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数学中，複數的辐角是指复数在复平面上对应的向量和正向实数轴所成的有向角。复数的辐角值可以是一切实数，但由于相差360∘displaystyle 360^circ （即弧度2πdisplaystyle 2pi ）的辐角在实际应用中没有差别，所以定义复数的辐角主值为辐角模360∘displaystyle 360^circ （2πdisplaystyle 2pi ）后的余数，定义取值范围在0∘displaystyle 0^circ 到360∘displaystyle 360^circ （2πdisplaystyle 2pi ）之间。复数的辐角是复数的重要性质，在不少理论中都有重要作用。

定义

复数幅角的直观示意图

设有非零复数z∈C∖0displaystyle zin mathbb C setminus 0，记作z=x+yidisplaystyle z=x+yi，其中的xdisplaystyle x和ydisplaystyle y为实数，那么复数zdisplaystyle z的幅角φdisplaystyle varphi 指的是使下列等式：

z=x+yi=x2+y2(cos⁡φ+isin⁡φ)displaystyle z=x+yi=sqrt x^2+y^2(cos varphi +isin varphi )

成立的任何实数φdisplaystyle varphi 。直观上来说，假设非零复数zdisplaystyle z在复平面Oxydisplaystyle O_xy中对应的向量是OP→displaystyle overrightarrow OP（右图蓝色向量），那么它的幅角是所有能够描述正实数轴到OP→displaystyle overrightarrow OP的转角的有向角。其中有向角的正方向规定为逆时针方向。图中可以看出，相差2πdisplaystyle 2pi 的倍数的角都可以是幅角。这个性质也可以从三角函数cosdisplaystyle cos 和sindisplaystyle sin 是以2πdisplaystyle 2pi 为周期的周期函数中推导出来。

只有非零复数才有幅角，复数0displaystyle 0的幅角是没有定义的。

幅角主值

同一个复数的幅角有无穷多个，以集合表示为φ+2kπdisplaystyle varphi +2kpi ,，而对于所有φk=φ+2kπdisplaystyle varphi _k=varphi +2kpi ，cos⁡φk+isin⁡φkdisplaystyle cos varphi _k+isin varphi _k都相同，所以实际只需要以其中一个幅角为代表，此幅角称为幅角主值或主幅角，记作Arg⁡(z)displaystyle operatorname Arg (z)。一般约定使用区间(−π,π]displaystyle (-pi ,pi ]中的值作为幅角主值（也有另一种常见的约定是以区间[0,2π)displaystyle [0,2pi )中的值作为幅角主值）。如果复数的幅角主值是Arg⁡(z)displaystyle operatorname Arg (z)，那么它的所有幅角值就是：

arg⁡(z)=Arg⁡(z)+2kπdisplaystyle arg(z)=,kin mathbb Z

幅角的计算

给定一个形如z=x+yidisplaystyle z=x+yi的非零复数，幅角主值Arg⁡(z)displaystyle operatorname Arg (z)是将它映射到区间(−π,π]displaystyle (-pi ,pi ]中的函数。幅角主值函数可以用反三角函数来描述：

Arg⁡(x+yi)={arccos⁡xx2+y2y>0−arccos⁡xx2+y2y<00x>0∧y=0πx<0∧y=0displaystyle operatorname Arg (x+yi)=begincasesarccos dfrac xsqrt x^2+y^2&y>0\-arccos dfrac xsqrt x^2+y^2&y<0\0&x>0land y=0\pi &x<0land y=0\endcases

或者配合半角公式：

Arg⁡(x+yi)={2arctan⁡yx2+y2+xy≠00x>0∧y=0πx<0∧y=0displaystyle operatorname Arg (x+yi)=begincases2arctan dfrac ysqrt x^2+y^2+x&yneq 0\0&x>0land y=0\pi &x<0land y=0\endcases

性质

复数zdisplaystyle z的一个幅角φ∈arg⁡(z)displaystyle varphi in arg(z)和绝对值|z|可以用来组成复数的极坐标形式：

z=|z|eiφe^ivarphi 。

在极坐标形式下计算，可以得到复数乘积和商的幅角的规律：

Arg⁡(z1z2)=Arg⁡(z1)+Arg⁡(z2)(mod(−π,π])displaystyle operatorname Arg (z_1z_2)=operatorname Arg (z_1)+operatorname Arg (z_2)pmod (-pi ,pi ]

Arg⁡(z1z2)=Arg⁡(z1)−Arg⁡(z2)(mod(−π,π])displaystyle operatorname Arg left(frac z_1z_2right)=operatorname Arg (z_1)-operatorname Arg (z_2)pmod (-pi ,pi ]

于是对复数幂次的幅角也有：

Arg⁡(zn)=nArg⁡(z)(mod(−π,π])displaystyle operatorname Arg (z^n)=noperatorname Arg (z)pmod (-pi ,pi ]

复数的共轭的幅角则满足：

Arg⁡(z¯)=−Arg⁡(z)(mod(−π,π])displaystyle operatorname Arg (overline z)=-operatorname Arg (z)pmod (-pi ,pi ]

参考来源