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在線性代數中，對一個線性自同態（取定基即等價於方陣）可定義其特徵多項式，此多項式包含該自同態的一些重要性質，例如行列式、跡數及特徵值。

定義

設 kdisplaystyle k 為域（例如實數或複數域），對佈於 kdisplaystyle k 上的 n×ndisplaystyle ntimes n 矩陣 Adisplaystyle A，定義其特徵多項式為

pA(t):=det(tIn−A)∈k[t]displaystyle p_A(t):=det(tI_n-A)in k[t]

這是一個 ndisplaystyle n 次多項式，其首項係數為一。

一般而言，對佈於任何交換環上的方陣都能定義特徵多項式。

性質

當 Adisplaystyle A 為上三角矩陣（或下三角矩陣）時，pA(t)=∏i=1n(t−λi)displaystyle p_A(t)=prod _i=1^n(t-lambda _i)，其中 λ1,…,λndisplaystyle lambda _1,ldots ,lambda _n 是主對角線上的元素。

對於二階方陣，特徵多項式能表為 pA(t)=t2−tr(A)t+det(A)displaystyle p_A(t)=t^2-mathrm tr (A)t+det(A)。一般而言，若 pA(t)=tn+an−1tn−1+…+a0displaystyle p_A(t)=t^n+a_n-1t^n-1+ldots +a_0，則 a0=(−1)ndet(A)displaystyle a_0=(-1)^ndet(A)，an−1=−tr(A)displaystyle a_n-1=-mathrm tr (A)。

此外：

• 特徵多項式在基變更下不變：若存在可逆方陣 Cdisplaystyle C 使得 B=C−1ACdisplaystyle B=C^-1AC，則 pA(t)=pB(t)displaystyle p_A(t)=p_B(t)。


• 對任意兩方陣 A,Bdisplaystyle A,B，有 pAB(t)=pBA(t)displaystyle p_AB(t)=p_BA(t)。一般而言，若 Adisplaystyle A 為 m×ndisplaystyle mtimes n 矩陣，Bdisplaystyle B 為 n×mdisplaystyle ntimes m 矩陣（設 m<ndisplaystyle m<n），則 pAB(t)=tn−mpBA(t)displaystyle p_AB(t)=t^n-mp_BA(t)
  


• 
  凱萊-哈密頓定理：pA(A)=0displaystyle p_A(A)=0。