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群论
群
基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 群同态 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 拓扑群 · 群概形 · 循环群 冪零群 · 可解群 离散群 有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群 F22..24 子怪兽群 B 怪兽群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 勞侖茲群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）
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阿貝爾群（Abelian group）也稱爲交換群（commutative group）或可交換群，它是滿足其元素的運算不依賴於它們的次序（交換律公理）的群。阿貝爾群推廣了整數集合的加法運算。阿貝爾群以挪威數學家尼尔斯·阿貝爾命名。

阿貝爾群的概念是抽象代數的基本概念之一。其基本研究對象是模和向量空間。阿貝爾群的理論比其他非阿貝爾群簡單。有限阿貝爾群已經被较为徹底地研究了。無限阿貝爾群理論則是目前正在研究的領域。

定義

阿貝爾群的群運算符合交換律，因此阿貝爾群也被稱爲交換群。它由自身的集合G和二元運算* 構成。它除了滿足一般的群公理，即運算的結合律、G有單位元、所有G的元素都有逆元之外，還滿足交換律公理

a∗b=b∗adisplaystyle a*b=b*a。

因為阿貝爾群的群運算滿足交換律和結合律，群元素乘積的值與乘法運算時的次序無關。

而群運算不滿足交換律的群被稱爲“非阿貝爾群”，或“非交換群”。

符號

阿貝爾群有兩種主要運算符號—加法和乘法。

約定	運算	單位元	冪	逆元
加法運算	x + y	0	nx	−x
乘法運算	x * y或xy	e或1	xn	x −1

一般地說，乘法符號是群的常用符號，而加法符號是模的常用符號。當同時考慮阿貝爾群和非阿貝爾群時，加法符號還可以用來強調阿貝爾群是特定群。

乘法表

驗證有限群是阿貝爾群，可以構造類似乘法表的一種表格（矩陣），它稱爲凱萊表。如果群G = g₁ = e, g₂, ..., g_n在運算⋅下，則這個表的第(i, j)個表項包含乘積g_i ⋅ g_j。群是阿貝爾群當且僅當這個表是關於主對角線是對稱的（就是說這個矩陣是對稱矩陣）。

這是成立的因為如果它是於阿貝爾群，則g_i ⋅ g_j = g_j ⋅ g_i。這蘊含了第(i, j)個表項等于第(j, i)個表項，就是說這個表示關于主對角線對稱的。

例子

• 
  整數集和加法運算"+"是阿貝爾群，指示為(Z,+)，運算 +組合兩個整數形成第三個整數，加法是符合結合律的，零是加法單位元，所有整數n都有加法逆元−n，加法運算是符合交換律的因為對于任何兩個整數m和n有m + n = n + m。

• 所有循環群G是阿貝爾群，因為如果x, y在G中，則xy = a^maⁿ = a^{m + n} = a^{n + m} = aⁿa^m = yx。因此整數集Z形成了在加法下的阿貝爾群，整數模以n Z/nZ也是。

• 所有環都是關于它的加法運算的阿貝爾群。在交換環中的可逆元形成了阿貝爾乘法群。特別是實數集是在加法下的阿貝爾群，非零實數集在乘法下是阿貝爾群。

• 所有阿貝爾群的子群都是正規子群，所以每個子群都引發商群。阿貝爾群的子群、商群和直和也是阿貝爾群。

矩陣即使是可逆矩陣，一般不形成在乘法下的阿貝爾群，因為矩陣乘法一般是不可交換的。但是某些矩陣的群是在矩陣乘法下的阿貝爾群 - 一個例子是2x2 旋轉矩陣的群。

歷史注記

阿貝爾群是Camille Jordan以挪威數學家尼尔斯·阿贝尔命名的，他首先察覺到了阿貝爾首先發表的這種群與根式可解性的聯繫的重要性。

性質

如果n是自然數而x是使用加號的阿貝爾群G的一個元素，則nx可以定義為x + x + ... + x（n個數相加）并且（−n）x = −（nx）。以這種方式，G變成在整數的環Z上的模。事實上，在Z上的模都可以被識別為阿貝爾群。

關於阿貝爾群（比如在主理想整環Z上的模）的定理經常可以推廣到在任意主理想整環上的模。典型的例子是有限生成阿貝爾群的分類是在主理想整環上的有限生成模的結構定理的特殊情況。在有限生成阿貝爾群的情況下，這個定理保證阿貝爾群可以分解為撓群和自由阿貝爾群的直和。前者可以被寫為形如Z/p^kZ對于素數p的有限多個群的直和，而后者是有限多個Z的復本的直和。

如果f, g : G  →  H是在阿貝爾群之間的兩個群同態，則它們的和f + g，定義為(f + g)(x) = f(x) + g(x)，也是阿貝爾同態。（如果H是非阿貝爾群則這就不成立。）所有從G到H的群同態的集合Hom(G, H)因此是自身方式下的阿貝爾群。

某種程度上類似於向量空間的維度，所有阿貝爾群都有秩。它定義為群的線性無關元素的最大集合的勢。整數集和有理數集和所有的有理數集的子群都有秩1。

有限阿貝爾群

整數模以n的循環群Z/nZ是最常見的群的例子。已證實了任意有限阿貝爾群都同構於素數階的有限循環群的直和，并且這些階數是唯一確定的，形成了一個不變量（invariant）的完備系統。有限阿貝爾群的自同構群可以依據這些不變量來直接描述。有關理論最初發展自费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯和Ludwig Stickelberger（英语：Ludwig Stickelberger）在1879年的論文，后來被簡化和推廣到在主理想整環上的有限生成模，形成了線性代數的一個重要組成部分。

分類

有限阿貝爾群的基本定理聲稱所有有限阿貝爾群G都可以表達為素幂（prime-power）階的循環子群的直和。這是有限生成阿貝爾群的基本定理在G有零秩時的特殊情況。

mn階的循環群Zmndisplaystyle mathbb Z _mn同構於Zmdisplaystyle mathbb Z _m與Zndisplaystyle mathbb Z _n的直和，當且僅當m與n是互素的。可推出任何有限阿貝爾群G同構於如下形式的直和

Zk1⊕⋯⊕Zkudisplaystyle mathbb Z _k_1oplus cdots oplus mathbb Z _k_u

以任何下列規范方式：

• 數k₁,...,k_u是素數的冪


• 
  k₁整除k₂，它又整除k₃，如此直到k_u。

例如，Z/15Z≅Z15displaystyle mathbb Z /15mathbb Z cong mathbb Z _15可以被表達為3階和5階的兩個循環群的直和：Z15≅0,5,10⊕0,3,6,9,12displaystyle mathbb Z _15cong 0,5,10oplus 0,3,6,9,12。對于任何15階的阿貝爾群這也成立，導致了所有15階阿貝爾群都是同構的的顯著結論。

另一個例子，所有8階段阿貝爾群都同構於要么Z8displaystyle mathbb Z _8(整數0到7在模8加法下)，Z4⊕Z2displaystyle mathbb Z _4oplus mathbb Z _2（奇數1到15在模16乘法下），要么Z2⊕Z2⊕Z2displaystyle mathbb Z _2oplus mathbb Z _2oplus mathbb Z _2。

小於等于16階的有限阿貝爾群可參見小群列表。

自同構

可以應用基本定理去計數（有時確定）給定有限阿貝爾群G的自同構。要這么做，可利用如果G分解為互素階的子群的直和H ⊕displaystyle oplus K，則Aut(H ⊕displaystyle oplus K) ≅displaystyle cong Aut(H) ⊕displaystyle oplus Aut(K)的事實（這里就不證明了）。

基本定理證明了要計算G的自同構群，分別計算西羅p子群的自同構群就足夠了（也就是所有的循環子群的直和，每個都有p的冪的階）。固定一個素數p并假設西羅p子群的循環因子的指數e_i是按遞增次序安排的：

e1≤e2≤⋯≤endisplaystyle e_1leq e_2leq cdots leq e_n

對於某個n > 0。需要找到

Zpe1⊕⋯⊕Zpendisplaystyle mathbb Z _p^e_1oplus cdots oplus mathbb Z _p^e_n

的自同構。一個特殊情況是在n = 1的時候，此時在西羅p-子群P中只有唯一一個循環素數冪因子。在這個情況下可以使用有限循環群的自同構的理論。另一個特殊情況是在n為任意的但e_i = 1對於1 ≤ i ≤ n的時候。這里考慮P為有著形式

Zp⊕⋯⊕Zpdisplaystyle mathbb Z _poplus cdots oplus mathbb Z _p，

所以這個子群的元素可以被看作構成了在p元素的有限域Fpdisplaystyle mathbb F _p上的n維向量空間。這個子群的自同構因此給出為可逆線性變換，因此

Aut(P)≅GL(n,Fp)displaystyle mathrm Aut (P)cong mathrm GL (n,mathbb F _p),

它早先證明了有階

|Aut(P)|=(pn−1)⋯(pn−pn−1)displaystyle .

在最一般情況下，這里的e_i和n是任意的，自同構群更難於確定。但是已經知道了如果定義

dk=maxrdisplaystyle d_k=mathrm max e_r=e_k^,

并且

ck=minrdisplaystyle c_k=mathrm min e_r=e_k^,

則有著特別的d_k ≥ k, c_k ≤ k，并且

|Aut(P)|=(∏k=1npdk−pk−1)(∏j=1n(pej)n−dj)(∏i=1n(pei−1)n−ci+1)displaystyle 。

可以檢查這會生成作為特殊情況的前面例子的階（參見[Hillar,Rhea]）。

參見

• 類域論


• 交換子群


• 初等阿貝爾群


• 有限生成阿貝爾群


• 自由阿貝爾群


• 龐特里亞金對偶性


• 秩1無撓阿貝爾群

注釋

引用

• Fuchs, László（1970）Infinite abelian groups, Vol. I. Pure and Applied Mathematics, Vol. 36. New York-London: Academic Press. xi+290 pp. MR0255673
  


• ------（1973）Infinite abelian groups, Vol. II. Pure and Applied Mathematics. Vol. 36-II. New York-London: Academic Press. ix+363 pp. MR0349869
  


• 
  Griffith, Phillip A. Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. 1970. ISBN 0-226-30870-7. 
  


• Hillar, Christopher and Rhea, Darren (2007), Automorphisms of finite abelian groups. Amer. Math. Monthly 114, no. 10, 917-923. [1].


• Szmielew, Wanda (1955) "Elementary properties of abelian groups," Fundamenta Mathematica 41: 203-71.