2]。

度量

数系的拓展中，自然数系到有理数系的拓展是基于代数运算的需求，而有理数系到实数系的拓展则是拓扑学的需要。这里的拓扑指的是为代数体系赋予“形状”，定义“远近”、“长短”等概念，是建立几何和分析结构的基础。一个常见的拓扑学方法是引入“距离”的概念，正式称呼为度量^[3]。最直观的定义是将两个有理数的“距离”（度量）ddisplaystyle d定义为两者之差的绝对值：

d(x,y)=|x−y|.x-y

两个有理数之间的度量是一个非负的有理数。也即是说度量ddisplaystyle d是一个从有理数域映射到非负有理数集合的二元函数：Q×Q→Q+=x∈Q;x⩾0displaystyle mathbb Q times mathbb Q rightarrow mathbb Q ^+=xin mathbb Q ;;;xgeqslant 0。其中Q+displaystyle mathbb Q ^+的大小关系则是有理数域上定义的全序。这个度量基于欧几里德几何，叫做欧几里德度量或绝对值度量^[3]。

完备化

在Qdisplaystyle mathbb Q 上装备了度量後，可以讨论极限的概念。极限描述了一个数列在下标趋于无穷时的趋势，是分析学的基础。如果一个有理数列在下标趋于无穷时，数列的项与某个数l∈Qdisplaystyle lin mathbb Q 的距离可以小于任意给定的正有理数，就称ldisplaystyle l为此数列的极限。拥有极限的数列的项在下标趋于无穷时相互无限“靠近”。但反过来，这样的数列不一定拥有有理数极限。比如说以下数列：

12,23,35,58,813,⋯displaystyle frac 12,frac 23,frac 35,frac 58,frac 813,cdots

这说明有理数在表示长度和距离的时候是不完备的，存在着无法用有理数表达的长度^[2]。为此需要对有理数进行扩展，称为完备化^[3]。

将Qdisplaystyle mathbb Q 完备化的拓扑方法由格奥尔格·康托提出。康托的方法依赖于现称为柯西数列的概念。柯西数列是一种可以用任意“小”的“圆盘”覆盖从某项起所有项的无穷数列。某个有理数数列(an)n∈N∈QNdisplaystyle (a_n)_nin mathbb N in mathbb Q ^mathbb N 是柯西数列，当且仅当对任意有理数ϵ>0displaystyle epsilon >0，都存在自然数Nϵ∈Ndisplaystyle N_epsilon in mathbb N ，使得对任意n,m>Nϵdisplaystyle n,m>N_epsilon ，都有d(an,am)<ϵdisplaystyle d(a_n,a_m)<epsilon 。康托承认每个这样的有理数数列都收敛到某个极限，将无理数定义为某个柯西数列的极限^[2]。当然也存在收敛到有理数的柯西数列，比如常数数列。如果两个柯西数列(an)n∈Ndisplaystyle (a_n)_nin mathbb N 和(bn)n∈Ndisplaystyle (b_n)_nin mathbb N 的差：(an−bn)n∈Ndisplaystyle (a_n-b_n)_nin mathbb N 收敛于0，就称这两个数列等价。这样可以在所有的柯西数列中建立等价关系。而康托将所有的等价类的集合定义为Rdisplaystyle mathbb R 。四则运算、绝对值度量和序关系“>”都可以从有理数域自然诱导到Rdisplaystyle mathbb R 上。最重要的是，可以证明，所有Rdisplaystyle mathbb R 中元素构成的柯西数列都收敛到Rdisplaystyle mathbb R 中。这说明Rdisplaystyle mathbb R 是一个有序完备数域^[3]。

实数Rdisplaystyle mathbb R 作为Qdisplaystyle mathbb Q 的完备化是建立在绝对值度量上的，这种度量与日常现实中的欧几里德式的“距离”概念吻合，符合直观经验。实数也因此成为描述现实世界的有力数学工具。pdisplaystyle p进数与实数的不同在于，它是将绝对值度量改为另一种非直观的度量对有理数进行完备化後得到的完备数域^{[4]:8[5]:50-51}。

构造

分析方法

在有理数Qdisplaystyle mathbb Q 上引入绝对值度量，与此对应的柯西序列的等价类构成了完备数域Rdisplaystyle mathbb R 。pdisplaystyle p进数则是在Qdisplaystyle mathbb Q 上引入不同的度量后进行完备化得到的完备数域。

给定素数pdisplaystyle p。对任意x∈Qdisplaystyle xin mathbb Q ，将其写为分数形式x=abdisplaystyle x=frac ab，其中adisplaystyle a和bdisplaystyle b是整数，bdisplaystyle b不等于0。根据算术基本定理，每个整数都可以唯一分解为素因数的乘积。考察pdisplaystyle p在adisplaystyle a和bdisplaystyle b的素因数分解中的次数ordp⁡(a)displaystyle operatorname ord _p(a)和ordp⁡(b)displaystyle operatorname ord _p(b)，定义pdisplaystyle p进赋值^{[6]:90[4]:1-2}：

νp(x)=ordp⁡(a)−ordp⁡(b).displaystyle nu _p(x)=operatorname ord _p(a)-operatorname ord _p(b).

同时约定νp(0)=+∞displaystyle nu _p(0)=+infty 。例如p=5displaystyle p=5，x=63550displaystyle x=frac 63550，则

νp(x)=ordp⁡(63)−ordp⁡(550)=0−2=−2.displaystyle nu _p(x)=operatorname ord _p(63)-operatorname ord _p(550)=0-2=-2.

在此基础上，可以定义度量映射以及其对应诱导的范数^{[7]:59[4]:2[6]:90}：

dp⁡(x,y)=p−νp(x−y),|x|p=p−νp(x).displaystyle operatorname d _p(x,y)=p^-nu _p(x-y),quad

例如

d5⁡(64550,1550)=5−ν5(63550)=52,|63550|5=5−ν5(63550)=52.displaystyle operatorname d _5(frac 64550,frac 1550)=5^-nu _5(frac 63550)=5^2,quad left

可以验证映射dpdisplaystyle operatorname d _p满足度量所需的一切性质^[7]:59。因此，用与构造实数相同的手段，可以构造一个完备有序数域，记作Qpdisplaystyle mathbb Q _p^{[6]:90[7]:60-61}。

由奥斯特洛夫斯基定理，Qdisplaystyle mathbb Q 的所有绝对值赋值或者等价于绝对值，或为平凡赋值，或等价于某素数pdisplaystyle p的pdisplaystyle p进赋值。从而Qdisplaystyle mathbb Q （关于某赋值）的完备化也只有这些^[5]:46[4]:3。

代数方法

用代数的方法，首先定义pdisplaystyle p进整数环Zpdisplaystyle mathbb Z _p，然后构造其分式域，也可以得到pdisplaystyle p进数域^[6]:92。

首先考虑由整数模pndisplaystyle p^n的同余类构成的环：Z/pnZdisplaystyle mathbb Z /p^nmathbb Z 。Z/pnZdisplaystyle mathbb Z /p^nmathbb Z 与Z/pn−1Zdisplaystyle mathbb Z /p^n-1mathbb Z 之间存在自然的环同态^[8]：

φn:Z/pnZ⟶Z/pn−1Zx↦xmodpn−1displaystyle varphi _n:begincasesmathbb Z /p^nmathbb Z longrightarrow mathbb Z /p^n-1mathbb Z \x;;;mapsto ;;xmod p^n-1endcases^{[N 2][8]}

考察逆向链：

⋯→φn+1Z/pnZ→φnZ/pn−1Z→φn−1⋯→φ3Z/p2Z→φ2Z/pZdisplaystyle cdots ;xrightarrow varphi _n+1;mathbb Z /p^nmathbb Z ;xrightarrow varphi _n;mathbb Z /p^n-1mathbb Z ;xrightarrow varphi _n-1;cdots ;xrightarrow varphi _3;mathbb Z /p^2mathbb Z ;xrightarrow varphi _2;mathbb Z /pmathbb Z

定义Zpdisplaystyle mathbb Z _p为其逆向极限：Zp=lim⟵(Z/pnZ,φn)displaystyle mathbb Z _p=;lim _longleftarrow left(mathbb Z /p^nmathbb Z ,varphi _nright)^[7]:56[8]。
也就是说，每个pdisplaystyle p进整数a∈Zpdisplaystyle ain mathbb Z _p被定义为以下的序列^[8]：

a=a1,a2,⋯,an,⋯displaystyle a=a_1,a_2,cdots ,a_n,cdots ;

其中an≡an−1(modpn−1)displaystyle a_nequiv a_n-1pmod p^n-1。可以证明，这样定义的pdisplaystyle p进整数环Zpdisplaystyle mathbb Z _p与拓扑方法构造的Qpdisplaystyle mathbb Q _p中通过Zp=x;displaystyle mathbb Z _p=_pleqslant 1定义的pdisplaystyle p进整数环是同构的^[6]:91-92。

在以上的定义下，整数Zdisplaystyle mathbb Z 可以自然地嵌入Zpdisplaystyle mathbb Z _p中，每个整数都可以依照它在Z/pnZdisplaystyle mathbb Z /p^nmathbb Z 的同余类，唯一表示为一个pdisplaystyle p进整数^[6]:91[8]。例如在p=3displaystyle p=3时，整数3629在Z3displaystyle mathbb Z _3中对应的3进整数可以表示为：

36293=2,2,11,65,227,713,1442,3629,3629,3629,⋯.displaystyle 3629_3=2,2,11,65,227,713,1442,3629,3629,3629,cdots ;.

从上面的例子可以看到，对于正整数，andisplaystyle a_n将收敛于adisplaystyle a本身，对于负整数情况则复杂一些，例如，

−13=2,8,26,80,242,⋯.displaystyle -1_3=2,8,26,80,242,cdots ;.

由于环同态φndisplaystyle varphi _n良好地保持了环的结构，所以这种结构自然地延伸到逆向极限Zpdisplaystyle mathbb Z _p中。直观上可以理解为，Zpdisplaystyle mathbb Z _p是Z/pnZdisplaystyle mathbb Z /p^nmathbb Z 结构的极限。ndisplaystyle n越大，Z/pnZdisplaystyle mathbb Z /p^nmathbb Z 和Zpdisplaystyle mathbb Z _p就越“相似”。

pdisplaystyle p进整数环Zpdisplaystyle mathbb Z _p中的单位元显然是1p=1,1,⋯,1,⋯,displaystyle 1_p=1,1,cdots ,1,cdots ;, 一个pdisplaystyle p进整数a∈Zp=a1,a2,⋯,an,⋯displaystyle ain mathbb Z _p=a_1,a_2,cdots ,a_n,cdots ;是（乘法）可逆元当且仅当a1displaystyle a_1是Z/pZdisplaystyle mathbb Z /pmathbb Z 中的可逆元^[6]:91[8]。非可逆元的元素都可以表达为：

a=pvp(a)u=pvp(a)u1,pvp(a)u2,⋯,pvp(a)un,⋯,displaystyle a=p^v_p(a)u=p^v_p(a)u_1,p^v_p(a)u_2,cdots ,p^v_p(a)u_n,cdots ;,

其中u=u1,u2,⋯,un,⋯displaystyle u=u_1,u_2,cdots ,u_n,cdots ;是Zpdisplaystyle mathbb Z _p中的可逆元，vp(a)displaystyle v_p(a)称为pdisplaystyle p进整数adisplaystyle a的（代数）赋值^[8]。可以看出，这个赋值和拓扑构造时的赋值是等价的。可以证明Zpdisplaystyle mathbb Z _p是特征为0的整环^[8]。构造Zpdisplaystyle mathbb Z _p的分式域，可以证明其分式域（在恰当的拓扑同构的意义上^{[N 3]}）等于前面用拓扑方法构造的Qpdisplaystyle mathbb Q _p^[6]:92[8]。

展开式与记数法

每个pdisplaystyle p进数x∈Qpdisplaystyle xin mathbb Q _p都有唯一的展开式^[7]:57：

x=α−kpk+α−k+1pk−1+⋯+α0+α1p+⋯+αipi+⋯=∑i=−k∞αipi.displaystyle x=frac alpha _-kp^k+frac alpha _-k+1p^k-1+cdots +alpha _0+alpha _1p+cdots +alpha _ip^i+cdots =sum _i=-k^infty alpha _ip^i.

其中kdisplaystyle k就是xdisplaystyle x的pdisplaystyle p进赋值νp(x)displaystyle nu _p(x)，ai∈0,1,⋯,p−1displaystyle a_iin 0,1,cdots ,p-1，a−k≠0displaystyle a_-kneq 0。这一展开式在度量dpdisplaystyle operatorname d _p下收敛到xdisplaystyle x^[4]:14。代数构造中pdisplaystyle p进整数的数列表示的第Ndisplaystyle N项，等于其展开式前Ndisplaystyle N项的部分和。设pdisplaystyle p进整数xdisplaystyle x的数列表示为a1,a2,⋯,an,⋯displaystyle a_1,a_2,cdots ,a_n,cdots ，其展开式为∑i=0∞αipidisplaystyle sum _i=0^infty alpha _ip^i，则

aN=∑i=0N−1αipi.displaystyle a_N=sum _i=0^N-1alpha _ip^i.

这说明pdisplaystyle p进整数数列表示中，随着项数增大，数列的项在dpdisplaystyle operatorname d _p下收敛到pdisplaystyle p进整数自身。

仿照有理数中pdisplaystyle p进制的记数法，可以将pdisplaystyle p进数xdisplaystyle x记为：

x=⋯αiαi−1⋯α1α0.α−1⋯α−k+1α−kdisplaystyle x=cdots alpha _ialpha _i-1cdots alpha _1alpha _0.alpha _-1cdots alpha _-k+1alpha _-k^[6]:92，

称为pdisplaystyle p进数的pdisplaystyle p进记法。

按dpdisplaystyle operatorname d _p的定义，xdisplaystyle x的“大小”（范数）为pkdisplaystyle p^k^[6]:92。也就是说，一个pdisplaystyle p进数小数点后位数越多则越大。这个性质与实数正好相反。

例子

从代数构造方法中可知，整数Zdisplaystyle mathbb Z 可以自然地嵌入Zpdisplaystyle mathbb Z _p中，因此非负整数在Qpdisplaystyle mathbb Q _p中表现为有限位数的pdisplaystyle p进整数。其pdisplaystyle p进记法和pdisplaystyle p进制记数法雷同。例如当p=5displaystyle p=5时，自然数438displaystyle 438记为：32235displaystyle 3223_5。负整数和分母不为pdisplaystyle p的正整数次幂的分数在pdisplaystyle p进记法中则表现为向左侧延伸的无限循环^[9]:39。例如17displaystyle frac 17的pdisplaystyle p进记法为：

17=…24120324120335=2˙41203˙35displaystyle frac 17=dots 2412032412033_5=dot 24120dot 33_5;。

计算方法如下：

53−67=325,59−67=324120325,515−67=324120324120325,⋯displaystyle frac 5^3-67=32_5;,quad frac 5^9-67=32412032_5;,quad frac 5^15-67=32412032412032_5;,;cdots

⇒−67=limk→+∞−67+56k+37=…324120324120325.(;0;.right)">

⇒17=−67+1=…24120324120335=2˙41203˙35{displaystyle Rightarrow frac 17=-frac 67+1=dots 2412032412033_5=dot 24120dot 33_5;。

如果有理数xdisplaystyle x的分子或分母里含有pdisplaystyle p的幂次，则可以仿照pdisplaystyle p进制记数法的做法，先将其提出作为因数，写成x=pkabdisplaystyle x=p^kfrac ab的形式，将abdisplaystyle frac ab表达为pdisplaystyle p进记法，然后移动小数点得到xdisplaystyle x的pdisplaystyle p进记法。例如要求1175displaystyle frac 1175的pdisplaystyle p进记法，可以先将1175displaystyle frac 1175表示为1175=5−217displaystyle frac 1175=5^-2frac 17，写出17displaystyle frac 17的pdisplaystyle p进记法後，将小数点向左移动两位得到：

1175=3˙24120˙.335displaystyle frac 1175=dot 32412dot 0.33_5

因此，分母为pdisplaystyle p的正整数次幂的分数在pdisplaystyle p进数中表现为有限小数。

基本性质

Qpdisplaystyle mathbb Q _p具有许多与Rdisplaystyle mathbb R 不同的特性，其中某些可能违反直观直觉。举例来说，Q5displaystyle mathbb Q _5中不存在平方等于7的数（等价于实数中的7displaystyle sqrt 7），但存在平方等于-1的数（等价于复数中的虚数单位idisplaystyle i）。一般来说，-1在Qpdisplaystyle mathbb Q _p中有平方根，当且仅当pdisplaystyle p除以4余1^[10]。对不相同的质数pdisplaystyle p、qdisplaystyle q，Qpdisplaystyle mathbb Q _p与Qqdisplaystyle mathbb Q _q不同构，并且它们的交集只有Qdisplaystyle mathbb Q 。每一个Qpdisplaystyle mathbb Q _p中的元素个数都是不可数的^[11]。

拓扑性质

Qpdisplaystyle mathbb Q _p上的范数|⋅|p_p是一个超度量的范数。它不仅满足三角不等式，而且满足更强的关系：

|x+y|p⩽maxp.displaystyle

这说明，如果将Qpdisplaystyle mathbb Q _p想象成一个几何空间，那么其中的三角形的一边长度总小于等于另外两边中较长者，也就是说所有的三角形都是锐角等腰三角形。这与实际中的欧式几何空间完全不同。由此Qpdisplaystyle mathbb Q _p与Rdisplaystyle mathbb R 具有截然不同的拓扑性质^[6]:90。

• 在Qpdisplaystyle mathbb Q _p中，一个数列(xn)n∈Ndisplaystyle (x_n)_nin mathbb N 收敛当且仅当xn+1−xndisplaystyle x_n+1-x_n趋于0。一个无穷级数∑n∈Ndisplaystyle scriptstyle sum _nin mathbb N undisplaystyle u_n收敛当且仅当undisplaystyle u_n趋于0。


• 考虑Qpdisplaystyle mathbb Q _p中的一个“球”：Br(x0)=p⩽rdisplaystyle B_r(x_0)=_pleqslant r。这个球即是开集，也是闭集。这个球中每一个点，都是球的球心。两个球之间或者完全不相交，或者一个完全在另一个里面^[6]:90。


• 
  Qpdisplaystyle mathbb Q _p上的拓扑是完全不连通的豪斯多夫空间：设有元素x∈Qpdisplaystyle xin mathbb Q _p，则包含xdisplaystyle x的连通单元只有xdisplaystyle x.^[6]:90-91


• 
  Qpdisplaystyle mathbb Q _p是由Qdisplaystyle mathbb Q 完备化而得，因此Qdisplaystyle mathbb Q 在Qpdisplaystyle mathbb Q _p中稠密。不仅如此，任意给定有限个质数p1,p2,⋯,pkdisplaystyle p_1,p_2,cdots ,p_k和正有理数ϵ>0displaystyle epsilon >0，并在相应的pdisplaystyle p进数域中各选定一个数：β1∈Qp1,β2∈Qp2,⋯,βk∈Qpkdisplaystyle beta _1in mathbb Q _p_1,beta _2in mathbb Q _p_2,cdots ,beta _kin mathbb Q _p_k後，都可找到有理数ωdisplaystyle omega ，它与任一个βi∈Qpi,i∈1,2,⋯,kdisplaystyle beta _iin mathbb Q _p_i,;;iin 1,2,cdots ,k之间的距离都小于ϵdisplaystyle epsilon ^{[N 4][11]}。

pdisplaystyle p进整数Zpdisplaystyle mathbb Z _p定义为所有范数不大于1的pdisplaystyle p进数：Zp=x;displaystyle mathbb Z _p=_pleqslant 1。这说明Zpdisplaystyle mathbb Z _p就是Qpdisplaystyle mathbb Q _p的单位球^[7]:61[5]:60。其“球面”为所有范数等于1的pdisplaystyle p进整数集合：Zp×=p=1displaystyle mathbb Z _p^times =_p=1，亦即Zpdisplaystyle mathbb Z _p中所有可逆元的集合^[7]:61。Zpdisplaystyle mathbb Z _p是紧致的^[6]:93[5]:64。所有的整数都是pdisplaystyle p进整数，整数集合Zdisplaystyle mathbb Z 在Zpdisplaystyle mathbb Z _p中稠密^[7]:61[5]:60。

• 
  Qpdisplaystyle mathbb Q _p中的任一个球Br(x0)displaystyle B_r(x_0)都可以表达为x0+pmZpdisplaystyle x_0+p^mmathbb Z _p，其中的mdisplaystyle m是使得p−m⩽rdisplaystyle p^-mleqslant r的最小整数^[6]:93[5]:63。


• 
  Qpdisplaystyle mathbb Q _p是局部紧致的^[6]:93[5]:64。

代数性质

代数上，Qpdisplaystyle mathbb Q _p是Zpdisplaystyle mathbb Z _p的分式域。更准确地说，Qp=Zp[1p]displaystyle mathbb Q _p=mathbb Z _pscriptstyle left[frac 1pright]。也即是说，对每一个x∈Qpdisplaystyle xin mathbb Q _p，都存在整数kdisplaystyle k，使得pkx∈Zpdisplaystyle p^kxin mathbb Z _p^{[5]:62[6]:92[9]:36}。

Zpdisplaystyle mathbb Z _p是特征为0的主理想整环。Zpdisplaystyle mathbb Z _p的非零理想只有主理想Ik=pkZpdisplaystyle I_k=p^kmathbb Z _p，其中kdisplaystyle k是任意自然数^[7]:61[9]:6。它唯一的极大理想是I1displaystyle I_1^[8][5]:60。根据同构基本定理，Zpdisplaystyle mathbb Z _p对I1displaystyle I_1的商同构于有限域Fpdisplaystyle mathbb F _p^[8]。类似地，Zp/pnZpdisplaystyle mathbb Z _p/p^nmathbb Z _p同构于Z/pnZdisplaystyle mathbb Z /p^nmathbb Z ^[9]:34。

实数域Rdisplaystyle mathbb R 只有一个真代数扩张，就是复数域C=R(i)displaystyle mathbb C =mathbb R (i)。Cdisplaystyle mathbb C 不仅是代数闭域，而且是完备的。域扩张C/Rdisplaystyle mathbb C /mathbb R 的次数为2。与此不同的是，Qpdisplaystyle mathbb Q _p的任何有限扩张都不是代数封闭的，Qpdisplaystyle mathbb Q _p的代數閉包是Qpdisplaystyle mathbb Q _p上的无限扩张，一般记作Q¯pdisplaystyle bar mathbb Q _p。将Qpdisplaystyle mathbb Q _p上的拓扑拓延到Q¯pdisplaystyle bar mathbb Q _p後会发现，Q¯pdisplaystyle bar mathbb Q _p并不是完备的空间。使用标准方法将其完备化後，得到的空间称为pdisplaystyle p进复数，记作Cpdisplaystyle mathbb C _p。Cpdisplaystyle mathbb C _p和复数域Cdisplaystyle mathbb C 是代数同构的，可以视为装备了另一种拓扑结构（超度量）的复数域^[6]:94。

如果pdisplaystyle p是奇数，那么ndisplaystyle n次单位根属于Qpdisplaystyle mathbb Q _p当且仅当ndisplaystyle n整除pdisplaystyle p-1。换句话说，Qpdisplaystyle mathbb Q _p中由单位根构成的群只有Up−1displaystyle mathbb U _p-1及其子群。p=2displaystyle p=2时，单位根只有1和-1^[9]:110。

应用

数论

pdisplaystyle p進數對於同餘信息有一種獨特的編碼方法，這在數論裏作用很大。例如，困擾數學家長達三百多年的費馬最後定理，終於在1994年由安德魯·懷爾斯使用pdisplaystyle p進數理論證明，這是數學上的重大突破。懷爾斯因此獲得2005年度邵逸夫獎^[10]。

量子物理

pdisplaystyle p進數剛出現時，學者們最初認為這理論屬於純數學領域，毫無任何實用價值。但1968年，两位纯数学研究者A. Monna和F. Van Der Blij首先提出将pdisplaystyle p进数应用到物理学中。1972年，E. Beltrametti和G. Cassinelli探讨了一种取值为pdisplaystyle p进数的量子逻辑（英语：quantum logic）状态模型。进入二十世纪八十年代後，pdisplaystyle p进数在量子物理学中的应用愈为广泛。首先涌现的是pdisplaystyle p进弦和pdisplaystyle p进超弦模型。量子物理学家在这些模型中使用与实数拓扑性质不同的pdisplaystyle p进数，以构建出不同的时空结构，描述在普朗克尺度下与大尺度完全不同的物理现象和行为。在普朗克尺度下，基于实数的模型无法很好的描绘出某些量子特性，而pdisplaystyle p进数域的某些性质，比如说无序性^{[N 5]}，和普朗克尺度下的物理特质相近^[10]。

pdisplaystyle p进数量子物理学中的应用也带动了数学中对pdisplaystyle p进数的研究。例如pdisplaystyle p进弦论的研究促使数学家展开了对pdisplaystyle p进数上的分布理论、微分方程及伪微分方程（pseudodifferential equation）、概率论以及pdisplaystyle p进数上相应希尔伯特空间（装备了额外结构的Cpdisplaystyle mathbb C _p）中的算子谱理论等多方面的研究^[10]。

信息编码

pdisplaystyle p进数的数列展开表示可以被用于信息的编码。因此pdisplaystyle p进数可以被用来描述很多信息处理的过程，在认知科学、心理学和社会学研究中出现^[10]。

pdisplaystyle p进动力系统理论

算术动力系统是二十世纪九十年代提出的数学理论，整合了动力系统及数论。传统的离散动力系统会探讨迭代函数在复平面或是实数中的性质。算术动力系统则探讨多项式或解析函数在整数、有理数、pdisplaystyle p进数及几何点中的迭代特性^[12]。pdisplaystyle p进数动力系统在计算机科学领域中的直线式程序（straight-line programs）问题、数值分析与模拟中的伪随机数问题、密码学中的流加密问题上都有重要作用。在计算机科学和自动机理论中，pdisplaystyle p进遍历理论可以帮助快速制造大拉丁方。後者在实验设计、软件测试和通信理论中都有良多应用^[10][13]。

参见

• p进数分析


• 亨泽尔引理


• 马勒定理

注释

参考来源

外部链接

维基共享资源中相关的多媒体资源：P進數

• 埃里克·韦斯坦因. p-adic Number. MathWorld. 


• 
  PlanetMath上p-adic integers的資料。


• 
  Springer在线数学百科全书上p进数的资料。