理想 (环论)

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理想(Ideal)是一个群论中的概念。
若某环之一子集与原先的加法自成一群,且该子环内所有元素与原环之元素相乘的结果均在其内,则称其为原环的理想
通俗地说,一环的理想在加法上成群且在乘法上表现如同一个黑洞。




目录





  • 1 定义

    • 1.1 示例


    • 1.2 一些结论



  • 2 生成理想


  • 3 主理想


  • 4 相关概念和结论


  • 5 参考文献


  • 6 参见




定义


环(R,+,·),已知(R, +)是阿贝尔群。R的子集I称为R的一个右理想,若I满足:


  1. (I, +)构成(R, +)的子群。

  2. ∀i ∈ I,r ∈ R,i·r ∈ I。

类似地,I称为R的左理想,若以下条件成立:


  1. (I, +)构成(R, +)的子群。

  2. ∀i ∈ I,r ∈ R,r·i ∈ I。

若I既是R的右理想,也是R的左理想,则称I为R的双边理想,简称R上的理想



示例


  • 整数环的理想:整数环Z只有形如nZ的理想。


一些结论


  • 在环中,(左或右)理想的交和并仍然是(左或右)理想。
  • 对于R的两个理想A,B,记AB=∑k=0nakbkdisplaystyle AB=leftsum _k=0^na_kb_k AB=left a_k in A,b_k in B right。按定义不难证明:
  1. 如果A是R的左理想,则AB是R的左理想。

  2. 如果B是R的右理想,则AB是R的右理想。

  3. 如果A是R的左理想,B是R的右理想,则AB是R的双边理想。

  • R的子集I是R的理想,若I满足:
  1. ∀a,b ∈ I,a - b∈I。

  2. ∀a ∈ I, r ∈ R,则a·r∈ I。

  • 交换环的理想:交换环的理想都是双边理想。
  • 除环的理想:除环中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想。


生成理想


如果 Adisplaystyle AA 是环 Rdisplaystyle RR 的一个非空子集,令 ⟨A⟩=RA+AR+RAR+ZAdisplaystyle leftlangle Arightrangle =RA+AR+RAR+mathbb Z Adisplaystyle leftlangle Arightrangle =RA+AR+RAR+mathbb Z A, 其中


ZA=∑i=1nmiai:mi∈Z,ai∈A,n≥1;displaystyle mathbb Z A=leftsum _i=1^nm_ia_i:m_iin mathbb Z ,,a_iin A,,ngeq 1right;displaystyle mathbb Z A=leftsum _i=1^nm_ia_i:m_iin mathbb Z ,,a_iin A,,ngeq 1right;


RA=∑i=1nriai:ri∈R,ai∈A,n≥1;displaystyle RA=leftsum _i=1^nr_ia_i:r_iin R,,a_iin A,,ngeq 1right;displaystyle RA=leftsum _i=1^nr_ia_i:r_iin R,,a_iin A,,ngeq 1right;


AR=∑i=1nairi:ri∈R,ai∈A,n≥1;displaystyle AR=leftsum _i=1^na_ir_i:r_iin R,,a_iin A,,ngeq 1right;displaystyle AR=leftsum _i=1^na_ir_i:r_iin R,,a_iin A,,ngeq 1right;


RAR=∑i=1nriairi′:ri,ri′∈R,ai∈A,n≥1,displaystyle RAR=leftsum _i=1^nr_ia_ir_i':r_i,r_i'in R,,a_iin A,,ngeq 1right,displaystyle RAR=leftsum _i=1^nr_ia_ir_i':r_i,r_i'in R,,a_iin A,,ngeq 1right,


⟨A⟩displaystyle leftlangle Arightrangle displaystyle leftlangle Arightrangle 是环 Rdisplaystyle RR 的理想,这个理想称为 Rdisplaystyle RR 中由 Adisplaystyle AA 生成的理想,Adisplaystyle AA 称为生成元集。同群的生成子群类似,⟨A⟩displaystyle leftlangle Arightrangle displaystyle leftlangle Arightrangle Rdisplaystyle RR 中所有包含 Adisplaystyle AA 的理想的交,因此是 Rdisplaystyle RR 中包含 Adisplaystyle AA 的最小理想。下面是生成理想的几种特殊情况:


  1. Rdisplaystyle RR 是交换环时,⟨A⟩=RA+ZAdisplaystyle leftlangle Arightrangle =RA+mathbb Z Adisplaystyle leftlangle Arightrangle =RA+mathbb Z A;

  2. Rdisplaystyle RR 是有单位元1displaystyle 11的环时,⟨A⟩=RARdisplaystyle leftlangle Arightrangle =RARdisplaystyle leftlangle Arightrangle =RAR;

  3. Rdisplaystyle RR 是有单位元的交换环时,⟨A⟩=RAdisplaystyle leftlangle Arightrangle =RAdisplaystyle leftlangle Arightrangle =RA.


主理想


设集合A = a1,a2,...,an,则记<A> = <a1,a2,...,an>,称⟨A⟩displaystyle leftlangle Arightrangle left langle A right rangle 是有限生成理想。特别当A=adisplaystyle A=leftarightA= left aright是单元素集时,称⟨A⟩=⟨a⟩displaystyle leftlangle Arightrangle =leftlangle arightrangle left langle A right rangle =left langle a right rangle 为环R的主理想。注意adisplaystyle leftarightleft aright作为生成元一般不是唯一的,如⟨a⟩=⟨−a⟩displaystyle leftlangle arightrangle =leftlangle -arightrangle left langle a right rangle =left langle -a right rangle ⟨a⟩displaystyle leftlangle arightrangle left langle a right rangle的一般形式是:



⟨a⟩=xk,yk,s,t∈R,n,m∈Zdisplaystyle leftlangle arightrangle =leftsum _k=1^mx_kay_k+sa+at+naleft langle a right rangle =left sum_k=1^m x_kay_k+sa+at+na
  • 性质:⟨A⟩=∑a∈A⟨a⟩displaystyle leftlangle Arightrangle =sum _ain Aleftlangle arightrangle left langle A right rangle =sum_a in A left langle a right rangle
几类特殊环中的主理想:
  1. 如果是交换环,则⟨a⟩=sa+nadisplaystyle leftlangle arightrangle =leftsin R,nin Zrightleft langle a right rangle =leftsa+na

  2. 如果是有单位元的环,则⟨a⟩=xk,yk∈R,m∈Z,m>0displaystyle leftlangle arightrangle =leftx_k,y_kin R,min Z,m>0rightleft langle a right rangle =left x_k,y_k in R, m in Z, m>0 right

  3. 如果是有单位元的交换环,则⟨a⟩=s∈Rdisplaystyle leftlangle arightrangle =leftsin Rrightleft langle a right rangle =leftsa


相关概念和结论



  • 真理想:若I是环R的理想,且I是R的真子集,I称为R的真理想


  • 极大理想:环R的一个真理想I被称为R的极大理想,若不存在其他真理想J,使得I是J的真子集。

    • 极大左理想:设I是环R的左理想,若I ≠ R并且在I与R之间不存在真的左理想,则称I是环R的一个极大左理想。极大左理想与极大理想之间有如下关系:
      1. 如果I是极大左理想,又是双边理想,则I是极大理想。

      2. 极大理想未必是极大左理想。



    • 单环:在幺环中,若零理想是其极大理想,称该环为单环
      • 除环是单环,其零理想是极大理想。

      • 域是单环。


    • 在整数环Z中,由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是:p是素数。

    • 设R是有单位元1的交换环。理想I是R的极大理想的充分且必要条件是:商环R / I是域。

    • 设I是环R的左理想,则I是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在I中的左理想J都有I+J=R。



  • 素理想:环R的真理想I被称为素理想,若∀R上的理想A,B,有AB ⊆ I ⇒ A ⊆ I或B ⊆ I。


  • 素环:若环R的零理想是素理想,则称R是素环(或质环)。
    • 无零因子环是素环。

    • 在交换环R中,真理想I是素理想的充要条件是:R / I是素环。



  • 准素理想:环R的真理想I。若∀R上的理想P,有P2 ⊆ I ⇒ P ⊆ I,称I是R的准素理想
    • 准素理想是一类比素理想相对较弱的理想。素理想是准素理想,反之不成立。


参考文献





参见



  • 理想 (序理论)

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