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在数学中，某个集合 X 的子集 E 的下确界(英语：infimum 或 infima，记为 inf E )是小于或等于的 E 所有其他元素的最大元素，其不一定在 E 內。所以还常用术语最大下界（简写为 glb 或 GLB）。在数学分析中，实数的下确界是非常重要的常见特殊情况。但這個定义，在更加抽象的序理论的任意偏序集合中，仍是有效的。

下确界是上确界概念的对偶。

实数集合的下确界

在数学分析中，实数的子集 S 的下确界或最大下界記为 inf(S)，定义为小于等于在 S 中的所有数的最大实数。如果没有这样的数存在（因为 S 没有下界），则我们定义 inf(S) = −∞。如果 S 是空集，我们定义 inf(S) = ∞（参见扩展的实数轴）。

实数的一个重要性质是，任何實數集都有下确界（实数的任何有界非空子集都在非扩展的实数轴中有下确界）。

例子：

inf1,2,3=1.displaystyle inf1,2,3=1.

infx∈R:0<x<1=0.displaystyle infxin mathbb R :0<x<1=0.

infx∈R:x3>2=21/3.displaystyle infxin mathbb R :x^3>2=2^1/3.

inf(−1)n+1/n:n=1,2,3,…=−1.displaystyle inf(-1)^n+1/n:n=1,2,3,dots =-1.

如果一个集合有最小元素，如同第一个例子，则这个最小元素就是这个集合的下确界。如后三个例子展示的，一个集合的下确界不一定属于这个集合。

下确界的概念和上确界在下列意义下是对偶的

inf(S)=−sup(−S)displaystyle inf(S)=-sup(-S)，

这里 −S=−sdisplaystyle -S=sin S。

一般的说，为了证明 inf(S) ≥ A，只需要证明对于所有 S 中的 x 有 x ≥ A。证明 inf(S) ≤ A ，則需：对于任何 ε > 0，都存在 S 中的一个元素 x 使得 x ≤ A + ε（当然，如果 S 有一个元素 x 使 x ≤ A，命題立即成立）。

参见：下极限。

在偏序集合内的下确界

下确界的定义容易推广到任何偏序集合的子集上，并在序理论中有重要意義。在序理论，特别是格理论中，最大下界也叫做交（英语：meet)。

形式的说，偏序集合（P，≤）的子集 S 的下确界是 P 的一个元素 l 使得

1. 对于所有 S 中的 x 有 l ≤ x，


2. 对于任何 P 中的 p，如果对于所有 S 中的 x 都有 p ≤ x, 则 p ≤ l。

如果這樣的元素存在，則其必然唯一，但是它不一定存在。因此已知特定下确界存在的序就特别有价值。详情请参见完備性（英语：Completeness (order theory)）。

外部链接

• 
  infimum (PlanetMath)

参见

• 偏序集


• 下界


• 最大元


• 完全格


• 最小上界


• 本性下确界