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edisplaystyle e是使在x=0displaystyle x=0点上 f(x)=axdisplaystyle f(x)=a^x（蓝色曲线）的导数（切线的斜率）值为1之adisplaystyle a的唯一值。对比一下，函数2xdisplaystyle 2^x（虚点曲线）和4xdisplaystyle 4^x（虚线曲线）和斜率为1、y-截距为1的直线（红色）并不相切。

edisplaystyle e，作为數學常數，是自然對數函數的底數。有時被稱為歐拉數（Euler's number），以瑞士數學家歐拉命名；還有個較少見的名字納皮爾常數，用來紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。它是一个无限不循环小数，數值約是（小數點後20位， A001113）：

e=2.71828182845904523536⋯displaystyle e=2.71828182845904523536cdots

歷史

第一次提到常數edisplaystyle e，是約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為是由威廉·奧特雷德製作。第一次把e看為常數的是雅各布·伯努利，他嘗試計算下式的值：

limn→∞(1+1n)ndisplaystyle lim _nto infty left(1+frac 1nright)^n。

已知的第一次用到常數edisplaystyle e，是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信，以b表示。1727年歐拉開始用edisplaystyle e來表示這常數；而edisplaystyle e第一次在出版物用到，是1736年歐拉的《力學》（Mechanica）。雖然往後年日有研究者用字母c表示，但edisplaystyle e較常用，終於成為標準。

用e表示的確實原因不明，但可能因為edisplaystyle e是「指數」（exponential）一字的首字母。另一看法則稱a，b，c和d 有其他經常用途，而edisplaystyle e是第一個可用字母。

定義

就像圓周率πdisplaystyle pi 和虛數單位 i，edisplaystyle e是數學中最重要的常數之一。它有幾種等價定義，下面列出一部分。

最常見的四種 e 的定義如下：

1. 定義edisplaystyle e爲下列極限值：

e=limn→∞(1+1n)ndisplaystyle e=lim _nto infty left(1+frac 1nright)^n。

2. 定義edisplaystyle e爲階乘倒數之無窮級數的和^[1]：

e=∑n=0∞1n!=10!+11!+12!+13!+14!+⋯displaystyle e=sum _n=0^infty 1 over n!=1 over 0!+1 over 1!+1 over 2!+1 over 3!+1 over 4!+cdots + 1 over 2! + 1 over 3!
+ 1 over 4! + cdots"/>，

其中n!displaystyle n!代表ndisplaystyle n的階乘。

3. 定義edisplaystyle e爲唯一的正數xdisplaystyle x使得

∫1x1tdt=1displaystyle int _1^xfrac 1t,dt=1。

4. 定義edisplaystyle e爲唯一的實數xdisplaystyle x使得

limh→0xh−1h=1displaystyle lim _hto 0frac x^h-1h=1

這些定義可證明是等價的，请参见文章指数函数的特征描述（英语：Characterizations of the exponential function）。

性質

xxdisplaystyle sqrt[x]x 的極大值在x=edisplaystyle x=e.

很多增長或衰減過程都可以用指數函數模擬。指數函數exdisplaystyle e^x的重要性，在於它是唯一的函數（零多項式函數除外）與自身導數相等（乘以常數，最一般的函數形式為kexdisplaystyle ke^x，kdisplaystyle k為任意常數）。即:

ddxex=exdisplaystyle frac ddxe^x=e^x。

exdisplaystyle e^x的泰勒級數為ex=∑n=0∞xnn!∀xdisplaystyle e^x=sum _n=0^infty frac x^nn!quad forall x

=1+x+x22!+x33!+...displaystyle =1+x+frac x^22!+frac x^33!+...

xdisplaystyle x為複數時依然成立，因此根據sin⁡xdisplaystyle sin x及cos⁡xdisplaystyle cos x的泰勒級數，得出在數學中一條稱為歐拉公式的重要等式：

eix=cos⁡x+isin⁡xdisplaystyle e^mathrm i x=cos x+rm isin x,!

當x=πdisplaystyle x=pi 的特例是歐拉恆等式：

eiπ+1=0displaystyle e^mathrm i pi +1=0,!

此式被理查德·費曼稱為「歐拉的寶石」。

(cos⁡x+isin⁡x)n=(eix)n=einx=cos⁡(nx)+isin⁡(nx)displaystyle (cos x+isin x)^n=left(e^ixright)^n=e^inx=cos(nx)+isin(nx)

即棣莫弗公式。

• 
  edisplaystyle e是無理數和超越數（見林德曼－魏尔斯特拉斯定理）。這是第一個獲證為超越數的数，而非故意構造的（比較劉維爾數）；由夏爾·埃爾米特（Charles Hermite）於1873年證明。有猜想它為正規數。

• 当x=edisplaystyle x=e时函數f(x)=xxdisplaystyle f(x)=sqrt[x]x有最大值。

• 
  edisplaystyle e的無窮連分數展開式有個有趣的模式，可以表示如下（ A003417）：

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,…]displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,ldots ]

就像以下的展開式：

e=2+11+12+11+11+14+11+11+16+11+⋱displaystyle e=2+cfrac 11+cfrac 1mathbf 2 +cfrac 11+cfrac 11+cfrac 1mathbf 4 +cfrac 11+cfrac 11+cfrac 1mathbf 6 +cfrac 11+ddots cfrac1
1+cfrac1
mathbf 2 +cfrac1
1+cfrac1
1+cfrac1
mathbf 4 +cfrac1
1+cfrac1
1+cfrac1
mathbf 6 +cfrac1
1+ddots








"/>

無理數證明

反證法

證明edisplaystyle e是無理數可以用反證法。假設edisplaystyle e是有理數，則可以表示成abdisplaystyle frac ab ，其中a,bdisplaystyle a,b為正整數。以edisplaystyle e的無窮級數展開式可以得出矛盾。

考慮數字

x=b!(e−∑i=0b1i!)displaystyle x=b,!left(e-sum _i=0^b1 over i,!right)，

以下將推導出xdisplaystyle x是小於1的正整數；由於不存在這樣的正整數，得出矛盾，所以得證edisplaystyle e是無理數。

• 
  xdisplaystyle x是整數，因為

0<x=b!(e−∑i=0b1i!)=b!(ab−∑i=0b1i!)displaystyle 0<x=b,!left(e-sum _i=0^b1 over i,!right)=b,!left(a over b-sum _i=0^b1 over i,!right)

=a(b−1)!−∑i=0bb!i!displaystyle =a(b-1)!-sum _i=0^bb,! over i,!

=a(b−1)!−[1+∑n=0b−1b(b−1)⋯(n+1)]displaystyle =a(b-1)!-left[1+sum _n=0^b-1b(b-1)cdots (n+1)right]。

• 
  xdisplaystyle x是小於1的正數，因為

0<x=b!∑n=b+1∞1n!displaystyle 0<x=b,!sum _n=b+1^infty 1 over n!

=1b+1+1(b+1)(b+2)+1(b+1)(b+2)(b+3)+⋯displaystyle =frac 1b+1+frac 1(b+1)(b+2)+frac 1(b+1)(b+2)(b+3)+cdots

<1b+1+1(b+1)2+1(b+1)3+⋯=1b≤1displaystyle <frac 1b+1+frac 1(b+1)^2+frac 1(b+1)^3+cdots =1 over bleq 1。

但是0與1之間（不含0與1）不存在有整數，故原先假設矛盾，得出edisplaystyle e為無理數。

二項式定理

視ndisplaystyle n為存在的數值，所以用二項式定理可證出：

e=limn→∞(1+1n)ndisplaystyle e=lim _nto infty left(1+frac 1nright)^n

=limn→∞∑i=0nCin1n−i(1n)idisplaystyle =lim _nto infty sum _i=0^nC_i^n1^n-ileft(frac 1nright)^i

=limn→∞[C0n1n(1n)0+C1n1n−1(1n)1+C2n1n−2(1n)2+C3n1n−3(1n)3+...+Cnn10(1n)n]displaystyle =lim _nto infty left[C_0^n1^nleft(frac 1nright)^0+C_1^n1^n-1left(frac 1nright)^1+C_2^n1^n-2left(frac 1nright)^2+C_3^n1^n-3left(frac 1nright)^3+...+C_n^n1^0left(frac 1nright)^nright]

=limn→∞[1×1+n×1n+n!(n−2)!2!×1n2+n!(n−3)!3!×1n3+...+1×1nn]displaystyle =lim _nto infty left[1times 1+ntimes frac 1n+frac n!left(n-2right)!2!times frac 1n^2+frac n!left(n-3right)!3!times frac 1n^3+...+1times frac 1n^nright]

=limn→∞[1+1+n×(n−1)2n2+n×(n−1)(n−2)3×2n3+...+1nn]displaystyle =lim _nto infty left[1+1+frac ntimes left(n-1right)2n^2+frac ntimes left(n-1right)left(n-2right)3times 2n^3+...+frac 1n^nright]

=2+12+16+...displaystyle =2+frac 12+frac 16+...

=2.71828...displaystyle =2.71828...

已知位数

高精度计算e程序(C++)

#include<iostream>
using namespace std;
int main(void)

	long N,a,b,i,j=0,k=0;
	cout<<"请输入e位数(不超过100000)n",cin>>N,N+=5;
	long *e=new long[N],*c=new long[N];
	while(++j<N)e[j]=c[j]=0;
	for(*c=i=1;k<N;i++)
	
		while(!c[k])k++;
		for(b=0,j=k-1;++j<N;b=a%i)e[j]+=(c[j]=(a=b*10+c[j])/i);
	
	for(;--j;e[j]%=10)e[j-1]+=e[j]/10;
	for(cout<<"2.";++j<N-5;)cout<<e[j];
	deletee,deletec;
	return 0;

諧取

• 在Google2004年的首次公開募股，集資額不是通常的整頭數，而是$2,718,281,828，這當然是取最接近整數的edisplaystyle e十億美元。（顺便一提，Google2005年的一次公開募股中，集資額是$14,159,265，与圆周率有关）


• 
  Google也是首先在矽谷心臟地帶，接著在麻薩諸塞州劍橋出現的神祕廣告版 的幕後黑手，它寫著first 10-digit prime found in consecutive digits of e.com（在edisplaystyle e的連續數字中第一個發現的十位質數.com）。解決了這問題（第一個edisplaystyle e中的十位質數是7427466391，出奇地到很後才出現，由第100個數字開始），進入網站後還有個更難的題目要解決，最後會到達Google的招聘頁。但這個挑戰已結束，上述網站都已關閉。


• 著名電腦科學家高德納的软件Metafont的版本號碼趨向edisplaystyle e（就是說版本號碼是2，2.7，2.71，2.718等），与之相对的有TeX的版本号是趋向于圆周率的。

参见

• 无理数


• 超越数


• 欧拉数


• 圆周率

参考文献

1. 
   ^ Iwanami Sūgaku Jiten Fourth, Tokyo: Iwanami Shoten, 2007, ISBN 978-4-00-080309-0, MR 2383190 （日语）  142.D
   


2. 
   ^ Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computation
   


3. 
   ^ Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast