njtynhj

在线性代数与泛函分析中，一个线性算子 L 的核（英语：kernel，也称作零空间，英语：null space）是所有使 L(v) = 0 的v的集合。这就是如果 L: V →W，则

ker⁡(L)=v∈V:L(v)=0,displaystyle ker(L)=leftvin V:L(v)=0righttext,

这里 0 表示 W 中的零向量。L 的核是定义域 V 的一个线性子空间。

一个线性算子 R^m → Rⁿ 的核与对应的 n × m 矩阵的零空间相同。

性质

映射L的核与像。

如果 L: V → W，则 V 中两个元素在 W 中有相同的像当且仅当它们的差在 L 的核中：

L(v)=L(w)⇔L(v−w)=0.displaystyle L(v)=L(w);;;;Leftrightarrow ;;;;L(v-w)=0text.

从而 L 的像同构于 V 被这个核的商空间：

im(L)≅V/ker⁡(L).displaystyle textim(L)cong V/ker(L)text.

当 V 是有限维的，这蕴含着秩-零化度定理：

dim⁡(ker⁡L)+dim⁡(imL)=dim⁡(V).displaystyle dim(ker L)+dim(textim,L)=dim(V)text.,

当 V 是一个内积空间是，商 V / ker(L) 可以与 ker(L) 在 V 中的正交补等同。这是一个矩阵的行空间的线性算子的推广。

例子

1. 如果 L: R^m → Rⁿ，则 L 的核是一个齐次线性方程组的解集。例如，如果 L 是算子：

L(x1,x2,x3)=(2x1+5x2−3x3,4x1+2x2+7x3)displaystyle L(x_1,x_2,x_3)=(2x_1+5x_2-3x_3,;4x_1+2x_2+7x_3)

则 L 的核是方程组

2x1+5x2−3x3=04x1+2x2+7x3=0displaystyle beginalignedat72x_1&&;+;&&5x_2&&;-;&&3x_3&&;=;&&0\4x_1&&;+;&&2x_2&&;+;&&7x_3&&;=;&&0endalignedat

的解集。

1. 令 C[0,1] 表示区间 [0,1] 上所有连续实值函数组成的向量空间，定义 L: C[0,1]→ R 为

L(f)=f(0.3).displaystyle L(f)=f(0.3)text.,

则 L 的核由所有使得 f(0.3) =0 的函数 f ∈ C[0,1]。

1. 令 C^∞(R) 是所有无穷可微函数 R → R 的向量空间，并设 D: C^∞(R) → C^∞(R) 是微分算子：

D(f)=dfdx.displaystyle D(f)=frac dfdxtext.

则 D 的核由 C^∞(R) 中所有导数都是零的函数组成，即常值函数。

1. 令 R^∞ 是无穷个 R 的直和，并设 s: R^∞ → R^∞ 为移位算子（英语：Shift operator）
   

s(x1,x2,x3,x4,…)=(x2,x3,x4,…).displaystyle s(x_1,x_2,x_3,x_4,ldots )=(x_2,x_3,x_4,ldots )text.

则 s 的核是由所有向量 (x₁, 0, 0, ...) 组成的一维子空间。注意 s 是映上的，却有非平凡的核。

1. 如果 V 是一个内积空间，W 是一个子空间，正交投影 V → W 的核是 W 在 V 中的正交补。

泛函分析中的核

如果 V 和 W 是拓扑向量空间（且 W 是有限维的），则一个线性算子 L: V → W 是连续的当且仅当 L 的核是 V 的一个闭子空间。

相关条目

• 核 (代数)


• 零空间


• 向量空间


• 线性子空间


• 线性算子


• 函数空间


• 弗雷德霍姆择一性