非奇异方阵

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线性代数

A=[1234]displaystyle mathbf A =beginbmatrix1&2\3&4endbmatrixmathbf A =beginbmatrix1&2\3&4endbmatrix


向量 · 向量空间  · 行列式  · 矩阵



  • 查

  • 论

  • 编


若方块矩阵Adisplaystyle A,A,满足条件|A|(det(A))≠0ArightAright，则称Adisplaystyle A,A,为非奇异方阵，否则称为奇异方阵。



相关定理


ndisplaystyle n,n,阶方阵Adisplaystyle A,A,是非奇异方阵的充要条件是Adisplaystyle A,A,可逆，即可逆方阵就是非奇异方阵。


对一个ndisplaystyle n,n,阶方阵Adisplaystyle A,A,，如果存在一个ndisplaystyle n,n,阶方阵Bdisplaystyle B,B,使AB=BA=Indisplaystyle AB=BA=I_n,AB=BA=I_n,（Indisplaystyle I_n,I_n,是单位矩阵），则称Adisplaystyle A,A,是可逆的，也称Adisplaystyle A,A,为非奇异矩阵。Bdisplaystyle B,B,是Adisplaystyle A,A,的逆阵。


  • 一个方阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。

  • 一个方阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

  • 一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

  • 一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。


性质


給定一個ndisplaystyle n,n,階方陣Adisplaystyle A,A,，則下面的敘述都是等價的：



  • Adisplaystyle A,A,是可逆的。


  • Adisplaystyle A,A,的行列式不為零。


  • Adisplaystyle A,A,的秩等於ndisplaystyle n,n,（Adisplaystyle A,A,满秩）。


  • Adisplaystyle A,A,的轉置矩陣ATdisplaystyle A^T,A^T,也是可逆的。


  • ATAdisplaystyle A^TA,A^TA,也是可逆的。

  • 存在一ndisplaystyle n,n,階方陣Bdisplaystyle B,B,使得AB=Indisplaystyle AB=I_n,AB=I_n,。

  • 存在一ndisplaystyle n,n,階方陣Bdisplaystyle B,B,使得BA=Indisplaystyle BA=I_n,BA=I_n,。


参见


  • 逆阵

  • 正定矩阵

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