正十二面體
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| 正十二面體 | |
|---|---|
 (按這裡觀看旋轉模型) | |
| 類別 | 正多面体 |
| 面 | 12 |
| 邊 | 30 |
| 頂點 | 20 |
| 歐拉特徵數 | F=12, E=30, V=20 (χ=2) |
| 面的種類 | 正五邊形 |
| 面的佈局 | 125 |
| 頂點圖 | 5.5.5 |
| 施萊夫利符號 | 5,3 |
| 對稱群 | 3 |
| 參考索引 | U23, C26, W5 |
| 對偶 | 正二十面體 |
| 二面角 | 116.56505° = arccos(-1/√5) |
| 特性 | 正凸多面體 |
 5.5.5 （頂點圖） | |
 (展開圖) | |
正十二面體是由12個正五邊形所組成的正多面體，它共有20个顶点、30条棱、160条对角线，被施莱夫利符号5,3所表示，与正二十面体互成对偶。它是一种只具有正四面体对称性的五角十二面体的特殊形式，五角十二面体的另一种特殊形式是具有正八面体对称性的卡塔兰多面体菱形十二面体，它（加上所有其它的五角十二面体）都与正十二面体在拓扑上等价。正十二面體还是截顶五方偏方面體的特例。其四維類比為正一百二十胞體。
 十二面體 |
正十二面體是正二十面體的對偶多面體。
目录
1 性质
1.1 坐标系
1.2 二维投影和对称性
2 几何关联
2.1 与其对偶——正二十面体的关系
2.2 相关多面体
2.2.1 顶点分布
2.2.2 星形化体
2.3 倒角多面體
3 相关数学问题
4 真實世界
5 參考文獻
性质
面的图形：正五边形
面的数目：12
边的数目：30
顶点数目：20
二面角角度：θ=arccos(−15)=2arctanφ≈116.5650512∘displaystyle boldsymbol theta =arccos left(-frac 1sqrt 5right)=2arctan varphi approx 116.5650512^circ
如果正十二面体棱长为a：
表面积：A=325+105a2≈20.645728807a2displaystyle A=3sqrt 25+10sqrt 5a^2approx 20.645728807a^2
体积：V=14(15+75)a3≈7.6631189606a3displaystyle V=frac 14(15+7sqrt 5)a^3approx 7.6631189606a^3
外接球半径：ru=a34(1+5)≈1.401258538⋅adisplaystyle r_u=afrac sqrt 34left(1+sqrt 5right)approx 1.401258538cdot a
内切球半径：ri=a1252+11105≈1.113516364⋅adisplaystyle r_i=afrac 12sqrt frac 52+frac 1110sqrt 5approx 1.113516364cdot a
中交球半径：rm=a14(3+5)≈1.309016994⋅adisplaystyle r_m=afrac 14left(3+sqrt 5right)approx 1.309016994cdot a
- 我们亦可以将上述三式写作：
- 外接球半径：ru=a32φdisplaystyle r_u=a,frac sqrt 32varphi
- 内切球半径：ri=aφ223−φdisplaystyle r_i=a,frac varphi ^22sqrt 3-varphi
- 中交球半径：rm=aφ22displaystyle r_m=a,frac varphi ^22
- （在这里φ是黄金分割数，φ = 1+√5/2）
- （在这里φ是黄金分割数，φ = 1+√5/2）
- 注意到棱长为a的正十二面体的外接球同样外接于棱长为φa的立方体，并且其内切球半径（也即面心距）等于棱长为φa的正五边形的边心距。
对偶多面体：正二十面体
坐标系
| 顶点坐标： | |
| 橙色的顶点位于(±1, ±1, ±1)，形成了其一个内接立方体(虚线所示)。 | |
| 绿色的顶点位于(0, ±φ, ±1/φ)，形成了y–z平面上的一个黄金矩形。 | |
| 蓝色的顶点位于(±1/φ, 0, ±φ)，形成了x–z平面上的一个黄金矩形。 | |
| 粉色的顶点位于(±φ, ±1/φ, 0)，形成了x–y平面上的一个黄金矩形。 | |
| 相邻顶点间的距离是2/φ，顶点到原点的距离是√3. φ = (1 + √5) / 2是黄金分割数。 | |
如果我们以正十二面体的形心为原点建立三维直角坐标系，那么其20个顶点可被描述为：
(0,±φ,±1/φ)
(±1/φ,0,±φ)
(±φ,±1/φ,0)
(±1,±1,±1)
其中φ = (1+√5)/2，是黃金分割數，也被写作τ，约等于1.618。
该正十二面体棱长为2/φ=√5–1。其内接球半径正好为√3。
二维投影和对称性
正十二面体有两种特殊的正交投影，分别正对着其一个顶点和一个正五边形面，对应着A2和H2考克斯特平面
| 正对于 | 顶点 | 棱 | 面 |
|---|---|---|---|
| 图像 |  |  |  |
| 投影 对称性 | [[3]] = [6] | [2] | [[5]] = [10] |
在透视投影中，如果如果投影中心正在正十二面体外接球正对其一面的一点，则你能得到其施莱格尔图像，我们亦可以将其视为球面多面体而使用球极投影。这些方法也被用于可视化其四维类比正一百二十胞体，一个由120个全等的正十二面体组成的四维凸正多胞体。
| 投影 | 正交投影 | 透视投影 | |
|---|---|---|---|
施莱格尔图像 | 球极投影 | ||
正十二面体 |  |  |  |
正120胞体 |  |  |  |
几何关联
- 正十二面体是一个无穷家族——截顶偏方面体的第3个成员（截顶五偏方面体）。这类多面体可以被看作是将偏方面体在旋转对称轴上的两个相对的顶点截去而成。
- 正十二面体的星形化体构成了4个星形正多面體中的3个。
- 我们可以在正十二面体的20个顶点中选取5组这样的顶点，使任意两个顶点的连线都是正十二面体正五边形面的一条对角线，这样能构成正十二面体的内接立方体，5个内接立方体一起构成了——复合多面体——五复合立方体；我们还可以进一步对内接立方体做交错操作，得到正十二面体的内接正四面体，如果我们只在内接立方体中取一个正四面体，则5个正四面体构成了有手征性的复合多面体——五复合四面体；如果取两个，则10个正四面体构成了复合多面体——十复合四面体，这三个复合多面体都是正十二面体的小面化体。
- 正十二面体的完全对称群是正二十面体对称群Ih，考克斯特群[5,3]，群阶120，还有一个抽象群结构A5×Z2。
与其对偶——正二十面体的关系
- 当正十二面体和正二十面体内接于同一球时，尽管正二十面体有更多的面，但正十二面体占据球的体积（66.49%）要多于正二十面体占据的球的体积（60.54%），这一点与二维不同。
- 棱长相同为1的正十二面体的体积（7.663...）是正二十面体体积（2.181...）的三倍半多。
相关多面体
正十二面体在拓扑上与一系列三阶正镶嵌（顶点图为n3）有关：
多面体 | 欧式镶嵌 | 双曲镶嵌 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
 2,3     |  3,3 |  4,3  |  5,3  |  6,3  |  7,3  |  8,3  | ... |  ∞,3  |
正十二面體在拓撲上還和其它階的正五邊形正鑲嵌5,n(n≥3)有關：
多面体 | 欧式镶嵌 | 双曲镶嵌 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
 5,2 |  5,3 |  5,4 |  5,5 |  5,6 |  5,7 |  5,8 | ... |  5,∞ |
正十二面体可以通过不同类型的截取操作来得到一系列不同的半正多面体及其对偶，正二十面体，构成了正二十面体家族：
對稱群: [5,3], (*532) | [5,3]+, (532) | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| | | | | | |  |
|  |  |  |  |  |  |  |
5,3 | t0,15,3 | t15,3 | t0,13,5 | 3,5 | t0,25,3 | t0,1,25,3 | s5,3 |
| 半正多面体对偶 | |||||||
 | | | | | | |  |
 |  |  |  |  |  |  |  |
V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
顶点分布
正十二面体与4个星形半正多面体和上述3个复合半正多面体有同样的顶点分布：
 大星形十二面体 |  小双三斜三十二面体 |  双三斜二十四面体 |  大双三斜三十二面体 |
 五复合立方体 |  五复合四面体 |  十复合四面体 |
星形化体
正十二面体的3个星形化体都是星形正多面体（开普勒-普索多面体）：
| 0 | 1 | 2 | 3 | |
|---|---|---|---|---|
| 星形化体 |  正十二面体 |  小星形十二面体 |  大十二面体 | 大星形十二面体 |
| 表面图形 |  |  |  |  |
倒角多面體
| 類別 | 正多面體 | 卡塔蘭立體 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 種子 |  3,3 |  4,3 |  3,4 |  5,3 |  3,5 |  aC |  aD |
| 倒角 |  cT |  cC |  cO |  cD |  cI |  caC |  caD |
相关数学问题
哈密頓路徑的理論就是源自一個和正十二面體有關的問題：試求一條路徑，沿正十二面體的棱經過它所有的頂點。
真實世界
- 因為一年有12個月，正十二面體正好用來製作月曆。[1]
- Pariacoto virus的形狀結構是正十二面體。
- 在英國到匈牙利，至到意大利東部等地，找到過百個形狀接近十二面體、以銅或石頭製造的空心物件。它們被稱為Dodecaeder，用途不明。[2][3]
五魔方（Megaminx）就是正十二面体制作出来的魔方。
正十二面烷
化學：
硫化鐵結晶體有時會出現接近正十二面體的形狀。- 最小的富勒烯C20結構如正十二面體。
正十二面體烷C20H20是個人工合成的碳氫化合物[4]
參考文獻
 | 维基共享资源中相关的多媒体资源：正十二面體 |
^ 12 sided calendar 页面存档备份，存于互联网档案馆 ii.uib.no
^ Roman Dodecahedra georgehart.com
^ Dodecaeder 页面存档备份，存于互联网档案馆 museums.ncl.ac.uk
^ Dodecahedrane—The chemical transliteration of Plato's universe pubmedcentral.nih.gov
- 埃里克·韦斯坦因. Dodecahedron. MathWorld.
- 埃里克·韦斯坦因. Elongated Dodecahedron. MathWorld.
- Richard Klitzing, 3D convex uniform polyhedra, o3o5x – doe
- Editable printable net of a dodecahedron with interactive 3D view
- The Uniform Polyhedra
Origami Polyhedra – Models made with Modular Origami
Dodecahedron – 3-d model that works in your browser
Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
VRML models
Regular dodecahedron regular
Rhombic dodecahedron quasiregular
Decagonal prism vertex-transitive
Pentagonal antiprism vertex-transitive
Hexagonal dipyramid face-transitive
Triakis tetrahedron face-transitive
hexagonal trapezohedron face-transitive
Pentagonal cupola regular faces
- K.J.M. MacLean, A Geometric Analysis of the Five Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra
- Dodecahedron 3D Visualization
Stella: Polyhedron Navigator: Software used to create some of the images on this page.
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帕拉圖立體
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正多面體
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正多邊形鑲嵌