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在量子力學裏，含時微擾理論研究一個量子系統的含時微擾所產生的效應。這理論由狄拉克首先發展成功。由於系統的含微擾哈密頓量含時間，伴隨的能級與本徵態也含時間。所以，不同於不含時微擾理論，含時微擾理論解析問題的目標為：

• 給予初始量子態，求算某個可觀測量 Adisplaystyle A 的含時間期望值。


• 一個量子系統的含時間量子態，仍舊是這系統的不含時零微擾哈密頓量 H0displaystyle H_0 的本徵態的線性組合。求算這系統的量子態處於某個本徵態的機率幅。

第一個結果的重要性是，它可以預測由實驗測量得到的答案。例如，思考一個氫原子的電子，其所在位置的 x-坐標的期望值 ⟨x⟩displaystyle langle xrangle ，當乘以適當的係數後，給出這電子的含時間偏振。將一個恰當的微擾（例如，一個震盪的電位）作用於氫氣，應用含時微擾理論，我們可以計算出交流電的電容率。詳細內容，請參閱條目介電譜學 (dielectric spectroscopy) 。

第二個結果著眼於量子態處於每一個本徵態的機率。這機率與時間有關。在雷射物理學裏，假若我們知道這機率，我們就可以計算一個氣體，因為含時間電場的作用，處於某個量子態的機率密度函數。這機率也可以用來計算譜線的量子增寬 (quantum broadening) 。

導引

讓我們簡略的解釋，含時微擾理論的狄拉克表述，其背後的點子。先為零微擾系統選擇一個能量本徵態的正交基 |n⟩displaystyle 。這些本徵態與時間無關。

假若，在時間 t=0displaystyle t=0 ，零微擾系統處於本徵態 |j⟩displaystyle 。那麼，隨著時間流逝，這系統的量子態可以表達為（採用薛丁格繪景：量子態隨著時間流逝而演化，而對應於可觀察量的算符則與時間無關）

|j(t)⟩=e−iEjt/ℏ|j⟩displaystyle ；

其中，Ejdisplaystyle E_j 是本徵態 |j⟩displaystyle 的能級，ℏdisplaystyle hbar 是約化普朗克常數。

現在，添加一個含時間的哈密頓量微擾 V(t)displaystyle V(t) 。包括微擾系統在內的哈密頓量 Hdisplaystyle H 是

H=H0+V(t)displaystyle H=H_0+V(t) 。(1)

標記 |ψ(t)⟩psi (t)rangle 為含微擾系統在時間 tdisplaystyle t 的量子態。它遵守含時薛丁格方程式:

H|ψ(t)⟩=iℏ∂∂t|ψ(t)⟩psi (t)rangle 。(2)

在任何時間，量子態可以表達為本徵態的線性組合：

|ψ(t)⟩=∑ncn(t)e−iEnt/ℏ|n⟩psi (t)rangle =sum _nc_n(t)e^-iE_nt/hbar ；(3)

其中，cn(t)displaystyle c_n(t) 是複函數，稱為幅度。在這裏，我們顯性地表示出公式右手邊的相位因子 e−iEnt/ℏdisplaystyle e^-iE_nt/hbar 。這只是為了便利因素。並不會因此而失去一般性。

假若系統的初始量子態是 |j⟩displaystyle ，而又沒有微擾作用，則幅度會有很理想的性質：隨著時間的演化，

cj(t)=1displaystyle c_j(t)=1 ，

cn(t)=0,n≠jdisplaystyle c_n(t)=0,quad nneq j 。

回思公式 (3) ，幅度 cn(t)displaystyle c_n(t) 的絕對平方是 |ψ(t)⟩psi (t)rangle 在時間 tdisplaystyle t 處於本徵態 |n⟩displaystyle 的機率：

|cn(t)|2=|⟨n|ψ(t)⟩|2displaystyle left 。

將公式 (1) 與 (3) 代入含時薛丁格方程式 (2) ，可以得到

[H0+V(t)]∑ncn(t)e−iEnt/ℏ|n⟩=iℏ∂∂t(∑ncn(t)e−iEnt/ℏ|n⟩)=∑n(iℏ∂cn(t)∂t+cn(t)En)e−iEnt/ℏ|n⟩displaystyle nrangle right)\&=sum _nleft(ihbar frac partial c_n(t)partial t+c_n(t)E_nright)e^-iE_nt/hbar & = "ihbar fracpartialpartial tleft(sum_n c_n(t) e^ - i E_n t / hbar |nrangright) \"
& ="sum_n left( ihbar fracpartial c_n(t) partial t+c_n(t) E_nright) e^- i E_n t /hbar|nrang \"
endalign"/>。

由於 H0|n⟩=En|n⟩nrangle ，這公式左手邊的 H0displaystyle H_0 項目於右手邊的 Endisplaystyle E_n 項目相抵銷。所以，

∑n(iℏ∂cn(t)∂t)e−iEnt/ℏ|n⟩=∑ncn(t)V(t)e−iEnt/ℏ|n⟩nrangle =sum _nc_n(t)V(t)e^-iE_nt/hbar 。

將 ⟨m| 內積於這公式兩邊，可以得到一組聯立的偏微分方程式：

∂cm∂t=−iℏ∑n⟨m|V(t)|n⟩cn(t)e−i(En−Em)t/ℏdisplaystyle frac partial c_mpartial t=frac -ihbar sum _nlangle m 。

矩陣元素 ⟨m|V(t)|n⟩V(t) 的角色，影響到量子態的幅度改變的速率 ∂cm∂tdisplaystyle frac partial c_mpartial t 。可是，注意到這遷移內中含有一個相位因子。經過一段超久於 ℏ/(En−Em)displaystyle hbar /(E_n-E_m) 的間隔時間，相位會轉繞很多圈次。

一直到此，我們尚未嘗試取近似值。所以，這一組偏微分方程式仍舊是精確的。通過給予初始值 cn(0)displaystyle c_n(0) ，原則上，我們可以找到（非微擾的）精確解。對於雙態系統，只有兩個能級 (n=1,2displaystyle n=1,,2) 的量子系統，可以很容易的找到答案。而且，很多量子系統，像氨分子，氫分子離子 (Hydrogen molecular ion) ，苯分子等等，都可以用雙態系統模型來分析^[1]。但是對於更多能級的系統，找到精確解是非常困難的。我們只好尋找微擾解。我們可以用積分式來表達幅度：

cn(t)=cn(0)+−iℏ∑k∫0tdt′⟨n|V(t′)|k⟩ck(t′)e−i(Ek−En)t′/ℏV(t') 。

重覆的將 cn(t)displaystyle c_n(t) 的表達式代入這公式的右手邊，可以得到一個迭代解：

cn(t)=cn(0)+cn(1)+cn(2)+⋯displaystyle c_n(t)=c_n^(0)+c_n^(1)+c_n^(2)+cdots ；

其中，舉例而言，一階項目是

cn(1)(t)=−iℏ∑k∫0tdt′⟨n|V(t′)|k⟩ck(0)e−i(Ek−En)t′/ℏkrangle ,c_k(0),e^-i(E_k-E_n)t'/hbar 。

應用含時微擾理論，可以得到更多進一步的結果，像費米黃金律 (Fermi's golden rule) 或戴森級數 (Dyson series) 。費米黃金律計算，因為含時微擾，從某個能量本徵態發射至另外一個能量本徵態的躍遷率。通過應用上述迭代法於時間演化算符，可以得到戴森級數。這是費曼圖方法的起點之一。

參閱

• 雙態系統


• 吸收


• 
  自發射 (spontaneous emission)


• 
  受激發射 (stimulated emission)


• 
  拉比問題 (Rabi problem)

參考文獻

1. 
   ^ 費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修. 費曼物理學講義 III (2) 量子力學應用. 台灣: 天下文化書. 2006: pp. 71–108. ISBN 986-417-672-2.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
   

外部連結

• 圣地牙哥加州大学物理系量子力学視聽教學：含時微擾理論