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函数ƒ和它的反函数ƒ^–1。由于ƒ把a映射到3，因此反函数ƒ^–1把3映射回到a。

在數學裡，反函數為對一給定函數做逆運算的函數。更正式些地說，設fdisplaystyle f為一函數，其定義域為Xdisplaystyle X，值域為Ydisplaystyle Y。如果存在一函數gdisplaystyle g，其定義域和值域分別為Y,Xdisplaystyle Y,,X，並對每一x∈Xdisplaystyle xin X有：

g(f(x))=xdisplaystyle g(f(x))=x,

則稱gdisplaystyle g為fdisplaystyle f的反函數，記之為f−1displaystyle f^-1。注意上標「−1」指的並不是冪，跟在三角學裡特指sin⁡xdisplaystyle sin x平方的sin2⁡xdisplaystyle sin ^2x不同。

例如，若給定一函數f:x↦3x+2displaystyle f:xmapsto 3x+2，則其反函數為f−1:x↦x−23displaystyle f^-1:xmapsto frac x-23。

若一函數有反函數，此函數便稱為可逆的。

簡單規則

一般而言，當f(x)為一任意函數，且g為其反函數，則g(f(x)) = x，f(g(y)) = y。換句話說，一反函數會取消原函數的作用。在上述例子，可以證明f⁻¹確為反函數，以將x−23displaystyle frac x-23代入f的方式，如此

3×x−23+2=xdisplaystyle 3times frac x-23+2=x。

類似地，也可以將f代入f⁻¹來證明。

確實，f的反函數g的一等價定義，就是g o f為於f定義域上的恆等函數，且f o g為f值域上的恆等函數。（其中的"o"表示函數複合）

存在性

如果一函數f有反函數，f必須是一雙射函數，即：

• 
  單射：陪域上的每一元素都只被f映射至多一次。


• 
  滿射：陪域上的每一元素都必須被f映射到。

不然將沒有辦法對某些元素定義f的反函數。

設f為一实函数。若f有一反函數，它必通過水平線測試，即一放在f圖上的水平線y=kdisplaystyle y=k必對所有實數k，至多通過一次。換言之，當k位於f的值域時，y=kdisplaystyle y=k恰好通過f圖一次。

性質

• 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。


• 原函数与其反函数的函数图像关于函数y=x的图像对称。


• 严格单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。


• 拥有反函数的函数不一定是严格单调函数，例如:y=x^-3

另見

• 值域


• 逆關係


• 反函数定理