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在數學中，某個集合X上的σ代数又叫σ域，是X的所有子集的集合（也就是幂集）的一个子集。这个子集满足对于差集运算和可數個并集运算的封闭性（因此对于可數個交集运算也是封闭的）。σ代数在測度論裡可以用来严格地定义所谓的“可测集合”，是测度论的基础概念之一。

σ代数的概念大约起始于二十世纪的前三十年，它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的σ代数是关于实数轴测度的波莱尔σ代数（得名于法国数学家埃米·波莱尔），以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中，σ代数不仅仅是用于建立公理体系，也是一个强有力的工具，在定义许多重要的概念如条件期望和鞅的时候，都需要用到。

定义

设X displaystyle X 为非空集合，Fdisplaystyle mathcal F 中的元素是 Xdisplaystyle X 的子集合，满足以下条件的集合系Fdisplaystyle mathcal F称为X displaystyle X 上的一个σ代数：^[1][2]

Xdisplaystyle X在Fdisplaystyle mathcal F中；

如果一个集合Adisplaystyle A在Fdisplaystyle mathcal F中，那么它的差集Acdisplaystyle A^c也在Fdisplaystyle mathcal F中；

如果有可數个集合A1,A2,⋯,An⋯displaystyle A_1,A_2,cdots ,A_ncdots 都在Fdisplaystyle mathcal F中，那么它们的聯集也在Fdisplaystyle mathcal F中。

用数学语言来表示，就是

X∈F;displaystyle Xin mathcal F;

A∈F⟹Ac∈F;displaystyle Ain mathcal FLongrightarrow A^cin mathcal F;

(∀n∈N   An∈F)⟹⋃n=1∞An∈F.displaystyle (forall nin mathbb N ~~~A_nin mathcal F)Longrightarrow bigcup limits _n=1^infty A_nin mathcal F.

不借助逻辑符号的话，也可以使用如下定义：^[3]设X displaystyle X 为非空集合。则X displaystyle X 上的一个σ代数是指其冪集的一个子集合 Fdisplaystyle mathcal F， Fdisplaystyle mathcal F 中的元素，在经过有限个差集、交集或可数個聯集這三種运算后依然屬於 Fdisplaystyle mathcal F，也就是說 Fdisplaystyle mathcal F 對這三運算是封閉（closed）的 。

在測度論裡 (X,F)displaystyle left(X,mathcal Fright)称为一个可测空间。
集合族 Fdisplaystyle mathcal F 中的元素，也就是 Xdisplaystyle X 的某子集，称为可测集合。而在概率论中，这些集合被称为随机事件。

例子

• 有两个σ-代数的簡單例子，它们分别是：
  
  1. 
     Xdisplaystyle X上含集合最少的σ代数∅,Xdisplaystyle emptyset ,X；和
  
  
  2. 
     Xdisplaystyle X上含集合最多的σ代数是Xdisplaystyle X的冪集2X:=A:A⊂Xdisplaystyle 2^X:=A:Asubset X。
  
  


• 假设集合X=a,b,c,ddisplaystyle X=a,b,c,d，那么F=∅,a,b,c,d,Xdisplaystyle mathcal F=varnothing ,a,b,c,d,X 是集合Xdisplaystyle X上的一个σ代数。这也是所有包含adisplaystyle a的σ代数中最“小”的一个。

性质

σ代数是一个代数（域）也是一个λ系，它对集合的交集、聯集、差集、可數交集、可數聯集运算都是封闭的。

参考来源