njtynhj

在量子力學裏，一個量子系統的量子態可以抽象地用態向量來表示。態向量存在於內積空間。定義內積空間為增添了一個額外的內積結構的向量空間。態向量滿足向量空間所有的公理。態向量是一種特殊的向量，它也允許內積的運算。態向量的範度是1，是一個單位向量。標記量子態ψdisplaystyle psi ,!的態向量為|ψ⟩psi rangle ,!。

每一個內積空間都有單範正交基。態向量是單範正交基的所有基向量的線性組合：

|ψ⟩=c1|e1⟩+c2|e2⟩+⋯+cn|en⟩displaystyle ；

其中，|e1⟩,|e2⟩,…,|en⟩displaystyle 是單範正交基的基向量，ndisplaystyle n,!是單範正交基的基數，c1,c2,…,cndisplaystyle c_1,,c_2,,dots ,,c_n,!是複值的係數，是|ψ⟩psi rangle ,!的分量，cidisplaystyle c_i,!是|ψ⟩psi rangle ,!投射於基向量|ei⟩e_irangle ,!的分量，也是|ψ⟩psi rangle ,!處於|ei⟩e_irangle ,!的機率幅。

換一種方法表達：

|ψ⟩=(c1,c2,…,cn)T=(c1c2⋮cn)psi rangle =(c_1,,c_2,,dots ,,c_n)^T=beginpmatrixc_1\c_2\vdots \c_nendpmatrix,!。

在狄拉克標記方法裏，態向量|ψ⟩psi rangle ,!稱為右矢。對應的左矢為⟨ψ|,!，是右矢的厄米共軛，用方程式表達為

⟨ψ|=|ψ⟩†=(c1∗,c2∗,…,cn∗)=；

其中，†displaystyle dagger ,!象徵為取厄米共軛。

設定兩個態向量|α⟩=(a1,a2,…,an)Talpha rangle =(a_1,,a_2,,dots ,,a_n)^T,!，|β⟩=(b1,b2,…,bn)Tdisplaystyle 。定義|α⟩alpha rangle ,!內積|β⟩displaystyle 為

⟨α|β⟩=∑i ai∗bibeta rangle =sum _i a_i^*b_i,!。

這內積的結果是一個複數。

性質

1）共軛複數

|β⟩displaystyle 內積|α⟩alpha rangle ,!是|α⟩alpha rangle ,!內積|β⟩displaystyle 的共軛複數：

⟨β|α⟩=⟨α|β⟩∗displaystyle langle beta 。

2）歸一性

定義|α⟩alpha rangle ,!內積|α⟩alpha rangle ,!的平方根為|α⟩alpha rangle ,!的範數，標記為|α|,!。由於態向量滿足歸一性，態向量的範數必定等於1：

|α|=⟨α|α⟩=1alpha 。

3）柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式闡明：

⟨α|β⟩2≤⟨α|α⟩⟨β|β⟩beta rangle ^2leq langle alpha 。

參考文獻

費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修. 費曼物理學講義III (2)量子力學應用. 台灣: 天下文化書. 2006: pp. 10–17. ISBN 986-417-672-2.  引文格式1维护：冗余文本 (link)