njtynhj

狄拉克符号或狄拉克標記（英语：Dirac notation）是量子力学中广泛应用于描述量子态的一套标准符号系统。在这套系统中，每一个量子态都被描述为希尔伯特空间中的態向量，定义为右矢（ket）：|ψ⟩psi rangle ；每一个右矢的共軛轉置定义为其左矢（bra）：⟨ψ|displaystyle langle psi 。

此標記法為狄拉克於1939年将「bracket」（括号）这个词拆开后所造的。^[1]在中國方面，一些旧有的教科书和文献中也将其译为“刁矢”和“刃矢”、或“彳矢”和“亍矢”，现已弃用。

矩陣表示

右矢与左矢可分别用N×1阶和1×N阶矩阵表示为：

|ψ⟩=(ψ1ψ2ψ3ψ4⋮ψN)displaystyle

⟨ψ|=(ψ1∗,ψ2∗,ψ3∗,ψ4∗,⋯,ψN∗)displaystyle langle psi

不同的两个态矢量的内积则由一个括号来表示：⟨ϕ|ψ⟩displaystyle langle phi ，当狄拉克符号作用于两个基矢时，所得值为：⟨ei|ej⟩=δije_jrangle =delta _ij （δijdisplaystyle delta _ij为克罗内克函數）

相同的态矢量内积为：⟨ψ|ψ⟩=∑i|ψi|2psi rangle =sum _i。

性質

因為每個右矢是一複數希爾伯特空間中的一個向量，而每個右矢-左矢關係是內積，而直接地可以得到如下的操作方式：

• 給定任何左矢⟨ϕ|、右矢|ψ1⟩displaystyle 以及|ψ2⟩psi _2rangle ，還有複數c₁及c₂，則既然左矢是線性泛函，根據線性泛函的加法與純量乘法的定義，

⟨ϕ|(c1|ψ1⟩+c2|ψ2⟩)=c1⟨ϕ|ψ1⟩+c2⟨ϕ|ψ2⟩psi _1rangle +c_2langle phi 。

• 給定任何右矢|ψ⟩psi rangle 、左矢⟨ϕ1|displaystyle langle phi _1以及⟨ϕ2|displaystyle langle phi _2，還有複數c₁及c₂，則既然右矢是線性泛函，

(c1⟨ϕ1|+c2⟨ϕ2|)|ψ⟩=c1⟨ϕ1|ψ⟩+c2⟨ϕ2|ψ⟩psi rangle +c_2langle phi _2。

• 給定任何右矢|ψ1⟩displaystyle 及|ψ2⟩psi _2rangle ，還有複數c₁及c₂，根據內積的性質（其中c*代表c的複數共軛），

c1|ψ1⟩+c2|ψ2⟩psi _1rangle +c_2與c1∗⟨ψ1|+c2∗⟨ψ2|對偶。

• 給定任何左矢⟨ϕ|及右矢|ψ⟩psi rangle ，內積的一個公理性質指出

⟨ϕ|ψ⟩=⟨ψ|ϕ⟩∗psi rangle =langle psi 。

• 給定任何算符Xdisplaystyle X、左矢⟨ϕ|及右矢|ψ⟩psi rangle ，它們之間的合法相乘滿足乘法結合公理，例如，^[2]:16-17

(|ω⟩⟨ϕ|) |ψ⟩=|ω⟩ (⟨ϕ|ψ⟩)psi rangle =、

⟨ϕ| (X|ψ⟩)=(⟨ϕ|X) |ψ⟩X) 。

相關條目

• 量子態


• 内积空间


• 角動量圖

參考文獻