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埃爾溫·薛丁格

薛丁格繪景（Schrödinger picture）是量子力學的一種表述，為紀念物理學者埃爾溫·薛丁格而命名。在薛丁格繪景裏，量子系統的態向量隨著時間流易而演化，而像位置、自旋一類的對應於可觀察量的算符則與時間無關。

薛丁格繪景與海森堡繪景、狄拉克繪景不同。在海森堡繪景裏，對應於可觀察量的算符會隨著時間流易而演化，而描述量子系統的態向量則與時間無關。在狄拉克繪景裏，態向量與算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸，所獲得的結果完全一致。這是必然的，因為它們都是在表達同樣的物理現象。^{[1]:80-84[2][3]}

在薛丁格繪景裏，負責時間演化的算符是一種么正算符，稱為時間演化算符。假設時間從t0displaystyle t_0流易到tdisplaystyle t，而經過這段時間間隔，態向量|ψ(t0)⟩displaystyle 演化為態向量|ψ(t)⟩displaystyle ，這時間演化過程以方程式表示為

|ψ(t)⟩=U(t,t0)|ψ(t0)⟩displaystyle ；

其中，U(t,t0)displaystyle U(t,t_0)是時間演化算符。

假設系統的哈密頓量Hdisplaystyle H不含時，則時間演化算符為

U(t,t0)=e−iH(t−t0)/ℏdisplaystyle U(t,t_0)=e^-iH(t-t_0)/hbar ；

其中，ℏdisplaystyle hbar 是約化普朗克常數，指數函數e−iH(t−t0)/ℏdisplaystyle e^-iH(t-t_0)/hbar 必須通過其泰勒級數計算。

在初級量子力學教科書裏，時常會使用薛丁格繪景。^{[4]:第2章第25頁}

時間演化算符

定義

時間演化算符U(t,t0)displaystyle U(t,,t_0)定義為

|ψ(t)⟩ =def U(t,t0)|ψ(t0)⟩psi (t)rangle stackrel def= U(t,,t_0)；

其中，右矢|ψ(t)⟩displaystyle 表示時間為tdisplaystyle t的態向量，U(t,t0)displaystyle U(t,,t_0)是時間演化算符，從時間tdisplaystyle t演化到時間t0displaystyle t_0。

這方程式可以做這樣解釋：將時間演化算符U(t,t0)displaystyle U(t,,t_0)作用於時間是t0displaystyle t_0的態向量|ψ(t0)⟩displaystyle ，則會得到時間是tdisplaystyle t的態向量|ψ(t)⟩displaystyle 。

類似地，也可以用左矢⟨ψ|來定義：

⟨ψ(t)|=⟨ψ(t0)|U†(t,t0)displaystyle langle psi (t)；

其中，算符U†displaystyle U^dagger 是算符Udisplaystyle U的厄米共軛。

性質

幺正性

由於態向量必須滿足歸一條件，態向量的範數不能隨時間而變：^[1]:66-69

⟨ψ(t)|ψ(t)⟩=⟨ψ(t0)|ψ(t0)⟩psi (t_0)rangle 。

可是，

⟨ψ(t)|ψ(t)⟩=⟨ψ(t0)|U†(t,t0)U(t,t0)|ψ(t0)⟩U^dagger (t,,t_0)U(t,,t_0)。

所以，

U†(t,t0)U(t,t0)=Idisplaystyle U^dagger (t,,t_0)U(t,,t_0)=I ;

其中，Idisplaystyle I是單位算符。

單位性

時間演化算符U(t0,t0)displaystyle U(t_0,,t_0)必須是單位算符U(t0,t0)=Idisplaystyle U(t_0,,t_0)=I，因為，^[1]:66-69

|ψ(t0)⟩=U(t0,t0)|ψ(t0)⟩psi (t_0)rangle 。

閉包性

從初始時間t0displaystyle t_0到最後時間tdisplaystyle t的時間演化算符，可以視為從中途時間t1displaystyle t_1到最後時間tdisplaystyle t的時間演化算符，乘以從初始時間t0displaystyle t_0到中途時間t1displaystyle t_1的時間演化算符^[1]:66-69：

U(t,t0)=U(t,t1)U(t1,t0)displaystyle U(t,,t_0)=U(t,,t_1)U(t_1,,t_0)。

根據時間演化算符的定義，

|ψ(t1)⟩=U(t1,t0)|ψ(t0)⟩psi (t_1)rangle =U(t_1,,t_0)，

|ψ(t)⟩=U(t,t1)|ψ(t1)⟩psi (t)rangle =U(t,,t_1)。

所以，

|ψ(t)⟩=U(t,t1)U(t1,t0)|ψ(t0)⟩psi (t)rangle =U(t,,t_1)U(t_1,,t_0)。

可是，再根據定義，

|ψ(t)⟩=U(t,t0)|ψ(t0)⟩displaystyle 。

所以，時間演化算符必須滿足閉包性：

U(t,t0)=U(t,t1)U(t1,t0)displaystyle U(t,,t_0)=U(t,,t_1)U(t_1,,t_0)。

時間演化算符的微分方程式

為了方便起見，設定t0=0displaystyle t_0=0，初始時間t0displaystyle t_0永遠是0displaystyle 0，則可忽略時間演化算符的t0displaystyle t_0參數，改寫為U(t)displaystyle U(t)。含時薛丁格方程式為^[1]:68-73

iℏ∂∂t|ψ(t)⟩=H|ψ(t)⟩psi (t)rangle =H；

其中，Hdisplaystyle H是哈密頓量。

從時間演化算符的定義式，可以得到

iℏ∂∂tU(t)|ψ(0)⟩=HU(t)|ψ(0)⟩psi (0)rangle 。

由於|ψ(0)⟩psi (0)rangle 可以是任意恆定態向量（處於t=0displaystyle t=0的態向量），時間演化算符必須遵守方程式

iℏ∂∂tU(t)=HU(t)displaystyle ihbar partial over partial tU(t)=HU(t)。

假若哈密頓量不含時，則這方程式的解答為

U(t)=e−iHt/ℏdisplaystyle U(t)=e^-iHt/hbar 。

注意到在時間t=0displaystyle t=0，時間演化算符必須約化為單位算符U(0)=Idisplaystyle U(0)=I。由於Hdisplaystyle H是算符，指數函數e−iHtdisplaystyle e^-iHt必須通過其泰勒級數計算：

e−iHt/ℏ=1−iHtℏ−12(Htℏ)2+⋯displaystyle e^-iHt/hbar =1-frac iHthbar -frac 12left(frac Hthbar right)^2+cdots 。

按照時間演化算符的定義，在時間tdisplaystyle t，態向量為

|ψ(t)⟩=e−iHt/ℏ|ψ(0)⟩displaystyle 。

注意到|ψ(0)⟩psi (0)rangle 可以是任意態向量。假設初始態向量|ψ(0)⟩psi (0)rangle 是哈密頓量的本徵態，而本徵值是Edisplaystyle E，則在時間tdisplaystyle t，態向量為

|ψ(t)⟩=e−iEt/ℏ|ψ(0)⟩psi (0)rangle 。

這樣，可以看到哈密頓量的本徵態是定態，隨著時間的流易，只有相位因子在進行演化。

假設，哈密頓量與時間有關，但在不同時間的哈密頓量相互對易，則時間演化算符可以寫為

U(t)=exp⁡(−iℏ∫0tH(t′)dt′)displaystyle U(t)=exp left(-frac ihbar int _0^tH(t'),dt'right)。

假設，哈密頓量與時間有關，而在不同時間的哈密頓量不相互對易，則時間演化算符可以寫為

U(t)=Texp⁡(−iℏ∫0tH(t′)dt′)displaystyle U(t)=Texp left(-frac ihbar int _0^tH(t'),dt'right)；

其中，Tdisplaystyle T是時間排序算符。

必須用戴森級數（英语：Dyson series）來表示，

U(t)=1+∑n=1∞(−iℏ)n∫0tdt1∫0t1dt2…∫0tn−1dtnH(t1)H(t2)…H(tn)displaystyle U(t)=1+sum _n=1^infty left(frac -ihbar right)^nint _0^tdt_1int _0^t_1dt_2dots int _0^t_n-1dt_nH(t_1)H(t_2)dots H(t_n)。

各種繪景比較摘要

為了便利分析，位於下標的符號Hdisplaystyle mathcal H、Idisplaystyle mathcal I、Sdisplaystyle mathcal S分別標記海森堡繪景、交互作用繪景、薛丁格繪景。

各種繪景隨著時間流易會呈現出不同的演化：^{[1]:86-89, 337-339}

演化	海森堡繪景	交互作用繪景	薛丁格繪景
右矢	常定	|ψ(t)⟩I=eiH0t/ℏ|ψ(t)⟩Spsi (t)rangle _mathcal S	|ψ(t)⟩S=e−iHt/ℏ|ψ(0)⟩Sdisplaystyle
可觀察量	AH(t)=eiHt/ℏASe−iHt/ℏdisplaystyle A_mathcal H(t)=e^iHt/hbar A_mathcal Se^-iHt/hbar	AI(t)=eiH0t/ℏASe−iH0t/ℏdisplaystyle A_mathcal I(t)=e^iH_0t/hbar A_mathcal Se^-iH_0t/hbar	常定
密度算符	常定	ρI(t)=eiH0t/ℏρS(t)e−iH0/ℏdisplaystyle rho _mathcal I(t)=e^iH_0t/hbar rho _S(t)e^-iH_0/hbar	ρS(t)=e−iHt/ℏρS(0)eiHt/ℏdisplaystyle rho _mathcal S(t)=e^-iHt/hbar rho _mathcal S(0)e^iHt/hbar

參閱

• 哈密頓-亞可比方程式

參考文獻