勒贝格测度
Clash Royale CLAN TAG#URR8PPP
在测度论中，勒贝格测度（Lebesgue measure）是欧几里得空间上的标准测度。对维数为1，2，3的情况，勒贝格测度就是通常的长度、面积、体积。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予勒贝格测度的集合称为勒贝格可测集；勒贝格可测集 .mw-parser-output .seriffont-family:Times,serifA 的测度记作 λ (A) 。一般來說，我們允許一个集合的勒贝格测度为 ∞ ，但是即使如此，在假设选择公理成立时，Rn 仍有勒贝格不可测的子集。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。
勒贝格测度以法国数学家昂利·勒贝格命名。勒贝格于1901年首次提出这一测度，次年又给出勒贝格积分的定义，并收录进他的学位论文中。
目录
1 问题起源
2 定义
3 例子
4 性质
5 零测集
6 勒贝格测度的构造
7 与其他测度的关系
8 参看
9 參考文獻
问题起源
人们知道，区间的长度可以定义为端点值之差。若干个不交区间的并的长度应当是它们的长度之和。于是人们希望将长度的概念推广到比区间更复杂的集合。
我们想构造一个映射 m ，它能将实数集的子集 E 映射到非负实数 m(E) ，並称这個数为集合 E 的测度。最理想的情况下，m 应该具有以下性质：
m 对于实数集的所有子集
E 都有定义。- 对于一个区间
[a, b]，
m([a, b]) 应当等于其长度
b − a。
m 具有可数可加性。如果
(En) 是一列不相交的集合，并且
m 在其上有定义，那么 m(⋃nEn)=∑nm(En)displaystyle mleft(bigcup _nE_nright)=sum _nm(E_n)，其中
⋃ 表示並集。
m 具有平移不变性。設集合
E 及
E+k = x+k : x ∈ E （即將
E 的每個元素各加上同一個實數
k 所得到的集合），則
m(E+k) = m(E) 。
遗憾的是，这样的映射是不存在的。人们只能退而求其次，寻找满足其中部分条件的映射。勒贝格测度是满足后三条性质的例子。另一个例子是若尔当测度，它只满足有限可加性。
定义
区间I=[a,b]displaystyle I=[a,b]![displaystyle I=[a,b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d6214bb3ce7f00e496c0706edd1464ac60b73b5)
对每一列能覆盖Edisplaystyle E
勒贝格测度定义在勒贝格σ代数上
λ∗(A)=λ∗(A∩E)+λ∗(A∩Ec)displaystyle lambda ^*(A)=lambda ^*(Acap E)+lambda ^*(Acap E^c)
对勒贝格可测集，其勒贝格测度就等于勒贝格外测度。
不在勒贝格σ代数中的集合不是勒贝格可测的，这样的集合确实存在，故勒贝格σ代数严格包含于Rdisplaystyle mathbb R 
例子
- 任何区间都是勒贝格可测的。闭区间[a,b]displaystyle [a,b]
、开区间(a,b)displaystyle (a,b)
的勒贝格测度都等于区间长度b−adisplaystyle b-a
。
- 如果 A 是区间 [a, b] 和 [c, d]的笛卡尔积，则它是一个长方形，测度为它的面积 (b−a)(d−c)。
博雷尔集都是勒贝格可测的。反之不然，存在不是博雷尔集的勒贝格可测集。- 可数集的勒贝格测度为0。特别是，有理数集的勒贝格测度为0，尽管有理数集是稠密的。
康托尔集是一个勒贝格测度为零的不可数集的例子。- 假设决定性公理成立，则实数集的所有子集都是勒贝格可测的。假设选择公理成立，则可以构造出勒贝格不可测的集合，例如维塔利集。决定性公理与选择公理是不相容的。
奥斯古德曲线（Osgood curve）是平面简单曲线，但具有大于0的勒贝格测度。龙形曲线是另一个例子。
性质
設集合 A 与 B 是在 Rn 上的集合。勒贝格测度有如下的性质：
- 如果
A 是一列区间
(In) 的笛卡爾積 ∏nIndisplaystyle prod _nI_n，則
A 是勒贝格可测的，并且 λ(A)=∏n|In|，其中
| I | 表示区间
I 的长度。 - 如果
A 是有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集
(En) 的并集，则
A 也是勒贝格可测的，并且 λ(A)=∑nλ(En)displaystyle lambda left(Aright)=sum _nlambda (E_n)。
- 如果
A 是勒贝格可测的，那么它相对于Rndisplaystyle mathbb R ^n的补集也是可测的。
- 对于每个勒贝格可测集
A ， λ(A)≥0displaystyle lambda (A)geq 0。
- 如果
A 與
B 是勒贝格可测的，且
A ⊆ B ，則 λ(A)≤λ(B)displaystyle lambda (A)leq lambda (B)。
- 可数多个勒贝格可测集的交集或者并集，仍然是勒贝格可测的。
Rndisplaystyle mathbb R ^n- 勒贝格可测集“几乎”是开集，也“几乎”是闭集。具体来说，Edisplaystyle E
存在开集Gdisplaystyle G
与闭集Fdisplaystyle F
使得F⊂E⊂Gdisplaystyle Fsubset Esubset G
且λ(G∖F)<εdisplaystyle lambda (Gsetminus F)<varepsilon
。此性质曾用来定义勒贝格可测性。（见勒贝格测度的正则性定理）
- 勒贝格测度既是局部有限的，又是内正则的，所以是拉东测度。
- 非空开集的勒贝格测度严格大于0，所以勒贝格测度的支集是全空间Rndisplaystyle mathbb R ^n
- 如果
A 是勒贝格零测集，即 λ(A)=0displaystyle lambda (A)=0，则
A 的任何一个子集也是勒贝格零测集。 - 如果
A 是勒贝格可测的，且
B = x+k : x ∈ A （即將
A 平移
k 個單位），則
B 也是勒贝格可测的，并且 λ(B)=λ(A)displaystyle lambda (B)=lambda (A)。
- 如果
A 是勒贝格可测的，且
B = kx : x ∈ A （即將
A 縮放
k 倍，k>0displaystyle k>0），則
B 也是勒贝格可测的，并且 λ(B)=kn⋅λ(A)displaystyle lambda (B)=k^ncdot lambda (A)。
- 更一般地，设
T 是一个线性变换，
det(T) 為其行列式。如果
A 是勒贝格可测的，则
T(A) 也是勒贝格可测的，并且 λ(T(A))=|det(T)|λ(A)lambda (A)。
- 設
f 是一个從
A 到Rndisplaystyle mathbb R ^n
A 是勒贝格可测的，则
f(A) 也是勒贝格可测的。
简要地说，Rndisplaystyle mathbb R ^n![lambda([0,1]times [0, 1]times cdots times [0, 1])=1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ad6c54cc426a07952fac16296e3ccd896a778cc)
勒贝格测度是σ-有限测度。
零测集
Rndisplaystyle mathbb R ^n
如果Rndisplaystyle mathbb R ^n
为了证明某个集合A是勒贝格可测的，我们通常尝试寻找一个“较好”的集合B，与A 的对称差是零测集，然后证明B可以用开集或闭集的可数交集和并集生成。
勒贝格测度的构造
勒贝格测度的现代構造基于外测度[3]，并应用卡拉西奥多里扩张定理。
固定n∈N.displaystyle nin mathbb N .
![B=prod_i=1^n [a_i,b_i]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daa0ebc23a2e919d0fa23b9f0a41275e7d09c3c5)
对于Rndisplaystyle mathbb R ^n
λ∗(A)=inf∑B∈Cvol(B):Cdisplaystyle lambda ^*(A)=inf Bigl sum _Bin mathcal Coperatorname vol (B):mathcal C是可数个盒子的集合，它们的并集覆盖了A.displaystyle ABigr .
然后定义集合A为勒贝格可测的，如果对于所有集合S⊂Rndisplaystyle Ssubset mathbb R ^n
- λ∗(S)=λ∗(A∩S)+λ∗(S∖A).displaystyle lambda ^*(S)=lambda ^*(Acap S)+lambda ^*(Ssetminus A).
这些勒贝格可测的集合形成了一个σ代数。对于任何勒贝格可测的集合A, 其勒贝格测度定义为λ(A)=λ∗(A)displaystyle lambda (A)=lambda ^*(A)
勒贝格不可测集合的存在性是选择公理的结果。根据维塔利定理，存在实数R的一个勒贝格不可测的子集。如果A是Rndisplaystyle mathbb R ^n
1970年，Robert M. Solovay证明了，在不带选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论中，勒贝格不可测集的存在性是不可证的（见Solovay模型）。
与其他测度的关系
若 A 博雷尔可測，則其博雷爾測度与勒贝格测度一致；然而，更多的勒贝格可测集是博雷尔不可测的。博雷尔测度是平移不变的，但不是完备的。
哈尔测度可以定义在任何局部紧群上，是勒贝格测度的一个推广（带有加法的Rndisplaystyle mathbb R ^n
豪斯多夫测度（参见豪斯多夫维数）是勒贝格测度的一个推广，对于测量Rndisplaystyle mathbb R ^n
可以证明，無法在无穷维空间上定義类似的勒贝格测度。
参看
- 勒贝格密度定理
- 刘维尔数集的勒贝格测度
參考文獻
^ Asaf Karagila. What sets are Lebesgue-measurable?. math stack exchange. [26 September 2015].
^ Asaf Karagila. Is there a sigma-algebra on R strictly between the Borel and Lebesgue algebras?. math stack exchange. [26 September 2015].
^ Royden, H.L. Real analysis 3rd. New York: Macmillan. 1988: 56. ISBN 978-0024041517.
