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理想（Ideal）是一个群论中的概念。
若某环之一子集与原先的加法自成一群，且该子环内所有元素与原环之元素相乘的结果均在其内，则称其为原环的理想。
通俗地说，一环的理想在加法上成群且在乘法上表现如同一个黑洞。

定义

环(R,+,·)，已知(R, +)是阿贝尔群。R的子集I称为R的一个右理想，若I满足：

1. (I, +)构成(R, +)的子群。


2. ∀i ∈ I，r ∈ R，i·r ∈ I。

类似地，I称为R的左理想，若以下条件成立：

1. (I, +)构成(R, +)的子群。


2. ∀i ∈ I，r ∈ R，r·i ∈ I。

若I既是R的右理想，也是R的左理想，则称I为R的双边理想，简称R上的理想。

示例

• 整数环的理想：整数环Z只有形如nZ的理想。

一些结论

• 在环中，（左或右）理想的交和并仍然是（左或右）理想。

• 对于R的两个理想A，B，记AB=∑k=0nakbkdisplaystyle AB=leftsum _k=0^na_kb_k。按定义不难证明：

1. 如果A是R的左理想，则AB是R的左理想。


2. 如果B是R的右理想，则AB是R的右理想。


3. 如果A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。

• R的子集I是R的理想，若I满足：

1. ∀a,b ∈ I，a - b∈I。


2. ∀a ∈ I, r ∈ R，则a·r∈ I。

• 交换环的理想：交换环的理想都是双边理想。

• 除环的理想：除环中的（左或右）理想只有平凡（左或右）理想。

生成理想

如果 Adisplaystyle A 是环 Rdisplaystyle R 的一个非空子集，令 ⟨A⟩=RA+AR+RAR+ZAdisplaystyle leftlangle Arightrangle =RA+AR+RAR+mathbb Z A, 其中

ZA=∑i=1nmiai:mi∈Z,ai∈A,n≥1;displaystyle mathbb Z A=leftsum _i=1^nm_ia_i:m_iin mathbb Z ,,a_iin A,,ngeq 1right;

RA=∑i=1nriai:ri∈R,ai∈A,n≥1;displaystyle RA=leftsum _i=1^nr_ia_i:r_iin R,,a_iin A,,ngeq 1right;

AR=∑i=1nairi:ri∈R,ai∈A,n≥1;displaystyle AR=leftsum _i=1^na_ir_i:r_iin R,,a_iin A,,ngeq 1right;

RAR=∑i=1nriairi′:ri,ri′∈R,ai∈A,n≥1,displaystyle RAR=leftsum _i=1^nr_ia_ir_i':r_i,r_i'in R,,a_iin A,,ngeq 1right,

则 ⟨A⟩displaystyle leftlangle Arightrangle 是环 Rdisplaystyle R 的理想，这个理想称为 Rdisplaystyle R 中由 Adisplaystyle A 生成的理想，Adisplaystyle A 称为生成元集。同群的生成子群类似，⟨A⟩displaystyle leftlangle Arightrangle 是 Rdisplaystyle R 中所有包含 Adisplaystyle A 的理想的交，因此是 Rdisplaystyle R 中包含 Adisplaystyle A 的最小理想。下面是生成理想的几种特殊情况：

1. 当 Rdisplaystyle R 是交换环时，⟨A⟩=RA+ZAdisplaystyle leftlangle Arightrangle =RA+mathbb Z A;


2. 当 Rdisplaystyle R 是有单位元1displaystyle 1的环时，⟨A⟩=RARdisplaystyle leftlangle Arightrangle =RAR;


3. 当 Rdisplaystyle R 是有单位元的交换环时，⟨A⟩=RAdisplaystyle leftlangle Arightrangle =RA.

主理想

设集合A = a₁,a₂,...,a_n，则记<A> = <a₁,a₂,...,a_n>，称⟨A⟩displaystyle leftlangle Arightrangle 是有限生成理想。特别当A=adisplaystyle A=leftaright是单元素集时，称⟨A⟩=⟨a⟩displaystyle leftlangle Arightrangle =leftlangle arightrangle 为环R的主理想。注意adisplaystyle leftaright作为生成元一般不是唯一的，如⟨a⟩=⟨−a⟩displaystyle leftlangle arightrangle =leftlangle -arightrangle 。⟨a⟩displaystyle leftlangle arightrangle 的一般形式是：

⟨a⟩=xk,yk,s,t∈R,n,m∈Zdisplaystyle leftlangle arightrangle =leftsum _k=1^mx_kay_k+sa+at+na

• 性质：⟨A⟩=∑a∈A⟨a⟩displaystyle leftlangle Arightrangle =sum _ain Aleftlangle arightrangle
  

几类特殊环中的主理想：

1. 如果是交换环，则⟨a⟩=sa+nadisplaystyle leftlangle arightrangle =leftsin R,nin Zright
   


2. 如果是有单位元的环，则⟨a⟩=xk,yk∈R,m∈Z,m>0displaystyle leftlangle arightrangle =leftx_k,y_kin R,min Z,m>0right
   


3. 如果是有单位元的交换环，则⟨a⟩=s∈Rdisplaystyle leftlangle arightrangle =leftsin Rright
   

相关概念和结论

• 
  真理想：若I是环R的理想，且I是R的真子集，I称为R的真理想。


• 
  极大理想：环R的一个真理想I被称为R的极大理想，若不存在其他真理想J，使得I是J的真子集。
  
  • 
    极大左理想：设I是环R的左理想，若I ≠ R并且在I与R之间不存在真的左理想，则称I是环R的一个极大左理想。极大左理想与极大理想之间有如下关系：
    
    1. 如果I是极大左理想，又是双边理想，则I是极大理想。
    
    
    2. 极大理想未必是极大左理想。
    
    
  
  
  • 
    单环：在幺环中，若零理想是其极大理想，称该环为单环。
    
    • 除环是单环，其零理想是极大理想。
    
    
    • 域是单环。
    
    
  
  
  • 在整数环Z中，由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数。
  
  
  • 设R是有单位元1的交换环。理想I是R的极大理想的充分且必要条件是：商环R / I是域。
  
  
  • 设I是环R的左理想，则I是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在I中的左理想J都有I+J=R。
  
  

• 
  素理想：环R的真理想I被称为素理想，若∀R上的理想A，B，有AB ⊆ I ⇒ A ⊆ I或B ⊆ I。


• 
  素环：若环R的零理想是素理想，则称R是素环（或质环）。
  
  • 无零因子环是素环。
  
  
  • 在交换环R中，真理想I是素理想的充要条件是：R / I是素环。
  
  


• 
  准素理想：环R的真理想I。若∀R上的理想P，有P² ⊆ I ⇒ P ⊆ I，称I是R的准素理想。
  
  • 准素理想是一类比素理想相对较弱的理想。素理想是准素理想，反之不成立。

参考文献

参见

• 理想 (序理论)