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在數學中，隱式方程（implicit equation）是形同f(x1,x2,⋯,xn)=0displaystyle f(x_1,x_2,cdots ,x_n)=0的關係，其中fdisplaystyle f是多元函數。比如單位圓的隱式方程是x2+y2−1=0displaystyle x^2+y^2-1=0。

隱函数（implicit function）是由隱式方程所隱含定義的函數，比如y=1−x2displaystyle y=sqrt 1-x^2是由x2+y2−1=0displaystyle x^2+y^2-1=0確定的函數。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如y=cos⁡(x)displaystyle y=cos(x)。

隱函數定理說明了隱式方程在什麼情況下會確定出隱函數。

例子

反函数

隐函数的一个常见类型是反函数。若f是一个函数，那么f的反函数记作f⁻¹, 是给出下面方程解的函数

x = f(y)

用x表示y。这个解是

y=f−1(x).displaystyle y=f^-1(x).

直观地，通过交换f自变量和應变量的位置就可以得到反函数。换一种说法，反函数给出该方程对于y的解

R(x,y)=x−f(y)=0.displaystyle R(x,y)=x-f(y)=0.,

例子

1. 
   对数函数 ln(x) 给出方程x − e^y = 0或等价的x = e^y的解 y = ln(x)。 这里 f(y) = e^y 并且 f⁻¹(x) = ln(x)。


2. 
   朗伯W函數則可以解出 x − y e^y = 0的y值。

代数函数

一个代数函数是满足自身多项式系数的多项式方程的函数。例如，单变量 xdisplaystyle x 的代数函数给出一个方程中 ydisplaystyle y 的解。

an(x)yn+an−1(x)yn−1+⋯+a0(x)=0displaystyle a_n(x)y^n+a_n-1(x)y^n-1+cdots +a_0(x)=0,

其中係數 ai(x)displaystyle a_i(x) 為 xdisplaystyle x 的多項式函數。

代數函數在數學分析和代数几何中扮演重要角色，我們再拿單位圓方程式來當作代數函數的範例：

x2+y2−1=0.displaystyle x^2+y^2-1=0.,

那麼 ydisplaystyle y 的顯函數解顯然是：

y=±1−x2displaystyle y=pm sqrt 1-x^2,

但其實我們不一定要把它的顯函數解寫出來，它也可以直接利用隱函數來表達。

對於y的二次、三次和四次方程，可以找到只包含有限次四則運算和開方運算的顯函數解, 但這并不适用于包括五次在内的更高次数的方程（參見阿贝尔-鲁菲尼定理），例如：

y5+2y4−7y3+3y2−6y−x=0.displaystyle y^5+2y^4-7y^3+3y^2-6y-x=0.,

但是，我们仍然可以以隐函数 y = g(x) 的方式来表达。

隱函數的导数

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：

方法一

• 把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

示例

把一元隐函数y=g(x)displaystyle y=g(x)看作二元函数f(x,y)=0displaystyle f(x,y)=0，若欲求dydxdisplaystyle frac dydx，對fdisplaystyle f取全微分，可得df(x,y)=fxdx+fydy=0displaystyle df(x,y)=f_xdx+f_ydy=0，經過移項可得dydx=−fxfydisplaystyle frac dydx=-frac f_xf_y

（式中fxdisplaystyle f_x表示f(x,y)displaystyle f(x,y)關於xdisplaystyle x的偏导数∂f∂xdisplaystyle frac partial fpartial x，以此類推）。

把2元隐函数y=g(x,z)displaystyle y=g(x,z)看作3元函数f(x,y,z)=0displaystyle f(x,y,z)=0，若欲求∂y∂xdisplaystyle frac partial ypartial x，對fdisplaystyle f取全微分，可得df(x,y,z)=fxdx+fydy+fzdz=0displaystyle df(x,y,z)=f_xdx+f_ydy+f_zdz=0 。

由於所求為∂g(x,z)∂xdisplaystyle frac partial g(x,z)partial x，令z為常數，即dz=0displaystyle dz=0，經過移項可得∂y∂x=−fxfydisplaystyle frac partial ypartial x=-frac f_xf_y

方法二

• 針對1元隱函數，把ydisplaystyle y看作xdisplaystyle x的函数，利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对xdisplaystyle x求导，再通过移项求得dydxdisplaystyle frac dydx的值。


• 針對2元隱函數，把y,zdisplaystyle y,z看作xdisplaystyle x的函数，利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对xdisplaystyle x求导，令dz=0displaystyle dz=0，再通过移项求得∂y∂xdisplaystyle frac partial ypartial x的值。

示例

• 針對yndisplaystyle y^n：

ddxyn=n⋅yn−1dydxdisplaystyle frac ddxy^n=ncdot y^n-1frac dydx

• 針對xmyndisplaystyle x^my^n：

ddxxmyn=n⋅xmyn−1dydx+m⋅xm−1yndisplaystyle frac ddxx^my^n=ncdot x^my^n-1frac dydx+mcdot x^m-1y^n

• 求 12x7−7x4y3+6xy5−14y6+25=10displaystyle 12x^7-7x^4y^3+6xy^5-14y^6+25=10中y對x的導數。

為了方便辨別相應的導數部分，各項都以不同顏色分開（常數則以黑色表示）。

12x7−7x4y3+6xy5−14y6+25=10displaystyle color Blue12x^7color Red-7x^4y^3color Green+6xy^5color Brown-14y^6+25=10

1.兩邊皆取其相應的導數，得出

12⋅7x6−7(3x4y2dydx+4x3y3)+6(5xy4dydx+y5)−14⋅6y5dydx+0=0displaystyle color Blue12cdot 7x^6color Red-7left(3x^4y^2frac dydx+4x^3y^3right)color Green+6left(5xy^4frac dydx+y^5right)color Brown-14cdot 6y^5frac dydx+0=0

2.移項處理。

84x6−28x3y3+6y5=21x4y2dydx−30xy4dydx+84y5dydxdisplaystyle color Blue84x^6color Red-28x^3y^3color Green+6y^5=color Red21x^4y^2frac dydxcolor Green-30xy^4frac dydxcolor Brown+84y^5frac dydx

3.提出導數因子。

84x6−28x3y3+6y5=(21x4y2−30xy4+84y5)(dydx)displaystyle color Blue84x^6color Red-28x^3y^3color Green+6y^5=left(color Red21x^4y^2color Green-30xy^4color Brown+84y^5right)left(frac dydxright)

4.移項處理。

dydx=84x6−28x3y3+6y521x4y2−30xy4+84y5displaystyle frac dydx=frac color Blue84x^6color Red-28x^3y^3color Green+6y^5color Red21x^4y^2color Green-30xy^4color Brown+84y^5

5.完成。得出其導數為84x6−28x3y3+6y521x4y2−30xy4+84y5displaystyle frac 84x^6-28x^3y^3+6y^521x^4y^2-30xy^4+84y^5。

6.選擇性步驟：因式分解。

dydx=2(42x6−14x3y3+3y5)3y2(7x4−10xy2+28y3)displaystyle frac dydx=frac 2left(42x^6-14x^3y^3+3y^5right)3y^2left(7x^4-10xy^2+28y^3right)

參見

• 反函數