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在物理學裏，算符（operator），又稱算子，作用於物理系統的狀態空間，使得物理系統從某種狀態變換為另外一種狀態。這變換可能相當複雜，需要用很多方程式來表明，假若能夠使用算符來代表，可以更為簡單扼要地表達論述。

對於很多案例，假若作用的對象有所迥異，算符的物理行為也會不同；但是，對於有些案例，算符的物理行為具有一般性，這時，就可以將論題抽象化，專注於研究算符的物理行為，不必顧慮到狀態的獨特性。這方法比較適用於一些像對稱性或守恆定律的論題。因此，在經典力學裏，算符是很有用的工具。在量子力學裏，算符為理論表述不可或缺的要素。

對於更深奧的理論研究，可能會遇到很艱難的數學問題，算符理論（operator theory）能夠提供高功能的架構，使得數學推導更為簡潔精緻、易讀易懂，更能展現出內中物理涵意。

一般而言，在經典力學裏的算符大多作用於函數，這些函數的參數為各種各樣的物理量，算符將某函數映射為另一種函數。這種算符稱為「函數算符」。在量子力學裏的算符稱為「量子算符」，作用的對象是量子態。量子算符將某量子態映射為另一種量子態。

經典力學

在經典力學裏，粒子（或一群粒子）的動力行為是由拉格朗日量L(q, q˙, t)displaystyle mathcal L(mathbf q , dot mathbf q , t)或哈密頓量H(q, p)displaystyle mathcal H(mathbf q , mathbf p )決定；其中，q=(q1,q2,q3,…,qn)displaystyle mathbf q =(q_1,q_2,q_3,dots ,q_n)、q˙=(q1˙,q2˙,q3˙,…,q˙n)displaystyle dot mathbf q =(dot q_1,dot q_2,dot q_3,dots ,dot q_n)分別是廣義坐標、廣義速度，p=(p1,p2,p3,…,pn)=∂L∂q˙displaystyle mathbf p =(p_1,p_2,p_3,dots ,p_n)=frac partial mathcal Lpartial dot mathbf q 是共軛動量，tdisplaystyle t是時間。

假設拉格朗日量Ldisplaystyle mathcal L或哈密頓量Hdisplaystyle mathcal H與某廣義坐標qidisplaystyle q_i無關，則當qidisplaystyle q_i有所改變時，Ldisplaystyle mathcal L或Hdisplaystyle mathcal H仍舊會保持不變，這意味著粒子的動力行為也會保持不變，對應於qidisplaystyle q_i的共軛動量pidisplaystyle p_i守恆。對於廣義坐標qidisplaystyle q_i的改變，動力行為所具有的不變性是一種對稱性。在經典力學裏，當研讀有關對稱性的課題時，算符是很有用的工具。

特別而言，假設對於某種群Gdisplaystyle G的變換運算，物理系統的哈密頓量是個不變量；也就是說，假設S∈Gdisplaystyle Sin G，

SH(q, p)=H(q′, p′)=H(q, p)displaystyle Smathcal H(mathbf q , mathbf p )=mathcal H(mathbf q ', mathbf p ')=mathcal H(mathbf q , mathbf p )。

在這案例裏，所有Gdisplaystyle G的元素Sdisplaystyle S都是物理算符，能夠將物理系統從某種狀態變換為另一種狀態；儘管Sdisplaystyle S作用於這物理系統，哈密頓量守恆不變。

舉一個關於平移於空間的簡單例子。「平移算符」Tadisplaystyle T_a能夠將粒子從坐標為qidisplaystyle q_i移動至坐標為qi+adisplaystyle q_i+a，以方程式表示：

Taf(qi)=f(qi−a)displaystyle T_af(q_i)=f(q_i-a)；

其中，f(qi)displaystyle f(q_i)是描述一群粒子的密度函數。

給定一個對於平移變換具有不變性的物理系統，則儘管Tadisplaystyle T_a的作用，這物理系統的哈密頓量Hdisplaystyle mathcal H是個不變量，對應於坐標qidisplaystyle q_i的動量pidisplaystyle p_i守恆。

經典力學算符表格

算符	標記	位置	動量
平移算符	T(Δr)displaystyle T(mathbf Delta mathbf r )	r→r+Δrdisplaystyle mathbf r rightarrow mathbf r +Delta mathbf r	p→pdisplaystyle mathbf p rightarrow mathbf p
時間演化算符	U(Δt)displaystyle U(Delta t)	r(t)→r(t+Δt)displaystyle mathbf r (t)rightarrow mathbf r (t+Delta t)	p(t)→p(t+Δt)displaystyle mathbf p (t)rightarrow mathbf p (t+Delta t)
旋轉算符	R(n^,θ)displaystyle R(mathbf hat n ,theta )	r→R(n^,θ)rdisplaystyle mathbf r rightarrow R(mathbf hat n ,theta )mathbf r	p→R(n^,θ)pdisplaystyle mathbf p rightarrow R(mathbf hat n ,theta )mathbf p
伽利略變換算符	G(v)displaystyle G(mathbf v )	r→r+vtdisplaystyle mathbf r rightarrow mathbf r +mathbf v t	p→p+mvdisplaystyle mathbf p rightarrow mathbf p +mmathbf v
宇稱算符	Pdisplaystyle P	r→−rdisplaystyle mathbf r rightarrow -mathbf r	p→−pdisplaystyle mathbf p rightarrow -mathbf p
時間反演算符	Θdisplaystyle Theta	r→r(−t)displaystyle mathbf r rightarrow mathbf r (-t)	p→−p(−t)displaystyle mathbf p rightarrow -mathbf p (-t)

• 
  R(n^,θ)displaystyle R(hat mathbf n ,theta )是旋轉矩陣，n^displaystyle hat mathbf n 是旋轉軸向量，θdisplaystyle theta 是旋轉角弧。

生成元概念

對於一個微小的平移變換，猜測平移算符的形式為

Tϵ≈I+ϵAdisplaystyle T_epsilon approx I+epsilon A；

其中，Idisplaystyle I是「單位算符」──變換群的單位元，ϵdisplaystyle epsilon 是微小參數，Adisplaystyle A是專門用來設定平移變換群的生成元。

為了簡化論述，只考慮一維案例，推導平移於一維空間的生成元。將平移算符Tϵdisplaystyle T_epsilon 作用於函數f(x)displaystyle f(x)：

Tϵf(x)=f(x−ϵ)displaystyle T_epsilon f(x)=f(x-epsilon )。

由於ϵdisplaystyle epsilon 很微小，可以泰勒近似f(x−ϵ)displaystyle f(x-epsilon )為

Tϵf(x)=f(x−ϵ)≈f(x)−ϵf′(x)displaystyle T_epsilon f(x)=f(x-epsilon )approx f(x)-epsilon f'(x)。

重寫平移算符的方程式為

Tϵf(x)=(I−ϵD)f(x)displaystyle T_epsilon f(x)=(I-epsilon mathrm D )f(x)；

其中，導數算符D=ddxdisplaystyle mathrm D =frac mathrm d mathrm d x是平移群的生成元。

總結，平移群的生成元是導數算符。

指數映射

在正常狀況下，通過指數映射，可以從生成元得到整個群。對於平移於空間這案例，重複地做Ndisplaystyle N次微小平移變換Ta/Ndisplaystyle T_a/N，來代替一個有限值為adisplaystyle a的平移變換Tadisplaystyle T_a ：

Taf(x)=Ta/N⋯Ta/N f(x)displaystyle T_af(x)=T_a/Ncdots T_a/N f(x)。

現在，讓Ndisplaystyle N變得無窮大，則因子a/Ndisplaystyle a/N趨於無窮小：

Taf(x)=limN→∞Ta/N⋯Ta/Nf(x)=limN→∞(I−(a/N)D)Nf(x)displaystyle T_af(x)=lim _Nto infty T_a/Ncdots T_a/Nf(x)=lim _Nto infty (I-(a/N)mathrm D )^Nf(x)。

這表達式的極限為指數函數：

Taf(x)=e−aDf(x)displaystyle T_af(x)=e^-amathrm D f(x)。

核對這結果的正確性，將指數函數泰勒展開為冪級數：

Taf(x)=(I−aD+a2D22!−a3D33!+⋯)f(x)displaystyle T_af(x)=left(I-amathrm D +a^2mathrm D ^2 over 2!-a^3mathrm D ^3 over 3!+cdots right)f(x)。

這方程式的右手邊可以重寫為

f(x)−af′(x)+a22!f″(x)−a33!f‴(x)+⋯displaystyle f(x)-af'(x)+a^2 over 2!f''(x)-a^3 over 3!f'''(x)+cdots 。

這正是f(x−a)displaystyle f(x-a)的泰勒級數，也是Taf(x)displaystyle T_af(x)的原本表達式結果。

物理算符的數學性質是很重要的研讀論題。更多相關內容，請參閱條目C*-代数與蓋爾范德-奈馬克定理（Gelfand-Naimark theorem）。

量子力學

在量子力學裏，算符的功能被發揮得淋漓盡致。量子力學的數學表述建立於算符的概念。量子系統的量子態可以用態向量設定，態向量是向量空間的單位範數向量。在向量空間內，量子算符作用於量子態，使它變換成另一個量子態。由於物體的態向量範數應該保持不變，量子算符必須是么正算符^{[來源請求]}。假若變換前的量子態與變換後的量子態，除了乘法數值以外，兩個量子態相同，則稱此量子態為本徵態，稱此乘法數值為本徵值。^[1]:11-12

物理實驗中可以觀測到的物理量稱為可觀察量。每一個可觀察量，都有其對應的算符。可觀察量的算符也許會有很多本徵值與本徵態。根據統計詮釋，每一次測量的結果只能是其中的一個本徵值，而且，測得這本徵值的機會呈機率性，量子系統的量子態也會改變為對應於本徵值的本徵態。^[2]:106-109

量子算符

假設，物理量Odisplaystyle O是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符O^displaystyle hat O可能有很多不同的本徵值Oidisplaystyle O_i與對應的本徵態|ei⟩displaystyle ，這些本徵態|ei⟩,i=1, 2, 3, ⋯displaystyle ，形成了具有正交歸一性的基底：^[2]:96-99

⟨ei|ej⟩=δije_jrangle =delta _ij；

其中，δijdisplaystyle delta _ij是克羅內克函數。

假設，某量子系統的量子態為

|ψ⟩=∑i ci|ei⟩displaystyle ；

其中，ci=⟨ei|ψ⟩displaystyle c_i=langle e_i是複係數，是在|ei⟩displaystyle 裏找到|ψ⟩psi rangle 的機率幅。^[1]:50

測量這動作將量子態|ψ⟩psi rangle 改變為本徵態|ei⟩displaystyle 的機率為pi=|ci|2displaystyle p_i=，測量結果是本徵值Oidisplaystyle O_i的機率也為pidisplaystyle p_i。

期望值

在量子力學裏，重複地做同樣實驗，通常會得到不同的測量結果，期望值是理論平均值，可以用來預測測量結果的統計平均值。

採用狄拉克標記，對於量子系統的量子態|ψ⟩psi rangle ，可觀察量Odisplaystyle O的期望值⟨O⟩displaystyle langle Orangle 定義為^[1]:24-25

⟨O⟩ =def ⟨ψ|O^|ψ⟩psi rangle ；

其中，O^displaystyle hat O是對應於可觀察量Odisplaystyle O的算符。

將算符O^displaystyle hat O作用於量子態|ψ⟩psi rangle ，會形成新量子態|ϕ⟩displaystyle ：

|ϕ⟩=O^|ψ⟩=∑i ciO^|ei⟩=∑i ciOi|ei⟩displaystyle 。

從左邊乘以量子態⟨ψ|，經過一番運算，可以得到

⟨ψ|ϕ⟩=⟨ψ|O^|ψ⟩=∑i ciOi⟨ψ|ei⟩=∑i |ci|2Oi=∑i piOi^2O_i=sum _i p_iO_i。

所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和，就是可觀察量Odisplaystyle O的期望值：

⟨O⟩=∑i piOidisplaystyle langle Orangle =sum _i p_iO_i。

將上述定義式加以推廣，就可以用來計算任意函數F(O)displaystyle F(O)的期望值：

⟨F(O)⟩=⟨ψ|F(O^)|ψ⟩F(hat O)。

例如，F(O^)displaystyle F(hat O)可以是O^2displaystyle hat O^2，即重複施加算符O^displaystyle hat O兩次：

⟨O2⟩=⟨ψ|O^2|ψ⟩displaystyle langle O^2rangle =langle psi vert hat O^2vert psi rangle 。

對易算符

假設兩種可觀察量Adisplaystyle A、Bdisplaystyle B的算符分別為A^displaystyle hat A、B^displaystyle hat B，它們的對易算符定義為

[A^,B^] =def A^B^−B^A^displaystyle [hat A,hat B] stackrel def= hat Ahat B-hat Bhat A。

對易算符是由兩種算符組合而成的複合算符，當作用於量子態|ψ⟩psi rangle 時，會給出

[A^,B^]|ψ⟩=A^B^|ψ⟩−B^A^|ψ⟩psi rangle 。

假設[A^,B^]=0displaystyle [hat A,hat B]=0，則稱這兩種可觀察量為「相容可觀察量」，否則，[A^,B^]≠0displaystyle [hat A,hat B]neq 0，稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」。

假設兩種可觀察量為不相容可觀察量，則由於不確定原理，絕無法製備出這兩種可觀察量在任意精確度內的量子系統。注意到這是一個關於製備方面的問題，不是一個關於測量方面的問題。假若精心設計測量實驗，裝備足夠優良的測量儀器，則對於某些量子系統，測量這兩種可觀察量至任意精確度是很容易達成的任務。^[3]

厄米算符

每一種經過測量而得到的物理量都是實值，因此，可觀察量Odisplaystyle O的期望值是實值：

⟨O⟩=⟨O⟩∗displaystyle langle Orangle =langle Orangle ^*。

對於任意量子態|ψ⟩psi rangle ，這關係都成立：

⟨ψ|O^|ψ⟩=⟨ψ|O^|ψ⟩∗hat O。

根據伴隨算符的定義，假設O^†displaystyle hat O^dagger 是O^displaystyle hat O的伴隨算符，則⟨ψ|O^|ψ⟩∗=⟨ψ|O^†|ψ⟩psi rangle 。因此，

O^=O^†displaystyle hat O=hat O^dagger 。

這正是厄米算符的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。^[2]:96-99

矩陣力學

應用基底的完備性，添加單位算符I^=∑i|ei⟩⟨ei|於算符O^displaystyle hat O的兩旁，可以得到^[1]:20-23

O^=∑i,j|ei⟩⟨ei|O^|ej⟩⟨ej|=∑ijOi,j|ei⟩⟨ej|hat O；

其中，Oij=⟨ei|O^|ej⟩hat O是求和式內每一個項目的係數。

所以，量子算符可以用矩陣形式來代表：

O^ =rep (O11O12⋯O1nO21O22⋯O2n⋮⋮⋱⋮On1On2⋯Onn)displaystyle hat O stackrel rep= beginpmatrixO_11&O_12&cdots &O_1n\O_21&O_22&cdots &O_2n\vdots &vdots &ddots &vdots \O_n1&O_n2&cdots &O_nn\endpmatrix 。

算符O^displaystyle hat O與它的伴隨算符O^†displaystyle hat O^dagger 彼此之間的關係為

⟨ei|O^|ej⟩=⟨ej|O^†|ei⟩∗e_irangle ^*。

所以，分別代表這兩個算符的兩個矩陣，彼此是對方的轉置共軛。對於厄米算符，代表的矩陣是個實值的對稱矩陣。

用矩陣代數來計算算符O^displaystyle hat O怎樣作用於量子態|ψ⟩psi rangle ，假設系統因此變換為量子態|ϕ⟩displaystyle ：

|ϕ⟩=O^|ψ⟩psi rangle 。

從左邊乘以本徵態⟨ei|，應用基底的完備性，添加單位算符I^displaystyle hat I於算符的右邊，可以得到

⟨ei|ϕ⟩=⟨ei|O^|ψ⟩=∑j⟨ei|O^|ej⟩⟨ej|ψ⟩=∑ijOij⟨ej|ψ⟩e_jrangle langle e_j。

右矢|ϕ⟩displaystyle 、|ψ⟩psi rangle 分別用豎矩陣來代表

|ϕ⟩ =rep (⟨e1|ϕ⟩⟨e2|ϕ⟩⋮⟨en|ϕ⟩)displaystyle 、　　　　|ψ⟩ =rep (⟨e1|ψ⟩⟨e2|ψ⟩⋮⟨en|ψ⟩)displaystyle 。

兩個豎矩陣彼此之間的關係為

(⟨e1|ϕ⟩⟨e2|ϕ⟩⋮⟨en|ϕ⟩)=(O11O12⋯O1nO21O22⋯O2n⋮⋮⋱⋮On1On2⋯Onn)(⟨e1|ψ⟩⟨e2|ψ⟩⋮⟨en|ψ⟩)displaystyle beginpmatrixlangle e_1=beginpmatrixO_11&O_12&cdots &O_1n\O_21&O_22&cdots &O_2n\vdots &vdots &ddots &vdots \O_n1&O_n2&cdots &O_nn\endpmatrixpsi rangle \endpmatrix 。

假設算符O^displaystyle hat O是厄米算符，則其所有本徵態都相互正交。^[4]以矩陣來代表算符，可以計算出一組本徵值與對應的本徵態，每一次做測量會得到的結果只能是這一組本徵值中之一。由於本徵態的正交性質，可以找到一組基底來表示每一種量子態。解析方塊矩陣的特徵多項式，就可以找到本徵值λdisplaystyle lambda ：

det(O^−λI^)=0displaystyle det left(hat O-lambda hat Iright)=0。

量子算符表格

在這表格裏，算符的表現空間是位置空間。假若表現空間是其它種空間，則表示出的方程式會不一樣。在英文字母上方的尖角號表示整個符號代表的是個量子算符，不是單位向量。

算符名稱	直角坐標系分量表示	向量表示
位置算符	x^=xy^=yz^=zdisplaystyle beginalignedhat x=x\hat y=y\hat z=zendaligned	r^=rdisplaystyle mathbf hat r =mathbf r
動量算符	一般狀況 p^x=−iℏ∂∂xp^y=−iℏ∂∂yp^z=−iℏ∂∂zdisplaystyle beginalignedhat p_x&=-ihbar frac partial partial x\hat p_y&=-ihbar frac partial partial y\hat p_z&=-ihbar frac partial partial zendaligned	一般狀況 p^=−iℏ∇displaystyle mathbf hat p =-ihbar nabla
	電磁場 p^x=−iℏ∂∂x−qAxp^y=−iℏ∂∂y−qAyp^z=−iℏ∂∂z−qAzdisplaystyle beginalignedhat p_x=-ihbar frac partial partial x-qA_x\hat p_y=-ihbar frac partial partial y-qA_y\hat p_z=-ihbar frac partial partial z-qA_zendaligned	電磁場（Adisplaystyle mathbf A 是磁向量勢） p^=−iℏ∇−qAdisplaystyle mathbf hat p =-ihbar nabla -qmathbf A
動能算符	平移運動 T^x=−ℏ22m∂2∂x2T^y=−ℏ22m∂2∂y2T^z=−ℏ22m∂2∂z2displaystyle beginalignedhat T_x&=-frac hbar ^22mfrac partial ^2partial x^2\hat T_y&=-frac hbar ^22mfrac partial ^2partial y^2\hat T_z&=-frac hbar ^22mfrac partial ^2partial z^2\endaligned	平移運動 T^=T^x+T^y+T^z=−ℏ22m∇2displaystyle beginalignedhat T&=hat T_x+hat T_y+hat T_z\&=frac -hbar ^22mnabla ^2\endaligned
	電磁場 T^x=12m(−iℏ∂∂x−qAx)2T^y=12m(−iℏ∂∂y−qAy)2T^z=12m(−iℏ∂∂z−qAz)2displaystyle beginalignedhat T_x&=frac 12mleft(-ihbar frac partial partial x-qA_xright)^2\hat T_y&=frac 12mleft(-ihbar frac partial partial y-qA_yright)^2\hat T_z&=frac 12mleft(-ihbar frac partial partial z-qA_zright)^2endaligned	電磁場（Adisplaystyle mathbf A 是磁向量勢） T^=p^⋅p^2m=12m(−iℏ∇−qA)⋅(−iℏ∇−qA)=12m(−iℏ∇−qA)2displaystyle beginalignedhat T&=frac mathbf hat p cdot mathbf hat p 2m\&=frac 12m(-ihbar nabla -qmathbf A )cdot (-ihbar nabla -qmathbf A )\&=frac 12m(-ihbar nabla -qmathbf A )^2endaligned
	旋轉運動（Idisplaystyle I是轉動慣量） T^xx=J^x22IxxT^yy=J^y22IyyT^zz=J^z22Izzdisplaystyle beginalignedhat T_xx&=frac hat J_x^22I_xx\hat T_yy&=frac hat J_y^22I_yy\hat T_zz&=frac hat J_z^22I_zz\endaligned	旋轉運動 T^=J^⋅J^2Idisplaystyle hat T=frac mathbf hat J cdot mathbf hat J 2I
勢能算符	N/A	V^=V(r,t)displaystyle hat V=Vleft(mathbf r ,tright)
總能量算符	N/A	含時位勢： E^=iℏ∂∂tdisplaystyle hat E=ihbar frac partial partial t 不含時位勢： E^=Edisplaystyle hat E=E
哈密頓算符	N/A	H^=T^+V^=p^⋅p^2m+V=p^22m+Vdisplaystyle beginalignedhat H&=hat T+hat V\&=frac mathbf hat p cdot mathbf hat p 2m+V\&=frac hat p^22m+V\endaligned
角動量算符	L^x=−iℏ(y∂∂z−z∂∂y)L^y=−iℏ(z∂∂x−x∂∂z)L^z=−iℏ(x∂∂y−y∂∂x)displaystyle beginalignedhat L_x&=-ihbar left(ypartial over partial z-zpartial over partial yright)\hat L_y&=-ihbar left(zpartial over partial x-xpartial over partial zright)\hat L_z&=-ihbar left(xpartial over partial y-ypartial over partial xright)endaligned	L^=−iℏr×∇displaystyle mathbf hat L =-ihbar mathbf r times nabla
自旋算符	S^x=ℏ2σxS^y=ℏ2σyS^z=ℏ2σzdisplaystyle beginalignedhat S_x=hbar over 2sigma _x\hat S_y=hbar over 2sigma _y\hat S_z=hbar over 2sigma _zendaligned 其中， σx=(0110)displaystyle sigma _x=beginpmatrix0&1\1&0endpmatrix σy=(0−ii0)displaystyle sigma _y=beginpmatrix0&-i\i&0endpmatrix σz=(100−1)displaystyle sigma _z=beginpmatrix1&0\0&-1endpmatrix 是自旋1/2粒子的包立矩陣。	S^=ℏ2σdisplaystyle mathbf hat S =hbar over 2boldsymbol sigma 其中，向量σdisplaystyle boldsymbol sigma 的分量是包立矩陣。
總角動量算符	J^x=L^x+S^xJ^y=L^y+S^yJ^z=L^z+S^zdisplaystyle beginalignedhat J_x&=hat L_x+hat S_x\hat J_y&=hat L_y+hat S_y\hat J_z&=hat L_z+hat S_zendaligned	J^=L^+S^=−iℏr×∇+ℏ2σdisplaystyle beginalignedmathbf hat J &=mathbf hat L +mathbf hat S \&=-ihbar mathbf r times nabla +frac hbar 2boldsymbol sigma endaligned
躍遷矩（電） （transition moment）	d^x=qxd^y=qyd^z=qzdisplaystyle beginalignedhat d_x&=qx\hat d_y&=qy\hat d_z&=qzendaligned	d^=qrdisplaystyle mathbf hat d =qmathbf r

範例

位置算符

只思考一維問題，將位置算符x^displaystyle hat x施加於位置本徵態|x⟩xrangle ，可以得到本徵值xdisplaystyle x，即粒子的位置：^[5]:220-221

x^|x⟩=x|x⟩xrangle =x。

由於位置基底具有完整性，I^=∫−∞∞ |x⟩⟨x|dxmathrm d x，任意量子態|ψ⟩psi rangle 可以按著位置本徵態形成的基底展開：

|ψ⟩=∫−∞∞ |x⟩⟨x|ψ⟩dxdisplaystyle 。

將位置算符x^displaystyle hat x施加於量子態|ψ⟩psi rangle ，由於算符x^displaystyle hat x只作用於右矢|x⟩xrangle ，與其它數學個體無關，可以移入積分式內：

x^|ψ⟩=x^∫−∞∞ |x⟩⟨x|ψ⟩dx=∫−∞∞ x^|x⟩⟨x|ψ⟩dx=∫−∞∞ x|x⟩⟨x|ψ⟩dxxrangle langle x。

左矢⟨ψ|與這方程式的內積為

⟨ψ|x^|ψ⟩=∫−∞∞ x⟨ψ|x⟩⟨x|ψ⟩dxdisplaystyle langle psi 。

設定量子態|α⟩=x^|ψ⟩psi rangle 。由於位置基底具有完整性，I^=∫−∞∞ |x⟩⟨x|dxmathrm d x，量子態⟨ψ|與|α⟩alpha rangle 的內積，可以按著位置本徵態形成的基底展開為

⟨ψ|α⟩=∫−∞∞ ⟨ψ|x⟩⟨x|α⟩dx=∫−∞∞ ⟨ψ|x⟩⟨x|x^|ψ⟩dxdisplaystyle langle psi 。

將這兩個積分式加以比較，立刻可以辨識出全等式

⟨x|x^|ψ⟩=x⟨x|ψ⟩hat x。

設定量子態|Ψ⟩=x^|ψ⟩psi rangle 。量子態|Ψ⟩displaystyle 、|ψ⟩psi rangle 的位置空間表現，即波函數，分別定義為

Ψ(x) =def ⟨x|Ψ⟩displaystyle Psi (x) stackrel def= langle x、

ψ(x) =def ⟨x|ψ⟩psi rangle 。

兩個波函數Ψ(x)displaystyle Psi (x)、ψ(x)displaystyle psi (x)之間的關係為

Ψ(x)=xψ(x)displaystyle Psi (x)=xpsi (x)。

總結，位置算符x^displaystyle hat x作用於量子態|ψ⟩psi rangle 的結果|Ψ⟩displaystyle ，表現於位置空間，等價於波函數ψ(x)displaystyle psi (x)與xdisplaystyle x的乘積Ψ(x)displaystyle Psi (x)。

動量算符

表現於位置空間，一維動量算符為

p^=−iℏ∂∂xdisplaystyle hat p=-ihbar frac partial partial x。

將動量算符p^displaystyle hat p施加於量子態|ψ⟩psi rangle ，可以得到類似前一節得到的結果：

⟨x|p^|ψ⟩=−iℏ∂∂x⟨x|ψ⟩psi rangle =-ihbar frac partial partial xlangle x。

應用位置基底所具有的完整性，對於任意量子態|ϕ⟩displaystyle ，可以得到更廣義的結果：

⟨ϕ|p^|ψ⟩=∫−∞∞ ⟨ϕ|x⟩⟨x|p^|ψ⟩dx=∫−∞∞ ⟨ϕ|x⟩(−iℏ∂∂x)⟨x|ψ⟩dx=∫−∞∞ ϕ∗(x)(−iℏ∂∂x)ψ(x)dxdisplaystyle psi rangle mathrm d x\&=int _-infty ^infty phi ^*(x)left(-ihbar frac partial partial xright)psi (x)mathrm d x\endaligned ；

其中，ϕ(x)=⟨x|ϕ⟩displaystyle phi (x)=langle x、ψ(x)=⟨x|ψ⟩displaystyle psi (x)=langle x分別是量子態|ϕ⟩displaystyle 、|ψ⟩psi rangle 表現於位置空間的波函數。

假設|ψ⟩psi rangle 是p^displaystyle hat p的本徵態，本徵值為pdisplaystyle p，則可得到

⟨x|p^|ψ⟩=p⟨x|ψ⟩=−iℏ∂∂x⟨x|ψ⟩psi rangle =-ihbar frac partial partial xlangle x。

將|ψ⟩psi rangle 改寫為本徵值為pdisplaystyle p的本徵態|p⟩displaystyle ，方程式改寫為

−iℏ∂∂x⟨x|p⟩=p⟨x|p⟩prangle 。

這微分方程式的解析解為

⟨x|p⟩=12πeipx/ℏdisplaystyle langle x。

所以，動量本徵態的波函數是一個平面波。不需要應用薛丁格方程式，就可以推導求得這出結果。^[1]:50-54

參閱

• 有界算符


• 表示論


• 算子

參考文獻