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诱导公式（英语：induction formula）是数学三角函数中将角度比较大的三角函数利用角度的周期性，转换为角度比较小的三角函数的变形公式。诱导公式分为以下六类：

公式一（函数关于2π的周期性）

• sin⁡(2kπ+α)=sin⁡α,k∈zdisplaystyle sin(2kpi +alpha )=sin alpha ,kin z


• cos⁡(2kπ+α)=cos⁡α,k∈zdisplaystyle cos(2kpi +alpha )=cos alpha ,kin z


• tan⁡(2kπ+α)=tan⁡α,k∈zdisplaystyle tan(2kpi +alpha )=tan alpha ,kin z


• cot⁡(2kπ+α)=cot⁡α,k∈zdisplaystyle cot(2kpi +alpha )=cot alpha ,kin z


• sec⁡(2kπ+α)=sec⁡α,k∈zdisplaystyle sec(2kpi +alpha )=sec alpha ,kin z


• csc⁡(2kπ+α)=csc⁡α,k∈zdisplaystyle csc(2kpi +alpha )=csc alpha ,kin z

公式二（函数关于π的周期性）

• sin⁡(π+α)=−sin⁡αdisplaystyle sin(pi +alpha )=-sin alpha


• cos⁡(π+α)=−cos⁡αdisplaystyle cos(pi +alpha )=-cos alpha


• tan⁡(π+α)=tan⁡αdisplaystyle tan(pi +alpha )=tan alpha


• cot⁡(π+α)=cot⁡αdisplaystyle cot(pi +alpha )=cot alpha


• sec⁡(π+α)=−sec⁡αdisplaystyle sec(pi +alpha )=-sec alpha


• csc⁡(π+α)=−csc⁡αdisplaystyle csc(pi +alpha )=-csc alpha

公式三（函数的奇偶性）

• sin⁡(−α)=−sin⁡αdisplaystyle sin(-alpha )=-sin alpha


• cos⁡(−α)=cos⁡αdisplaystyle cos(-alpha )=cos alpha


• tan⁡(−α)=−tan⁡αdisplaystyle tan(-alpha )=-tan alpha


• cot⁡(−α)=−cot⁡αdisplaystyle cot(-alpha )=-cot alpha


• sec⁡(−α)=sec⁡αdisplaystyle sec(-alpha )=sec alpha


• csc⁡(−α)=−csc⁡αdisplaystyle csc(-alpha )=-csc alpha

公式四（在单位圆中各三角函数线关于y轴的对称性）

• sin⁡(π−α)=sin⁡αdisplaystyle sin(pi -alpha )=sin alpha


• cos⁡(π−α)=−cos⁡αdisplaystyle cos(pi -alpha )=-cos alpha


• tan⁡(π−α)=−tan⁡αdisplaystyle tan(pi -alpha )=-tan alpha


• cot⁡(π−α)=−cot⁡αdisplaystyle cot(pi -alpha )=-cot alpha


• sec⁡(π−α)=−sec⁡αdisplaystyle sec(pi -alpha )=-sec alpha


• csc⁡(π−α)=csc⁡αdisplaystyle csc(pi -alpha )=csc alpha

公式五（可看作在直角三角形中的转换）

• sin⁡(π2−α)=cos⁡αdisplaystyle sin left(frac pi 2-alpha right)=cos alpha


• cos⁡(π2−α)=sin⁡αdisplaystyle cos left(frac pi 2-alpha right)=sin alpha


• tan⁡(π2−α)=cot⁡αdisplaystyle tan left(frac pi 2-alpha right)=cot alpha


• cot⁡(π2−α)=tan⁡αdisplaystyle cot left(frac pi 2-alpha right)=tan alpha


• sec⁡(π2−α)=csc⁡αdisplaystyle sec left(frac pi 2-alpha right)=csc alpha


• csc⁡(π2−α)=sec⁡αdisplaystyle csc left(frac pi 2-alpha right)=sec alpha

公式六

• sin⁡(π2+α)=cos⁡αdisplaystyle sin left(frac pi 2+alpha right)=cos alpha


• cos⁡(π2+α)=−sin⁡αdisplaystyle cos left(frac pi 2+alpha right)=-sin alpha


• tan⁡(π2+α)=−cot⁡αdisplaystyle tan left(frac pi 2+alpha right)=-cot alpha


• cot⁡(π2+α)=−tan⁡αdisplaystyle cot left(frac pi 2+alpha right)=-tan alpha


• sec⁡(π2+α)=−csc⁡αdisplaystyle sec left(frac pi 2+alpha right)=-csc alpha


• csc⁡(π2+α)=sec⁡αdisplaystyle csc left(frac pi 2+alpha right)=sec alpha

内在联系

值得注意的是，公式一至六其实是存在着内在联系的，可以写成以下形式：

• sin⁡(kπ2±α),k∈zdisplaystyle sin left(frac kpi 2pm alpha right),kin z


• cos⁡(kπ2±α),k∈zdisplaystyle cos left(frac kpi 2pm alpha right),kin z


• tan⁡(kπ2±α),k∈zdisplaystyle tan left(frac kpi 2pm alpha right),kin z


• cot⁡(kπ2±α),k∈zdisplaystyle cot left(frac kpi 2pm alpha right),kin z


• sec⁡(kπ2±α),k∈zdisplaystyle sec left(frac kpi 2pm alpha right),kin z


• csc⁡(kπ2±α),k∈zdisplaystyle csc left(frac kpi 2pm alpha right),kin z

可用如下口诀将联系记忆起来：“奇变偶不变，符号看象限”。意思为，当k为奇数时，sin变为cos，cos变为sin，tan变为cot，cot变为tan，sec变为csc，csc变为sec；而k为偶数时，三角函数则不变换。对于正负号，则要看最后角所在的象限进行判断，可以使用如下口诀：CAST，也可以使用ASTC (All Science Teachers Crazy) 用来记忆。

• 第一象限的 A 即是 All（全部皆正）。


• 第二象限的 S 即是 Sine & CoSecant（正弦以及余割为正）。


• 第三象限的 T 即是 Tangent & Cotangent（正切以及余切为正）。


• 第四象限的 C 即是 Cosine & SeCant（余弦以及正割为正）。

参考来源

• 
  数学4 必修. 人民教育出版社. ISBN 978-7-107-20334-3. 
  

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