主理想環

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在數學中,主理想環是使得每個理想均可由單個元素生成的環。


如果一個主理想環同時也是整環,則稱之主理想整環(常簡寫為 PID)。



例子



  • 整數環 Zdisplaystyle mathbb Z mathbb Z 是主理想域,更一般地說,歐幾里德環恆為主理想環。


  • 域上的(单变元)多項式環是主理想環。


  • 高斯整數環 Z[−1]displaystyle mathbb Z [sqrt -1]mathbb Z [sqrt -1] 是主理想環。

  • 艾森斯坦整數環 Z[ω]displaystyle mathbb Z [omega ]mathbb Z [omega ] 是主理想環,其中 ω 為任一非 1displaystyle 11 的三次單位根。

  • Z[5]displaystyle mathbb Z [sqrt 5]mathbb Z [sqrt 5] 非主理想環:可以證明理想 (2,5)displaystyle (2,sqrt 5)(2,sqrt 5) 無法由單個元素生成。

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