njtynhj

在線性代數中，凱萊–哈密頓定理（英语：Cayley–Hamilton theorem）（以數學家阿瑟·凱萊與威廉·卢云·哈密顿命名）表明每個佈於任何交換環上的實或複方陣都滿足其特徵方程式。

明確地說：設 $A$ 為給定的 $ntimes n$ 矩陣，並設 $I_n$ 為 $ntimes n$ 單位矩陣，則 $A$ 的特徵多項式定義為：

displaystyle p(lambda )=det(lambda I_n-A)

其中 $displaystyle det$ 表行列式函數。凱萊–哈密頓定理斷言：

displaystyle p(A)=O

凱萊–哈密頓定理等價於方陣的特徵多項式會被其極小多項式整除，這在尋找若尔当标准形時特別有用。

例子

舉例明之，考慮下述方陣：

displaystyle A=beginbmatrix1&2\3&4endbmatrix

其特徵多項式為

displaystyle p(lambda )=beginvmatrixlambda -1&-2\-3&lambda -4endvmatrix=(lambda -1)(lambda -4)-2cdot 3=lambda ^2-5lambda -2

此時可以直接驗證凱萊–哈密頓定理：

displaystyle A^2-5A-2I_2=O

此式可以簡化高次冪的運算，關鍵在於下述關係：

displaystyle A^2-5A-2I_2=O

displaystyle A^2=5A+2I_2

例如，為了計算 $displaystyle A^4$ ，可以反覆利用上述關係式：

displaystyle A^3=(5A+2I_2)A=5A^2+2A=5(5A+2I_2)+2A=27A+10I_2

displaystyle A^4=A^3A=(27A+10I_2)A=27A^2+10A=27(5A+2I_2)+10A

displaystyle A^4=145A+54I_2

或是，如果要計算 $A^n$ ，也可以假設：

displaystyle A^n=aA+bI

然後，依照前面的特徵多項式 $displaystyle lambda ^2-5lambda -2$ 之兩解 $displaystyle lambda _1,lambda _2$ ，代入後可以得到

displaystyle lambda _1^n=alambda _1+b

displaystyle lambda _2^n=alambda _2+b

然後解方程後求出 $a,b$ ，便可得 $A^n$ 。

此外，凱萊–哈密頓定理也是計算特徵向量的重要工具。

註：一般而言，若 $ntimes n$ 矩陣 $A$ 可逆（即： $displaystyle det(A)neq 0$ ），則 $A^-1$ 可以寫成 $A$ 的冪次和：特徵多項式有如下形式

displaystyle p(lambda )=lambda ^n-operatorname tr (A)lambda ^n-1+cdots +(-1)^ndet(A)

將方程式 $displaystyle p(A)=0$ 同乘以 $A^-1$ ，便得到

displaystyle A^-1=frac (-1)^n-1det(A)(A^n-1-operatorname tr (A)A^n-2+cdots )

定理證明

以下考慮佈於域 $displaystyle k=mathbb R ,mathbb C$ 上的矩陣。

凱萊–哈密頓定理可以視為線性代數中拉普拉斯展開的推論。拉普拉斯展開可推出若 $S$ 是 $ntimes n$ 矩陣，而 $displaystyle operatorname adj (S)$ 表其伴隨矩陣，則

displaystyle Soperatorname adj (S)=det(S)I_n

取 $displaystyle S=tI_n-A$ ，便得到 $displaystyle (tI_n-A)operatorname adj (tI_n-A)=p_A(t)I_n$ 。此式對所有 $t$ 皆成立，由於實數或複數域有無窮多元素，上式等式在多項式環 $displaystyle k[t]$ 內成立。

設 $displaystyle M:=k^n$ ，矩陣 $A$ 賦予 $M$ 一個 $displaystyle k[t]$ -模結構： $displaystyle f(t)cdot m=f(A)m$ 。考慮 $displaystyle k[t]$ -模 $displaystyle M[t]:=Motimes _kk[t]$ ，我們有 $displaystyle k[t]$ -模之間的「求值態射」：