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秩－零化度定理是线性代数中的一个定理，给出了一个线性变换或一个矩阵的秩和它的零化度之间的关系。对一个元素在域Fdisplaystyle mathrm F 中的m⋅ndisplaystyle mcdot n矩阵Adisplaystyle mathrm A ，秩－零化度定理说明，它的秩（rank A）和零化度（nullity A）之和等于ndisplaystyle n：

rank⁡A+nullity⁡A=n.displaystyle operatorname rank mathrm A +operatorname nullity mathrm A =n.

同样的，对于一个从F−displaystyle F-线性空间Vdisplaystyle mathrm V 射到F−displaystyle mathrm F -线性空间Wdisplaystyle mathrm W 的线性变换 T:V→Wdisplaystyle mathrm T ;:;;mathrm V rightarrow mathrm W ， Tdisplaystyle mathrm T 的秩是它的象的维度，Tdisplaystyle mathrm T 的零化度是它的核（零空间）的维度。我们有：

dim⁡(Im⁡T)+dim⁡(Ker⁡T)=dim⁡Vdisplaystyle operatorname dim (operatorname Im mathrm T )+operatorname dim (operatorname Ker mathrm T )=operatorname dim mathrm V

也就是：

rank⁡A+nullity⁡A=dim⁡V.displaystyle operatorname rank mathrm A +operatorname nullity mathrm A =operatorname dim mathrm V .

实际上定理在更广的范围内也成立，因为Vdisplaystyle mathrm V 和Fdisplaystyle mathrm F 可以是无限维的。

证明

证明的方法基于线性空间的基和同构。

设Vdisplaystyle mathrm V 是一个有限维线性空间，其维度dim⁡V=ndisplaystyle operatorname dim mathrm V =n。对一个从Vdisplaystyle mathrm V 射到Fdisplaystyle mathrm F 的线性变换Tdisplaystyle mathrm T ，它的核Ker⁡Tdisplaystyle operatorname Ker mathrm T 是Vdisplaystyle mathrm V 的一个子空间。设 Bk=(e1,e2⋯,ep)displaystyle mathfrak B_k=left(e_1,e_2cdots ,e_pright)是Ker⁡Tdisplaystyle operatorname Ker mathrm T 的一组基（p⩽ndisplaystyle pleqslant n）。根据基扩充定理，Bkdisplaystyle mathfrak B_k可以被扩充为Vdisplaystyle mathrm V 的一组基：B=(e1,e2⋯,en)displaystyle mathfrak B=left(e_1,e_2cdots ,e_nright)。除了Bkdisplaystyle mathfrak B_k的pdisplaystyle p个向量以外，另外的n−pdisplaystyle n-p个向量(ep+1,⋯,en)displaystyle left(e_p+1,cdots ,e_nright)是一组线性无关的向量。设Hdisplaystyle mathrm H 是它们张成的子空间，那么Vdisplaystyle mathrm V 是子空间Ker⁡Tdisplaystyle operatorname Ker mathrm T 与Hdisplaystyle mathrm H 的直和：

V=Ker⁡T⊕Hdisplaystyle mathrm V =operatorname Ker mathrm T oplus mathrm H

所以，按照直和的性质，有dim⁡(H)+dim⁡(Ker⁡T)=dim⁡Vdisplaystyle operatorname dim (mathrm H )+operatorname dim (operatorname Ker mathrm T )=operatorname dim mathrm V ，并且这两个子空间的交集为Ker⁡T∩H=0displaystyle operatorname Ker mathrm T cap mathrm H =left0right。同时，∀u∈V,displaystyle forall uin mathrm V , 都可以写成 u=a+bdisplaystyle u=a+b的形式，其中a∈ker(T),b∈Hdisplaystyle ain ker(mathrm T ),;bin mathrm H 。考虑Tdisplaystyle mathrm T 限制在Hdisplaystyle mathrm H 上到Im⁡Tdisplaystyle operatorname Im mathrm T 的线性变换THdisplaystyle mathrm T _mathrm H ：

TH:H→Im⁡Tu↦T(u)displaystyle beginalignedmathrm T _mathrm H :mathrm H &rightarrow operatorname Im mathrm T \u&mapsto mathrm T (u)endaligned

下证THdisplaystyle mathrm T _mathrm H 是一个同构。首先由于Tdisplaystyle mathrm T 是线性映射，所以THdisplaystyle mathrm T _mathrm H 是线性映射。只需证明它也是双射：

1. 
   THdisplaystyle mathrm T _mathrm H 是一个单射，因为∀u,v∈Hdisplaystyle forall u,vin mathrm H ， T(u)=T(v)⇒T(u−v)=0⇒u−v∈H∩Ker⁡T⇒u−v=0⇒u=vdisplaystyle mathrm T (u)=mathrm T (v)Rightarrow mathrm T (u-v)=0Rightarrow u-vin mathrm H cap operatorname Ker mathrm T Rightarrow u-v=0Rightarrow u=v。


2. 
   THdisplaystyle mathrm T _mathrm H 是一个满射，因为∀v∈Im⁡Tdisplaystyle forall vin operatorname Im mathrm T ， ∃u∈V,displaystyle exists uin mathrm V ,，使得 v=T(u)displaystyle v=mathrm T (u)，而且u=a+bdisplaystyle u=a+b ，其中a∈Ker⁡T, b∈Hdisplaystyle ain operatorname Ker mathrm T , bin mathrm H 。 于是 v=T(u)=T(a+b)=T(a)+T(b) =T(b)displaystyle v=mathrm T (u)=mathrm T (a+b)=mathrm T (a)+mathrm T (b) =mathrm T (b)，其中b∈Hdisplaystyle bin mathrm H ，所以THdisplaystyle mathrm T _mathrm H 是一个满射。

既然THdisplaystyle mathrm T _mathrm H 是一个Hdisplaystyle mathrm H 到Im⁡Tdisplaystyle operatorname Im mathrm T 的同构，那么

dim⁡(H)=dim⁡(Im⁡T).displaystyle operatorname dim (mathrm H )=operatorname dim (operatorname Im mathrm T ).

综上所述，即有：

dim⁡(Im⁡T)+dim⁡(Ker⁡T)=dim⁡(V),displaystyle operatorname dim (operatorname Im mathrm T )+operatorname dim (operatorname Ker mathrm T )=operatorname dim (mathrm V ),

也就是：

rank⁡T+nullity⁡T=dim⁡(V).displaystyle operatorname rank mathrm T +operatorname nullity mathrm T =operatorname dim (mathrm V ).^[1]:59

其他表达形式及推广

正合列

秩-零化度定理是抽象代数中的同态基本定理在线性空间上的表现形式。如果用更现代的语言，定理可以表示为：如果

0 → U → V → R → 0

是线性空间中的一个短正合列，那么有：

dim(U) + dim(R) = dim(V)

其中 R 表示 im T， U 表示 ker T。

在有限维的情况下，上式可以作进一步推广。如果

0 → V₁ → V₂ → ... → V_r → 0

是有限维线性空间中的一个正合列，那么有：

∑i=1r(−1)idim⁡(Vi)=0.displaystyle sum _i=1^r(-1)^idim(V_i)=0.

在有限维线性空间中，秩-零化度定理还可以用线性变换的指标（index）描述。线性变换的指标指的是，对于线性变换T : V → W：

index T = dim(ker T) - dim(coker T)

其中 coker T 表示 T 的餘核。正如 ker T 表示方程 Tx = 0 线性獨立的解的“个数”， coker T 表示使得方程 Tx = y 有解而必须加于 y 的限制条件的个数。

这时秩-零化度定理表述为：

index T = dim(V) - dim(W)

可以看到，在这种表述下，我们可以很容易地得到 T 的指标，而不必对 T 作深入研究。更深入的结果可以参见阿蒂亞－辛格指標定理。阿蒂亞－辛格指標定理说明某些微分算子的指标可以通过涉及的空间的几何性质得到。

参见

• 线性空间


• 秩


• 同构基本定理

参考资料