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  本條目介紹的是数论中的贝祖等式。關於代数几何中的贝祖定理，請見“贝祖定理”。

在数论中，裴蜀等式（英语：Bézout's identity）或貝祖定理（Bézout's lemma）是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整數adisplaystyle a、bdisplaystyle b和mdisplaystyle m，关于未知数xdisplaystyle x和ydisplaystyle y的線性丟番圖方程（称为裴蜀等式）：

ax+by=mdisplaystyle ax+by=m

有整数解时当且仅当mdisplaystyle m是adisplaystyle a及bdisplaystyle b的最大公约数ddisplaystyle d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解xdisplaystyle x、ydisplaystyle y都稱為裴蜀數，可用擴展歐幾里得演算法求得。

例如，12和42的最大公因數是6，则方程12x+42y=6displaystyle 12x+42y=6有解。事实上有(−3)×12+1×42=6displaystyle (-3)times 12+1times 42=6及4×12+(−1)×42=6displaystyle 4times 12+(-1)times 42=6。

特别来说，方程 ax+by=1displaystyle ax+by=1 有整数解当且仅当整数adisplaystyle a和bdisplaystyle b互素。

裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义：ddisplaystyle d其實就是最小的可以寫成ax+bydisplaystyle ax+by形式的正整數。这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。

历史

历史上首先证明关于整数的裴蜀定理的并不是裴蜀，而是17世纪初的法国数学家克劳德-加斯帕·巴歇·德·梅齐里亚克（法语：Claude-Gaspard Bachet de Méziriac）。他在于1624年发表的著作《有关整数的令人快乐与惬意的问题集》（Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres）第二版中给出了问题的描述和证明^[1]。

然而，裴蜀推广了梅齐里亚克的结论，特别是探讨了多项式中的裴蜀等式，并给出了相应的定理和证明^[2]。

整数中的裴蜀定理

对任意两个整數adisplaystyle a、bdisplaystyle b，设ddisplaystyle d是它们的最大公约数。那么关于未知数xdisplaystyle x和ydisplaystyle y的線性丟番圖方程（称为裴蜀等式）：

ax+by=mdisplaystyle displaystyle ax+by=m

有整数解(x,y)displaystyle (x,y) 当且仅当mdisplaystyle m是ddisplaystyle d的整數倍。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。

m=1displaystyle m=1时，方程有解当且仅当adisplaystyle a、bdisplaystyle b互质。方程有解时，解的集合是

(mdx0+kbd, mdy0−kad)∣k∈Zdisplaystyle leftleft(frac mdx_0+frac kbd, frac mdy_0-frac kadright)mid kin mathbb Z right。其中(x0,y0)displaystyle (x_0,y_0)是方程ax+by=ddisplaystyle ax+by=d的一个解，可由辗转相除法得到。

所有解中，恰有二解(x,y) 满足|x|≤|b/d|及|y|≤|a/d|leq ，等號只會在adisplaystyle a及bdisplaystyle b其中一個是另一個的倍數時成立。輾轉相除法給出的解會是這兩解中的一個。

例子

裴蜀方程504x+651y=14displaystyle 504x+651y=14 没有整数解，因为504和651的最大公约数是21。而方程504x+651y=21displaystyle 504x+651y=21是有解的。为了求出通解，可以先约掉公约数21，这样得到方程：

24x+31y=1displaystyle 24x+31y=1。

通过扩展欧几里得算法可以得到一组解(−9,7)displaystyle (-9,7)：24⋅(−9)+31⋅7=−216+217=1displaystyle 24cdot (-9)+31cdot 7=-216+217=1。

于是通解为：k∈Zdisplaystyle leftkin mathbb Z right，即

(−9+31k,7−24k)displaystyle leftkin mathbb Z right。

多个整数间的裴蜀定理

设a1,⋯andisplaystyle a_1,cdots a_n为ndisplaystyle n个整数，ddisplaystyle d是它们的最大公约数，那么存在整数x1,⋯xndisplaystyle x_1,cdots x_n 使得 x1⋅a1+⋯xn⋅an=ddisplaystyle x_1cdot a_1+cdots x_ncdot a_n=d。特别来说，如果a1,⋯andisplaystyle a_1,cdots a_n互质（不是两两互质），那么存在整数x1,⋯xndisplaystyle x_1,cdots x_n 使得 x1⋅a1+⋯xn⋅an=1displaystyle x_1cdot a_1+cdots x_ncdot a_n=1。

多项式环K[X]displaystyle K[X]裡的貝祖定理

Kdisplaystyle K为域时，对于多项式环K[X]displaystyle K[X]裡的多项式，裴蜀定理也成立。设有一族K[X]displaystyle mathbb K [X]裡的多项式(Pi)i∈Idisplaystyle left(P_iright)_iin I。设Δdisplaystyle Delta 为它们的最大公约式（首项系数为1且次数最高者），那么存在多项式(Ai)i∈Idisplaystyle left(A_iright)_iin I使得Δ=∑i∈IAiPidisplaystyle textstyle Delta =sum _iin IA_iP_i。特别来说，如果(Pi)i∈Idisplaystyle left(P_iright)_iin I互质（不是两两互质），那么存在多项式(Ai)i∈Idisplaystyle left(A_iright)_iin I使得∑i∈IAiP=1displaystyle textstyle sum _iin IA_iP_=1。

对于两个多项式的情况，与整数时一样可以得到通解。

任意主理想环上的情况

裴蜀可以推广到任意的主理想环上。设环Adisplaystyle A是主理想环，adisplaystyle a和bdisplaystyle b为环中元素，ddisplaystyle d是它们的一个最大公约元，那么存在环中元素xdisplaystyle x和ydisplaystyle y使得：

ax+by=ddisplaystyle ax+by=d

这是因为在主理想环中，adisplaystyle a和bdisplaystyle b的最大公约元被定义为理想aA+bAdisplaystyle aA+bA的生成元。

参见

• 理想 (环论)


• 欧几里德整环


• 欧几里德引理


• 主理想环


• 整除

参考来源

• 闵嗣鹤、严士健，初等数论，高等教育出版社，2003。


• 唐忠明，抽象代数基础，高等教育出版社，2006。

外部連結

• 線上計算器