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雙曲複數（英语：hyperbolic numbers或Split-complex number），是異於複數而對實數所做的推廣。

定義

考慮數z=x+jydisplaystyle z=x+jy，其中x,ydisplaystyle x,y是實數，而量jdisplaystyle j不是實數，但j2displaystyle j^2是實數。

選取j2=−1displaystyle j^2=-1，得到一般複數。取+1displaystyle +1的話，便得到雙曲複數。

定義雙曲複數的加法和乘法如下，使之符合交換律、結合律和分配律：

(x+jy)+(u+jv)=(x+u)+j(y+v)displaystyle (x+jy)+(u+jv)=(x+u)+j(y+v)

(x+jy)(u+jv)=(x+jy)(u)+(x+jy)(jv)=xu+jyu+jxv+j2yv=(xu+yv)+j(xv+yu)displaystyle (x+jy)(u+jv)=(x+jy)(u)+(x+jy)(jv)=xu+jyu+jxv+j^2yv=(xu+yv)+j(xv+yu)

共軛、範數

對於z=x+jydisplaystyle z=x+jy，其共軛值z∗=x−jydisplaystyle z^*=x-jy。對於任何雙曲複數z,wdisplaystyle z,w，

(z+w)∗=z∗+w∗displaystyle (z+w)^*=z^*+w^*

(zw)∗=z∗w∗displaystyle (zw)^*=z^*w^*

(z∗)∗=zdisplaystyle (z^*)^*=z

可見它是自同構的。

定義內積為 ⟨z,w⟩=Re(zw∗)=Re(zw∗)=xu−yvdisplaystyle langle z,wrangle =Re(zw^*)=Re(zw^*)=xu-yv 。若⟨z,w⟩=0displaystyle langle z,wrangle =0 ，說z,wdisplaystyle z,w（雙曲）正交。

雙曲複數的平方範數就取自己和自己的內積，即自身和其共軛值之乘積（閔可夫斯基範數）：

‖z‖=⟨z,z⟩=zz∗=z∗z=x2−y2displaystyle lVert zrVert =langle z,zrangle =zz^*=z^*z=x^2-y^2。

這個範數非正定，其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不變：‖zw‖=‖z‖‖w‖displaystyle lVert zwrVert =lVert zrVert lVert wrVert 。

除法

除了0之外，也不是每個雙曲複數都有乘法逆元。

z−1=1z=z∗zz∗=z∗‖z‖displaystyle z^-1=frac 1z=frac z^*zz^*=frac z^*lVert zlVert

由此可見，雙曲複數可逆若且唯若其平方範數非零。其形式均為k(1±j)displaystyle k(1pm j)，其中kdisplaystyle k是實數。

基

雙曲複數的冪等元有：

列方程(x+jy)2=(x2+y2)+2xyjdisplaystyle (x+jy)^2=(x^2+y^2)+2xyj。有四個解：1,0,s=(1−j)/2,s∗=(1+j)/2displaystyle 1,0,s=(1-j)/2,s^*=(1+j)/2。

s和s^*都是不可逆的。它們可以作雙曲複數的基。z=x+jy=(x−y)s+(x+y)s∗displaystyle z=x+jy=(x-y)s+(x+y)s^* 。

若將z=ae+be∗displaystyle z=ae+be^*表示成(a,b)displaystyle (a,b)，雙曲複數的乘法可表示成(a,b)(c,d)=(ac,bd)displaystyle (a,b)(c,d)=(ac,bd) 。因此，在這個基裏，雙曲複數的加法和乘法和直和R⊕R同構。

共軛可表示為(a,b)∗=(b,a)displaystyle (a,b)^*=(b,a)，範數‖(a,b)‖=abdisplaystyle lVert (a,b)rVert =ab。

幾何

有閔可夫斯基內積的二維實向量空間稱為1+1閔可夫斯基空間，表示為R^1,1。正如歐几里得平面R²的幾何學可以複數表示，閔可夫斯基空間的幾何學可以雙曲複數表示。

在R，對於非零的adisplaystyle a，點集 z:‖z‖=a2displaystyle z:lVert zlVert =a^2 是雙曲線。左邊和右邊的會經過adisplaystyle a和−adisplaystyle -a。a=1displaystyle a=1稱為單位雙曲線。

共軛雙曲線是z:‖z‖=−a2displaystyle z:lVert zlVert =-a^2 ，會分別經過ja和-ja。雙曲線和共軛雙曲線會被成直角的兩條漸近線 z:‖z‖=0displaystyle z:lVert zlVert =0 分開。

歐拉公式的相應版本是ejθ=cosh⁡(θ)+jsinh⁡(θ)displaystyle e^jtheta =cosh(theta )+jsinh(theta )。

歷史

1848年James Cockle提出了Tessarines。1882年威廉·金頓·克利福德以雙曲複數表示自旋和。

20世紀，雙曲複數成為描述狹義相對論的勞侖茲變換的工具，因為不同參考系之間的速度變換可由雙曲旋轉表達。