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不可數集是無窮集合中的一種。一個無窮集合和自然数之間要是不存在一個双射，那麼它就是一個不可數集。集合的不可数性与它的基数密切相关：如果一个集合的基数大于自然数的基数，那么它就是不可数的。

定義

不可数集有许多等价的定義。一个集合Xdisplaystyle X是不可数集，当且仅当以下任何一个条件成立：

• 不存在从Xdisplaystyle X到自然数集合的单射函数。


• 
  Xdisplaystyle X的基数既不是有限的，又不等于ℵ0displaystyle aleph _0（阿列夫-0，自然数集合的基数）。


• 
  Xdisplaystyle X的基数严格大于ℵ0displaystyle aleph _0。

性质

• 如果不可数集Xdisplaystyle X是集合Ydisplaystyle Y的子集，则Ydisplaystyle Y是不可数集。

例子

不可数集的最广为人知的例子，是所有实数的集合Rdisplaystyle mathbb R ；对角论证法证明了这个集合是不可数的。对角论证法也可以用来证明一些其它的集合是不可数的，例如所有自然数的无穷序列的集合（甚至是所有只由0和1所组成的无穷序列的集合），以及自然数集合的所有子集所组成的集合。Rdisplaystyle mathbb R 的基数通常记为cdisplaystyle c、2ℵ0displaystyle 2^aleph _0，或ℶ1displaystyle beth _1。

康托尔集是Rdisplaystyle mathbb R 的一个不可数子集。它是一个分形，其豪斯多夫维大于零，但小于一（Rdisplaystyle mathbb R 的维数是一）。这是以下事实的一个例子：如果Rdisplaystyle mathbb R 的某個子集有严格大于零的豪斯多夫维，那麼它一定是不可数的。

另外一个不可数集的例子，是所有从Rdisplaystyle mathbb R 到Rdisplaystyle mathbb R 的函数的集合。这个集合比Rdisplaystyle mathbb R 更“不可数”，因为它的基数是ℶ2displaystyle beth _2，它比ℶ1displaystyle beth _1还要大。

一个更加抽象的例子，是所有可数序数的集合，记为Ωdisplaystyle Omega 或ω1displaystyle omega _1。Ωdisplaystyle Omega 的基数记为ℵ1displaystyle aleph _1。利用选择公理，可以证明ℵ1displaystyle aleph _1是最小的不可数基数。于是，实数的基数ℶ1displaystyle beth _1，要么等于ℵ1displaystyle aleph _1，要么严格比它大。康托尔是第一个提出ℶ1displaystyle beth _1是否等于ℵ1displaystyle aleph _1的问题的人。在1900年，希尔伯特把这个问题作为他的23个问题之一。ℵ1=ℶ1displaystyle aleph _1=beth _1的陈述现在称为连续统假设，現已知道它獨立于集合论的ZF公理（包括选择公理）。

参见

• 可数集


• 阿列夫数


• 自然数


• 单射函数

参考文献

• 
  Halmos, Paul，Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).


• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.

外部链接

• 证明R是不可数集

查 论 编 集合论 公理 选择 可数 相关（英语：Axiom of dependent choice） 外延 无穷 配对 幂集 正则性 并集 马丁公理（英语：Martin's axiom） 公理模式 替代 分类 运算 笛卡儿积 德摩根定律 交集 冪集 补集 对称差 并集 概念 方法 势 基数（大基数） 类 可构造全集（英语：Constructible universe） 连续统假设 對角論證法 元素 有序对 多元组 集合族 力迫 一一对应 序数 超限归纳法 文氏图 集合类型 可數集 空集 有限集合（继承有限集合） 模糊集 无限集合 递归集合 子集 传递集合 不可數集 泛集（英语：Universal set） 理论 可替代的集合论 集合论 朴素集合论 康托尔定理 策梅洛 广义（英语：General set theory） 数学原理 新基础 策梅洛-弗兰克 冯诺伊曼-博内斯-哥德尔 Morse–Kelley（英语：Morse–Kelley set theory） 克里普克–普拉特克（英语：Kripke–Platek set theory） 塔斯基–格罗滕迪克（英语：Tarski–Grothendieck set theory） 悖论（英语：Paradoxes of set theory） 问题 罗素悖论 萨斯林问题（英语：Suslin's problem） ZFC系統無法確定的命題列表 集合論者 亚伯拉罕·弗兰克尔（英语：Abraham Fraenkel） 伯特兰·罗素 恩斯特·策梅洛 格奥尔格·康托尔 约翰·冯·诺伊曼 库尔特·哥德尔 盧菲特·澤德 保尔·贝尔奈斯（英语：Paul Bernays） 保罗·寇恩 理查德·戴德金 托马斯·耶赫（英语：Thomas Jech） 威拉德·蒯因