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符號函數
性質
奇偶性	奇函數
定義域	(-∞,∞)
到達域	sgn⁡x∈−1,0,1displaystyle operatorname sgn xin -1,0,1
周期	N/A
特定值
當x=0	0
當x=+∞	1
當x=-∞	-1
最大值	1
最小值	-1
其他性質
渐近线	N/A
根	0
臨界點	N/A
拐點	N/A
不動點	0,1,-1

符號函數的微分

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符號函數（藍色）、符號函數的微分（橘色），其中，符號函數的微分正好是2倍的狄拉克δ函数。

符號函數（Sign function，簡稱sgn）是一個邏輯函數，用以判斷實數的正負號。為避免和英文讀音相似的正弦函數（sine）混淆，它亦稱為Signum function。其定義為：

sgn⁡x={−1:x<00:x=01:x>0{displaystyle operatorname sgn x=leftbeginmatrix-1&:&x<0\0&:&x=0\1&:&x>0endmatrixright.

性质

用艾佛森括號定義：

sgn⁡x=−[x<0]+[x>0]displaystyle operatorname sgn x=-[x<0]+[x>0]

任何實數都可以表示為其絕對值和符號函數的積：

x=(sgn⁡x)|x|x

若x不為零，可以由上式得出符號函數的另一個定義：

sgn⁡x=x|x|displaystyle operatorname sgn x=

符號函數是絕對值函數的導數：

d|x|dx=x|x|=sgn⁡xdisplaystyle frac ddx=frac x=operatorname sgn x

除了在0，符號函數可微分，其導數為0。透過一般化微分概念，可以說符號函數的導數是狄拉克δ函數的兩倍：

d sgn⁡xdx=2δ(x)displaystyle d operatorname sgn x over dx=2delta (x)

它和單位步階函數的關係：

sgn⁡x=2H1/2(x)−1displaystyle operatorname sgn x=2H_1/2(x)-1

推广到复数

符號函數可以推廣到複數：對於任意z∈C∖0displaystyle zin mathbb C backslash 0，

sgn⁡z=z|z|displaystyle operatorname sgn z=frac z

对于任何z ∈ Cdisplaystyle mathbb C ，除了z = 0以外。复数z的符号函数，是复平面上中心为原点的单位圆上距离z最近的点。那么，对于z ≠ 0，有：

sgn⁡z=exp⁡(iarg⁡z),displaystyle operatorname sgn z=exp(iarg z),,

其中arg表示辐角。

符号函数在复数范围的另外一个推广是csgn函数，定义为：

csgn⁡(z)={1if ℜ(z)>0∨(ℜ(z)=0∧ℑ(z)>0),−1if ℜ(z)<0∨(ℜ(z)=0∧ℑ(z)<0),0if ℜ(z)=ℑ(z)=0.displaystyle operatorname csgn (z)=begincases1&textif Re (z)>0lor (Re (z)=0land Im (z)>0),\-1&textif Re (z)<0lor (Re (z)=0land Im (z)<0),\0&textif Re (z)=Im (z)=0.endcases

即是在一四象限及 y 轴正半轴为正一、二三象限及 y 轴负半轴为负一、原点为零。


对于 csgn，我们有（除了z = 0以外）：

csgn⁡(z)=zz2=z2z.displaystyle operatorname csgn (z)=frac zsqrt z^2=frac sqrt z^2z.