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数学上，特别是线性代数和泛函分析中，谱定理是关于线性算子或者矩阵的一些结果。泛泛来讲，谱定理给出了算子或者矩阵可以对角化的条件（也就是可以在某个基底中用对角矩阵来表示）。对角化的概念在有限维空间中比较直接，但是对于无穷维空间中的算子需要作一些修改。通常，谱定理辨认出一族可以用乘法算子来代表的线性算子，这是可以找到的最简单的情况了。用更抽象的语言来讲，谱定理是关于交换C*-代数的命题。参看谱分析中的历史观点。

可以应用谱定理的例子有希尔伯特空间上的自伴算子或者更一般的正规算子。

谱定理也提供了一个算子所作用的向量空间的标准分解，称为谱分解，特征值分解，或者特征分解。

本条目中，主要考虑谱定理的简单情况，也就是希尔伯特空间上的自伴算子。但是，如上文所述，谱定理也对希尔伯特空间上的正规算子成立。

有限维的情况

埃尔米特矩阵

从在具有标准埃尔米特内积的有限维实或者复内积空间 $V$ 上的埃尔米特矩阵 $A$ 开始；埃尔米特条件意味着

langle Ax,,yrangle =langle x,,Ayrangle

对于所有 $V$ 的元素 $x,y$ 成立。

一个等价的条件是 $displaystyle A^*=A$ ，其中 $A^*$ 是 $A$ 的共轭转置。若 $A$ 为实矩阵，这等价于 $displaystyle A^T=A$ （也即， $A$ 是对称矩阵）。埃尔米特矩阵的特征值是实数。

先回顾一下线性算子A的特征向量是（非零）向量 $x$ 使得 $Ax=lambda x$ 对于某个标量 $lambda$ 成立。值 $lambda$ 是相应的特征值。

定理：存在 $V$ 的标准正交基，由 $A$ 的特征向量组成。每个特征值都是实数。

证明

这里给出复数情况的证明概要。

根据代数基本定理，任何方形虚数项矩阵存在至少一个特征值。若 $A$ 为埃尔米特矩阵，有特征向量 $e_1$ ，考虑子空间 $displaystyle K=mathrm span lefte_1right^perp$ ，也即 $e_1$ 的正交补空间。根据埃尔米特性， $K$ 为 $A$ 的不变子空间。在 $K$ 上采用同样的论证表明 $A$ 有特征向量 $displaystyle e_2in k$ 。通过有限归纳法可以完成证明。

谱定理对于 n 维欧几里得空间上的对称矩阵也成立，但是特征向量的存在性更难一些。实对称矩阵有实特征值，因此特征向量有实项。

若取 $A$ 的特征向量为标准正交基， $A$ 在这个基上的表示是对角的。等价地， $A$ 可以写作互相正交的投影的线性组合，称为它的谱分解。令

V_lambda =,vin V:Av=lambda v,

为对应于特征值 $lambda$ 的特征空间。注意该定义不依赖于特定特征向量的选择。 $V$ 是空间 $displaystyle V_lambda$ 的直积，其中下标取遍特征值。令 $displaystyle P_lambda$ 为到 $displaystyle V_lambda$ 上的正交投影，而 $displaystyle lambda _1,ldots ,lambda _m$ 为 $A$ 的特征值，谱分解可以写作：

A=lambda _1P_lambda _1+cdots +lambda _mP_lambda _m.

谱分解是舒尔分解的特例。也是奇异值分解的特例。

正规矩阵

谱定理可以推广到更为一般的矩阵。令 $A$ 为有限维内积空间上的算子。 $A$ 称为正规算子若 $displaystyle A^* A=A A^*$ 。可以证明 $A$ 正规当且仅当它可以酉对角化：根据舒尔分解， $displaystyle A=U T U^*$ ，其中 $U$ 是酉矩阵而 $T$ 是上三角阵。
因为 $A$ 正规， $displaystyle T T^*=T^* T$ ，所以 $T$ 必定是对角的。反过来也是显然的。