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维尔纳·海森堡

海森堡繪景（Heisenberg picture）是量子力學的一種表述，因物理學者维尔纳·海森堡而命名。在海森堡繪景裏，對應於可觀察量的算符會隨著時間流易而演化，而描述量子系統的態向量則與時間無關。使用海森堡繪景，可以很容易地觀察到量子系統與經典系統之間的動力學關係。^{[1]:第2章第25頁}

海森堡繪景與薛丁格繪景、狄拉克繪景不同。在薛丁格繪景裏，描述量子系統的態向量隨著時間流易而演化，而像位置、動量一類的對應於可觀察量的算符則不會隨著時間流易而演化。^{[註 1]}在狄拉克繪景裏，態向量與對應於可觀察量的算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸，所獲得的結果完全一致。這是必然的，因為它們都是在表達同樣的物理現象。^{[2]:80-84[3][4]}

概述

為了便利分析，位於下標的符號Hdisplaystyle _mathcal H、Sdisplaystyle _mathcal S分別標記海森堡繪景、薛丁格繪景。

在量子力學的海森堡繪景裏，態向量|ψ⟩Hpsi rangle _mathcal H不含時，而可觀察量的算符AHdisplaystyle A_mathcal H則含時，並且滿足「海森堡運動方程式」：^[2]:80-84

ddtAH=1iℏ[AH,H]displaystyle frac ddtA_mathcal H=1 over ihbar [A_mathcal H,,H]；

其中，ℏdisplaystyle hbar 是約化普朗克常數，Hdisplaystyle H是哈密頓量，[AH,H]displaystyle [A_mathcal H,,H]是AHdisplaystyle A_mathcal H與Hdisplaystyle H的對易算符。

從某種角度來看，海森堡繪景比薛丁格繪景顯得更為自然，更具有基礎性，因為，經典力學分析物體運動所使用的物理量是可觀察量，例如，位置、動量等等，而海森堡繪景專注的就是這些可觀察量隨著時間流易的演化。進一步來看，海森堡繪景表述的量子力學與經典力學的相似可以很容易的觀察到：只要將對易算符改為帕松括號，海森堡方程式立刻就變成了哈密頓力學裏的運動方程式，其形式表示為^[5]:396-397

ddtA=[A,H]Poissondisplaystyle frac ddtA=[A,,H]_Poisson；

其中，[ , ]Poissondisplaystyle [ ,, ]_Poisson是帕松括號。

通過狄拉克量子化條件（英语：canonical quantization），可以從哈密頓力學的運動方程式得到海森堡運動方程式：

[ , ]Poisson → [ , ]iℏdisplaystyle [ ,, ]_Poisson to frac [ ,, ]ihbar 。

史東-馮諾伊曼理論（英语：Stone-von Neumann theorem）證明海森堡繪景與薛丁格繪景是等價的。

理論導引

在薛丁格繪景裏，負責時間演化的算符是一種么正算符，稱為時間演化算符。假設時間從0displaystyle 0流易到tdisplaystyle t，而經過這段時間間隔，態向量|ψ(0)⟩Sdisplaystyle 演化為|ψ(t)⟩Sdisplaystyle ，這時間演化過程以方程式表示為

|ψ(t)⟩S=U(t,0)|ψ(0)⟩Sdisplaystyle ；

其中，U(t,0)displaystyle U(t,0)是時間從0displaystyle 0流易到tdisplaystyle t的時間演化算符。

時間演化算符是么正算符：

U(t,0)U†(t,0)=U†(t,0)U(t,0)=1displaystyle U(t,0)U^dagger (t,0)=U^dagger (t,0)U(t,0)=1。

假設系統的哈密頓量Hdisplaystyle H不含時，則時間演化算符為^{[2]:69-71[註 2]}

U(t,0)=e−iHt/ℏdisplaystyle U(t,0)=e^-iHt/hbar ，

而且，時間演化算符與哈密頓量相互對易：^{[註 3]}

HU(t,0)=U(t,0)Hdisplaystyle HU(t,0)=U(t,0)H。

注意到指數函數e−iHt/ℏdisplaystyle e^-iHt/hbar 必須通過其泰勒級數計算。

在海森堡繪景裏，態向量|ψ(t)⟩Hpsi (t)rangle _mathcal H、算符AH(t)displaystyle A_mathcal H(t)分別定義為

|ψ(t)⟩H=def|ψ(0)⟩H=|ψ(0)⟩Spsi (t)rangle _mathcal Hstackrel def=、

AH(t)=defU†(t,0)ASU(t,0)displaystyle A_mathcal H(t)stackrel def=U^dagger (t,0)A_mathcal SU(t,0)。

由於U(t,0)displaystyle U(t,0)、U†(t,0)displaystyle U^dagger (t,0)對於時間的偏導數分別為

∂U(t,0)∂t=1iℏHU(t,0)displaystyle frac partial U(t,0)partial t=1 over ihbar HU(t,0)、

∂U†(t,0)∂t=−1iℏU†(t,0)Hdisplaystyle frac partial U^dagger (t,0)partial t=-1 over ihbar U^dagger (t,0)H。

所以，算符AH(t)displaystyle A_mathcal H(t)對於時間的導數是^{[註 4]}

ddtAH(t)=∂U†(t,0)∂tASU(t,0)+U†(t,0)AS∂U(t,0)∂t=−1iℏU†HASU+1iℏU†ASHU=−1iℏU†HUU†ASU+1iℏU†ASUU†HU=1iℏ[U†ASU,U†HU]displaystyle beginalignedd over dtA_mathcal H(t)&=frac partial U^dagger (t,0)partial tA_mathcal SU(t,0)+U^dagger (t,0)A_mathcal Sfrac partial U(t,0)partial t\&=-1 over ihbar U^dagger HA_mathcal SU+1 over ihbar U^dagger A_mathcal SHU\&=-1 over ihbar U^dagger HUU^dagger A_mathcal SU+1 over ihbar U^dagger A_mathcal SUU^dagger HU\&=1 over ihbar [U^dagger A_mathcal SU,U^dagger HU]\endaligned。

由於不含時哈密頓量在海森堡繪景的形式與在薛丁格繪景相同，可以忽略下標：^{[註 5]}

HH=U†HSU=HS=Hdisplaystyle H_mathcal H=U^dagger H_mathcal SU=H_mathcal S=H。

將算符的定義式納入考量，就可以得到海森堡運動方程式：

ddtAH(t)=1iℏ[AH(t),H]displaystyle d over dtA_mathcal H(t)=1 over ihbar [A_mathcal H(t),H]。

期望值

在薛丁格繪景裏，可觀察量Adisplaystyle A的期望值為^[2]:81

⟨A⟩S=S⟨ψ(t)|AS|ψ(t)⟩S=S⟨ψ(0)|U†(t,0)ASU(t,0)|ψ(0)⟩SU^dagger (t,0)A_mathcal SU(t,0)。

在海森堡繪景裏，可觀察量Adisplaystyle A的期望值為

⟨A⟩H=H⟨ψ(t)|AH(t)|ψ(t)⟩H=H⟨ψ(0)|AH(t)|ψ(0)⟩Hpsi (0)rangle _mathcal H。

注意到態向量|ψ(t)⟩Hpsi (t)rangle _mathcal H、算符AH(t)displaystyle A_mathcal H(t)的定義式：

|ψ(t)⟩H=def|ψ(0)⟩H=|ψ(0)⟩Spsi (t)rangle _mathcal Hstackrel def=、

AH(t)=defU†(t,0)ASU(t,0)displaystyle A_mathcal H(t)stackrel def=U^dagger (t,0)A_mathcal SU(t,0)。

所以，這兩種期望值的表述方式等價。

貝克-豪斯多夫引理

算符AH(t)displaystyle A_mathcal H(t)的定義式涉及到指數函數e−iHt/ℏdisplaystyle e^-iHt/hbar ，必須通過其泰勒級數計算，這是個很繁雜的過程，可以利用貝克-豪斯多夫引理（英语：Baker-Hausdorff lemma）來計算^[2]:95

eBAe−B=A+[B,A]+12![B,[B,A]]+13![B,[B,[B,A]]]+⋯displaystyle e^BAe^-B=A+[B,A]+frac 12![B,[B,A]]+frac 13![B,[B,[B,A]]]+cdots 。

對於算符AH(t)displaystyle A_mathcal H(t)，可以得到

AH(t)=AH(0)+itℏ[H,AH(0)]−t22!ℏ2[H,[H,AH(0)]]−it33!ℏ3[H,[H,[H,AH(0)]]]+⋯displaystyle A_mathcal H(t)=A_mathcal H(0)+frac ithbar [H,A_mathcal H(0)]-frac t^22!hbar ^2[H,[H,A_mathcal H(0)]]-frac it^33!hbar ^3[H,[H,[H,A_mathcal H(0)]]]+cdots 。

由於帕松括號與對易算符的關係，在哈密頓力學裏，這方程式也成立。

自由粒子範例

本節運算只涉及海森堡繪景，為了簡便起見，忽略下標Hdisplaystyle mathcal H。設想自由粒子系統，其哈密頓量為^[2]:85-86

H=p22mdisplaystyle H=frac p^22m。

動量pdisplaystyle p的海森堡運動方程式為

ddtp(t)=1iℏ[p,H]=0displaystyle d over dtp(t)=1 over ihbar [p,H]=0。

這是因為pdisplaystyle p與Hdisplaystyle H對易。所以，動量pdisplaystyle p是個常數：

p(t)=p(0)displaystyle p(t)=p(0)。

位置xdisplaystyle x的海森堡運動方程式為

ddtx(t)=1iℏ[x,H]=pmdisplaystyle d over dtx(t)=1 over ihbar [x,H]=frac pm。

所以，位置與時間的關係式為

x(t)=x(0)+p(0)mtdisplaystyle x(t)=x(0)+frac p(0)mt。

換另一種方法，算符隨著時間流易而演化的方程式為

x(t)=eiHt/ℏx(0)e−iHt/ℏdisplaystyle x(t)=e^iHt/hbar x(0)e^-iHt/hbar 。

利用貝克-豪斯多夫引理（英语：Baker-Hausdorff lemma），

x(t)=x(0)+itℏ[H,x(0)]−t22!ℏ2[H,[H,x(0)]]−it33!ℏ3[H,[H,[H,x(0)]]]+⋯displaystyle x(t)=x(0)+frac ithbar [H,x(0)]-frac t^22!hbar ^2[H,[H,x(0)]]-frac it^33!hbar ^3[H,[H,[H,x(0)]]]+cdots 。

注意到以下兩個對易關係式：

[H,x(0)]=−iℏp(0)mdisplaystyle [H,x(0)]=frac -ihbar p(0)m、

[H,p(0)]=0displaystyle [H,p(0)]=0。

將這兩個對易關係式代入，可以得到同樣的位置與時間的關係式：

x(t)=x(0)+p(0)mtdisplaystyle x(t)=x(0)+frac p(0)mt。

注意到位置在不同時間的對易子不等於零：

[x(t),x(0)]=[p(0)tm,x(0)]=−iℏtmdisplaystyle [x(t),x(0)]=left[frac p(0)tm,x(0)right]=frac -ihbar tm。

諧振子範例

本節運算只涉及海森堡繪景，為了簡便起見，忽略下標Hdisplaystyle mathcal H。設想諧振子系統，其哈密頓量為^{[2]:89, 94-97}

H=p22m+mω2x22displaystyle H=frac p^22m+frac momega ^2x^22；

其中，ωdisplaystyle omega 為諧振子頻率。

動量算符pdisplaystyle p、位置算符xdisplaystyle x的海森堡運動方程式分別為

ddtp(t)=1iℏ[p(t),H]=−mω2x(t)displaystyle d over dtp(t)=1 over ihbar [p(t),H]=-momega ^2x(t)、

ddtx(t)=1iℏ[x(t),H]=p(t)mdisplaystyle d over dtx(t)=1 over ihbar [x(t),H]=frac p(t)m。

再求這兩個方程式對於時間的導數，

d2dt2p(t)=−mω2iℏ[x(t),H]=−ω2p(t)displaystyle d^2 over dt^2p(t)=-momega ^2 over ihbar [x(t),H]=-omega ^2p(t)、

d2dt2x(t)=1imℏ[p(t),H]=−ω2x(t)displaystyle d^2 over dt^2x(t)=1 over imhbar [p(t),H]=-omega ^2x(t)。

設定動量算符、位置算符的初始條件分別為

p(0)=p0displaystyle p(0)=p_0、

x(0)=x0displaystyle x(0)=x_0。

則在初始時間，

p˙(0)=−mω2x0displaystyle dot p(0)=-momega ^2x_0、

x˙(0)=p0mdisplaystyle dot x(0)=frac p_0m。

所以，二次微分方程式的解答分別是

p(t)=p0cos⁡(ωt)−mωx0sin⁡(ωt)displaystyle p(t)=p_0cos(omega t)-momega !x_0sin(omega t)、

x(t)=x0cos⁡(ωt)+p0mωsin⁡(ωt)displaystyle x(t)=x_0cos(omega t)+frac p_0momega sin(omega t)。

稍加運算，可以得到海森堡繪景裏的對易關係：

[p(t1),p(t2)]=iℏmωsin⁡(ωt2−ωt1)displaystyle [p(t_1),p(t_2)]=ihbar momega sin(omega t_2-omega t_1)、

[x(t1),x(t2)]=iℏmωsin⁡(ωt2−ωt1)displaystyle [x(t_1),x(t_2)]=frac ihbar momega sin(omega t_2-omega t_1)、

[x(t1),p(t2)]=iℏcos⁡(ωt2−ωt1)displaystyle [x(t_1),p(t_2)]=ihbar cos(omega t_2-omega t_1)。

假若t1=t2displaystyle t_1=t_2，則立刻會得到熟悉的正則對易關係。

換另一種方法，算符隨著時間流易而演化的方程式為

x(t)=eiHt/ℏx(0)e−iHt/ℏdisplaystyle x(t)=e^iHt/hbar x(0)e^-iHt/hbar 。

利用貝克-豪斯多夫引理（英语：Baker-Hausdorff lemma），

x(t)=x(0)+itℏ[H,x(0)]−t22!ℏ2[H,[H,x(0)]]−it33!ℏ3[H,[H,[H,x(0)]]]+⋯displaystyle x(t)=x(0)+frac ithbar [H,x(0)]-frac t^22!hbar ^2[H,[H,x(0)]]-frac it^33!hbar ^3[H,[H,[H,x(0)]]]+cdots 。

注意到以下兩個對易關係式：

[H,x(0)]=−iℏp(0)mdisplaystyle [H,x(0)]=frac -ihbar p(0)m、

[H,p(0)]=iℏmω2x(0)displaystyle [H,p(0)]=ihbar momega ^2x(0)。

將這兩個對易關係式代入，可以得到同樣的位置與時間的關係式：

x(t)=x(0)+p(0)mωωt−x(0)ω2t22!−p(0)mωω3t33!+⋯=x(0)cos⁡(ωt)+p(0)mωsin⁡(ωt)displaystyle beginalignedx(t)&=x(0)+frac p(0)momega omega t-x(0)frac omega ^2t^22!-frac p(0)momega frac omega ^3t^33!+cdots \&=x(0)cos(omega t)+frac p(0)momega sin(omega t)\endaligned。

類似地,也可以得到同樣的動量與時間的關係式。

各種繪景比較摘要

各種繪景隨著時間流易會呈現出不同的演化：^{[2]:86-89, 337-339}

演化	海森堡繪景	交互作用繪景	薛丁格繪景
右矢	常定	|ψ(t)⟩I=eiH0t/ℏ|ψ(t)⟩Sdisplaystyle	|ψ(t)⟩S=e−iHt/ℏ|ψ(0)⟩Sdisplaystyle
可觀察量	AH(t)=eiHt/ℏASe−iHt/ℏdisplaystyle A_mathcal H(t)=e^iHt/hbar A_mathcal Se^-iHt/hbar	AI(t)=eiH0t/ℏASe−iH0t/ℏdisplaystyle A_mathcal I(t)=e^iH_0t/hbar A_mathcal Se^-iH_0t/hbar	常定
密度算符	常定	ρI(t)=eiH0t/ℏρS(t)e−iH0/ℏdisplaystyle rho _mathcal I(t)=e^iH_0t/hbar rho _S(t)e^-iH_0/hbar	ρS(t)=e−iHt/ℏρS(0)eiHt/ℏdisplaystyle rho _mathcal S(t)=e^-iHt/hbar rho _mathcal S(0)e^iHt/hbar

註釋

參考文獻

• 
  Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu, Frank Laloe. Quantum Mechanics (Volume One). Paris: Wiley. 1977: 312–314. ISBN 047116433X.  引文使用过时参数coauthors (帮助)
  

參閱

• 狄拉克標記