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在测度论中，勒贝格测度（Lebesgue measure）是欧几里得空间上的标准测度。对维数为1，2，3的情况，勒贝格测度就是通常的长度、面积、体积。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予勒贝格测度的集合称为勒贝格可测集；勒贝格可测集 .mw-parser-output .seriffont-family:Times,serif $A$ 的测度记作 $λ (A)$ 。一般來說，我們允許一个集合的勒贝格测度为 $\infty$ ，但是即使如此，在假设选择公理成立时， $R n$ 仍有勒贝格不可测的子集。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。

勒贝格测度以法国数学家昂利·勒贝格命名。勒贝格于1901年首次提出这一测度，次年又给出勒贝格积分的定义，并收录进他的学位论文中。

问题起源

人们知道，区间的长度可以定义为端点值之差。若干个不交区间的并的长度应当是它们的长度之和。于是人们希望将长度的概念推广到比区间更复杂的集合。

我们想构造一个映射 $m$ ，它能将实数集的子集 $E$ 映射到非负实数 $m (E)$ ，並称这個数为集合 $E$ 的测度。最理想的情况下， $m$ 应该具有以下性质：

$m$ 对于实数集的所有子集
$E$ 都有定义。

对于一个区间
$[a, b]$ ，
$m ([a, b])$ 应当等于其长度
$b - a$ 。

$m$ 具有可数可加性。如果
$(E n)$ 是一列不相交的集合，并且
$m$ 在其上有定义，那么 $displaystyle mleft(bigcup _nE_nright)=sum _nm(E_n)$ ，其中
$⋃$ 表示並集。

$m$ 具有平移不变性。設集合
$E$ 及
$E + k = x + k : x \in E$ （即將
$E$ 的每個元素各加上同一個實數
$k$ 所得到的集合），則
$m (E + k) = m (E)$ 。

遗憾的是，这样的映射是不存在的。人们只能退而求其次，寻找满足其中部分条件的映射。勒贝格测度是满足后三条性质的例子。另一个例子是若尔当测度，它只满足有限可加性。

定义

区间 $displaystyle I=[a,b]$ 的长度定义为 $=b-a$ 。对 $displaystyle Esubseteq mathbb R$ ，勒贝格外测度定义为

对每一列能覆盖 $E$ 的开区间 $displaystyle I_k_kin mathbb N$ ，作长度和 $displaystyle mu =sum _k=0^infty I_k$ 。所有这些 $mu$ 组成一个有下界的数集，下确界称为勒贝格外测度，记做 $displaystyle lambda ^*(E)$ 。

勒贝格测度定义在勒贝格σ代数上

$displaystyle lambda ^*(A)=lambda ^*(Acap E)+lambda ^*(Acap E^c)$

对勒贝格可测集，其勒贝格测度就等于勒贝格外测度。

不在勒贝格σ代数中的集合不是勒贝格可测的，这样的集合确实存在，故勒贝格σ代数严格包含于 $mathbb R$ 的幂集。

例子

任何区间都是勒贝格可测的。闭区间 $[a,b]$ 、开区间 $(a,b)$ 的勒贝格测度都等于区间长度 $b-a$ 。

如果 A 是区间 [a, b] 和 [c, d]的笛卡尔积，则它是一个长方形，测度为它的面积 (b−a)(d−c)。

博雷尔集都是勒贝格可测的。反之不然，存在不是博雷尔集的勒贝格可测集。

可数集的勒贝格测度为0。特别是，有理数集的勒贝格测度为0，尽管有理数集是稠密的。

康托尔集是一个勒贝格测度为零的不可数集的例子。

假设决定性公理成立，则实数集的所有子集都是勒贝格可测的。假设选择公理成立，则可以构造出勒贝格不可测的集合，例如维塔利集。决定性公理与选择公理是不相容的。

奥斯古德曲线（Osgood curve）是平面简单曲线，但具有大于0的勒贝格测度。龙形曲线是另一个例子。

性质

設集合 $A$ 与 $B$ 是在 $R n$ 上的集合。勒贝格测度有如下的性质：

如果
$A$ 是一列区间
$(I n)$ 的笛卡爾積 $displaystyle prod _nI_n$ ，則
$A$ 是勒贝格可测的，并且 $\text{[math]}$ ，其中
$| I |$ 表示区间
$I$ 的长度。

如果
$A$ 是有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集
$(E n)$ 的并集，则
$A$ 也是勒贝格可测的，并且 $displaystyle lambda left(Aright)=sum _nlambda (E_n)$ 。

如果
$A$ 是勒贝格可测的，那么它相对于 $mathbb R ^n$ 的补集也是可测的。

对于每个勒贝格可测集
$A$ ， $displaystyle lambda (A)geq 0$ 。

如果
$A$ 與
$B$ 是勒贝格可测的，且
$A \subseteq B$ ，則 $displaystyle lambda (A)leq lambda (B)$ 。

可数多个勒贝格可测集的交集或者并集，仍然是勒贝格可测的。

$mathbb R ^n$ 上的博雷爾集（即由開集經可數多次交、並、差運算得到的集合）都是勒贝格可测的。^[1]^[2]

勒贝格可测集“几乎”是开集，也“几乎”是闭集。具体来说， $E$ 是勒贝格可测集当且仅当对任意的 $varepsilon>0$ 存在开集 $G$ 与闭集 $F$ 使得 $displaystyle Fsubset Esubset G$ 且 $displaystyle lambda (Gsetminus F)<varepsilon$ 。此性质曾用来定义勒贝格可测性。（见勒贝格测度的正则性定理）

勒贝格测度既是局部有限的，又是内正则的，所以是拉东测度。

非空开集的勒贝格测度严格大于0，所以勒贝格测度的支集是全空间 $mathbb R ^n$ 。

如果
$A$ 是勒贝格零测集，即 $displaystyle lambda (A)=0$ ，则
$A$ 的任何一个子集也是勒贝格零测集。

如果
$A$ 是勒贝格可测的，且
$B = x + k : x \in A$ （即將
$A$ 平移
$k$ 個單位），則
$B$ 也是勒贝格可测的，并且 $displaystyle lambda (B)=lambda (A)$ 。

如果
$A$ 是勒贝格可测的，且
$B = kx : x \in A$ （即將
$A$ 縮放
$k$ 倍， $k>0$ ），則
$B$ 也是勒贝格可测的，并且 $displaystyle lambda (B)=k^ncdot lambda (A)$ 。

更一般地，设
$T$ 是一个线性变换，
$det(T)$ 為其行列式。如果
$A$ 是勒贝格可测的，则
$T (A)$ 也是勒贝格可测的，并且 $lambda (A)$ 。

設
$f$ 是一个從
$A$ 到 $mathbb R ^n$ 上的连续单射函数。如果
$A$ 是勒贝格可测的，则
$f (A)$ 也是勒贝格可测的。

简要地说， $mathbb R ^n$ 的勒贝格可测子集组成一个包含所有区间的笛卡尔积的σ-代数，且 $λ$ 是其上唯一的完备的、平移不变的、满足 $lambda([0,1]times [0, 1]times cdots times [0, 1])=1$ 的测度。

勒贝格测度是σ-有限测度。

零测集

$mathbb R ^n$ 的子集 A 是零测集，如果对于任意 $varepsilon>0$ ，A 都可以用可数多个盒（即 n 個区间的乘积）来覆盖，且其总体积最多为 $varepsilon$ 。所有可数集都是零测集。

如果 $mathbb R ^n$ 的子集的豪斯多夫维数小于 $n$ ，那么它是关于 $n$ 维勒贝格测度的零测集。在这里，豪斯多夫维数是相对于 $mathbb R ^n$ 上的欧几里得度量（或任何与其利普希茨等价的度量）而言。另一方面，一个集合可能拓扑维数小于 $n$ ，但具有正的 $n$ 维勒贝格测度。一个这样的例子是史密斯-沃尔泰拉-康托尔集，它的拓扑维数为0，但1维勒贝格测度为正数。

为了证明某个集合A是勒贝格可测的，我们通常尝试寻找一个“较好”的集合B，与A 的对称差是零测集，然后证明B可以用开集或闭集的可数交集和并集生成。

勒贝格测度的构造

勒贝格测度的现代構造基于外测度^[3]，并应用卡拉西奥多里扩张定理。

固定 $displaystyle nin mathbb N .$ $R^n$ 中的盒子是形如 $B=prod_i=1^n [a_i,b_i]$ 的集合，其中 $b_ige a_i$ ，连乘号代表笛卡尔积。盒子的体积定义为 $displaystyle operatorname vol (B)=prod _i=1^n(b_i-a_i)$