理想 (环论)
理想(Ideal)是一个群论中的概念。
若某环之一子集与原先的加法自成一群,且该子环内所有元素与原环之元素相乘的结果均在其内,则称其为原环的理想。
通俗地说,一环的理想在加法上成群且在乘法上表现如同一个黑洞。
目录
1 定义
1.1 示例
1.2 一些结论
2 生成理想
3 主理想
4 相关概念和结论
5 参考文献
6 参见
定义
环(R,+,·),已知(R, +)是阿贝尔群。R的子集I称为R的一个右理想,若I满足:
- (I, +)构成(R, +)的子群。
- ∀i ∈ I,r ∈ R,i·r ∈ I。
类似地,I称为R的左理想,若以下条件成立:
- (I, +)构成(R, +)的子群。
- ∀i ∈ I,r ∈ R,r·i ∈ I。
若I既是R的右理想,也是R的左理想,则称I为R的双边理想,简称R上的理想。
示例
- 整数环的理想:整数环Z只有形如nZ的理想。
一些结论
- 在环中,(左或右)理想的交和并仍然是(左或右)理想。
- 对于R的两个理想A,B,记AB=∑k=0nakbkdisplaystyle AB=leftsum _k=0^na_kb_k。按定义不难证明:
- 如果A是R的左理想,则AB是R的左理想。
- 如果B是R的右理想,则AB是R的右理想。
- 如果A是R的左理想,B是R的右理想,则AB是R的双边理想。
- R的子集I是R的理想,若I满足:
- ∀a,b ∈ I,a - b∈I。
- ∀a ∈ I, r ∈ R,则a·r∈ I。
- 交换环的理想:交换环的理想都是双边理想。
- 除环的理想:除环中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想。
生成理想
如果 Adisplaystyle A 是环 Rdisplaystyle R 的一个非空子集,令 ⟨A⟩=RA+AR+RAR+ZAdisplaystyle leftlangle Arightrangle =RA+AR+RAR+mathbb Z A, 其中
ZA=∑i=1nmiai:mi∈Z,ai∈A,n≥1;displaystyle mathbb Z A=leftsum _i=1^nm_ia_i:m_iin mathbb Z ,,a_iin A,,ngeq 1right;
RA=∑i=1nriai:ri∈R,ai∈A,n≥1;displaystyle RA=leftsum _i=1^nr_ia_i:r_iin R,,a_iin A,,ngeq 1right;
AR=∑i=1nairi:ri∈R,ai∈A,n≥1;displaystyle AR=leftsum _i=1^na_ir_i:r_iin R,,a_iin A,,ngeq 1right;
RAR=∑i=1nriairi′:ri,ri′∈R,ai∈A,n≥1,displaystyle RAR=leftsum _i=1^nr_ia_ir_i':r_i,r_i'in R,,a_iin A,,ngeq 1right,
则 ⟨A⟩displaystyle leftlangle Arightrangle 是环 Rdisplaystyle R 的理想,这个理想称为 Rdisplaystyle R 中由 Adisplaystyle A 生成的理想,Adisplaystyle A 称为生成元集。同群的生成子群类似,⟨A⟩displaystyle leftlangle Arightrangle 是 Rdisplaystyle R 中所有包含 Adisplaystyle A 的理想的交,因此是 Rdisplaystyle R 中包含 Adisplaystyle A 的最小理想。下面是生成理想的几种特殊情况:
- 当 Rdisplaystyle R 是交换环时,⟨A⟩=RA+ZAdisplaystyle leftlangle Arightrangle =RA+mathbb Z A;
- 当 Rdisplaystyle R 是有单位元1displaystyle 1的环时,⟨A⟩=RARdisplaystyle leftlangle Arightrangle =RAR;
- 当 Rdisplaystyle R 是有单位元的交换环时,⟨A⟩=RAdisplaystyle leftlangle Arightrangle =RA.
主理想
设集合A = a1,a2,...,an,则记<A> = <a1,a2,...,an>,称⟨A⟩displaystyle leftlangle Arightrangle 是有限生成理想。特别当A=adisplaystyle A=leftaright是单元素集时,称⟨A⟩=⟨a⟩displaystyle leftlangle Arightrangle =leftlangle arightrangle 为环R的主理想。注意adisplaystyle leftaright作为生成元一般不是唯一的,如⟨a⟩=⟨−a⟩displaystyle leftlangle arightrangle =leftlangle -arightrangle 。⟨a⟩displaystyle leftlangle arightrangle 的一般形式是:
⟨a⟩=xk,yk,s,t∈R,n,m∈Zdisplaystyle leftlangle arightrangle =leftsum _k=1^mx_kay_k+sa+at+na- 性质:⟨A⟩=∑a∈A⟨a⟩displaystyle leftlangle Arightrangle =sum _ain Aleftlangle arightrangle
- 性质:⟨A⟩=∑a∈A⟨a⟩displaystyle leftlangle Arightrangle =sum _ain Aleftlangle arightrangle
- 几类特殊环中的主理想:
- 如果是交换环,则⟨a⟩=sa+nadisplaystyle leftlangle arightrangle =leftsin R,nin Zright
- 如果是有单位元的环,则⟨a⟩=xk,yk∈R,m∈Z,m>0displaystyle leftlangle arightrangle =leftx_k,y_kin R,min Z,m>0right
- 如果是有单位元的交换环,则⟨a⟩=s∈Rdisplaystyle leftlangle arightrangle =leftsin Rright
相关概念和结论
真理想:若I是环R的理想,且I是R的真子集,I称为R的真理想。
极大理想:环R的一个真理想I被称为R的极大理想,若不存在其他真理想J,使得I是J的真子集。
极大左理想:设I是环R的左理想,若I ≠ R并且在I与R之间不存在真的左理想,则称I是环R的一个极大左理想。极大左理想与极大理想之间有如下关系:- 如果I是极大左理想,又是双边理想,则I是极大理想。
- 极大理想未必是极大左理想。
单环:在幺环中,若零理想是其极大理想,称该环为单环。- 除环是单环,其零理想是极大理想。
- 域是单环。
- 在整数环Z中,由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是:p是素数。
- 设R是有单位元1的交换环。理想I是R的极大理想的充分且必要条件是:商环R / I是域。
- 设I是环R的左理想,则I是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在I中的左理想J都有I+J=R。
素理想:环R的真理想I被称为素理想,若∀R上的理想A,B,有AB ⊆ I ⇒ A ⊆ I或B ⊆ I。
素环:若环R的零理想是素理想,则称R是素环(或质环)。- 无零因子环是素环。
- 在交换环R中,真理想I是素理想的充要条件是:R / I是素环。
准素理想:环R的真理想I。若∀R上的理想P,有P2 ⊆ I ⇒ P ⊆ I,称I是R的准素理想。- 准素理想是一类比素理想相对较弱的理想。素理想是准素理想,反之不成立。
参考文献
参见
- 理想 (序理论)
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