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虛數單位 idisplaystyle i,! 在複平面的位置。橫軸是實數，豎軸是虛數。

在數學、物理及工程學裏，虛數單位標記為idisplaystyle i,!，在电机工程和相关领域中则标记为jdisplaystyle j,，这是为了避免与电流（记为i(t)displaystyle i(t),或idisplaystyle i,）混淆。虛數單位的發明使實數系統 Rdisplaystyle mathbb R ,! 能夠延伸至复数系統Cdisplaystyle mathbb C ,! 。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如方程式x2+1=0displaystyle x^2+1=0,!就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數，那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。

定義

…displaystyle ldots

i−3=idisplaystyle i^-3=i,!

i−2=−1displaystyle i^-2=-1,!

i−1=−idisplaystyle i^-1=-i,!

i0=1displaystyle i^0=1,!

i1=idisplaystyle i^1=i,!

i2=−1displaystyle i^2=-1,!

i3=−idisplaystyle i^3=-i,!

i4=1displaystyle i^4=1,!

i5=idisplaystyle i^5=i,!

i6=−1displaystyle i^6=-1,!

…displaystyle ldots

虛數單位idisplaystyle i,!定義為二次方程式x2+1=0displaystyle x^2+1=0,!的兩個解答中的一個解答。這方程式又可等價表達為：

x2=−1displaystyle x^2=-1,! 。

由於實數的平方絕不可能是負數，我們假設有這麼一個數目解答，給它設定一個符號 idisplaystyle i,! 。很重要的一點是，idisplaystyle i是一個良定義的數學構造。

另外，虛數單位同樣可以表示為：

i=−1displaystyle i=sqrt -1,

i=−1displaystyle i=sqrt -1,往往被誤認為是錯的，他們的證明的方法是：

因為 −1=i⋅i=(−1)×(−1)=(−1)×(−1)=1=1displaystyle -1,=icdot i=left(sqrt -1right)times left(sqrt -1right)=sqrt left(-1right)times left(-1right)=sqrt 1=1,，但是-1不等於1。

但請注意：a⋅b=a⋅bdisplaystyle sqrt acdot b=sqrt acdot sqrt b,成立的條件有adisplaystyle a, bdisplaystyle b不能同時為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時，我們只需要假設idisplaystyle i,! 是一個未知數，然後依照idisplaystyle i,! 的定義，替代任何i2displaystyle i^2,! 的出現為-1 。 idisplaystyle i,!的更高整數冪數也可以替代為 −idisplaystyle -i,! ，1displaystyle 1,! ，或 idisplaystyle i,!，根據下述方程式：

i3=i2i=(−1)i=−idisplaystyle i^3=i^2i=(-1)i=-i,! ，

i4=i3i=(−i)i=−(i2)=−(−1)=1displaystyle i^4=i^3i=(-i)i=-(i^2)=-(-1)=1,! ，

i5=i4i=(1)i=idisplaystyle i^5=i^4i=(1)i=i,! 。

一般地，有以下的公式：

i4n=1displaystyle i^4n=1,

i4n+1=idisplaystyle i^4n+1=i,

i4n+2=−1displaystyle i^4n+2=-1,

i4n+3=−i.displaystyle i^4n+3=-i.,

in=inmod4displaystyle i^n=i^nbmod 4,

其中mod4displaystyle bmod 4表示被4除的余数。

i 和 −i

方程x2=−1displaystyle x^2=-1,!有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭虚数及倒數。更加确切地，一旦固定了方程的一个解idisplaystyle i，那么−idisplaystyle i（不等于idisplaystyle i）也是一个解，由于这个方程是idisplaystyle i的唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为idisplaystyle i，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然−idisplaystyle i和idisplaystyle i在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是idisplaystyle i和−idisplaystyle i之间没有质量上的区别（−1和+1就不是这样的）。如果所有的数学书和出版物都把虚数或复数中的+idisplaystyle i换成−idisplaystyle i，而把−idisplaystyle i换成+idisplaystyle +i，那么所有的事实和定理都依然是正确的。

−i2=1displaystyle -i^2=1,!

−i=i−1=1idisplaystyle -i=i^-1=frac 1i

正当的使用

虚数单位有时记为−1displaystyle sqrt -1。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立：

−1=i⋅i=−1⋅−1=(−1)⋅(−1)=1=1displaystyle -1=icdot i=sqrt -1cdot sqrt -1=sqrt (-1)cdot (-1)=sqrt 1=1   （不正确）

−1=i⋅i=±−1⋅±−1=±(−1)⋅(−1)=±1=±1displaystyle -1=icdot i=pm sqrt -1cdot pm sqrt -1=pm sqrt (-1)cdot (-1)=pm sqrt 1=pm 1   （不正确）

1i=1−1=1−1=−1=idisplaystyle frac 1i=frac sqrt 1sqrt -1=sqrt frac 1-1=sqrt -1=i    （不正确）

公式a⋅b=a⋅bdisplaystyle sqrt acdot sqrt b=sqrt acdot b仅对于非负的实数adisplaystyle a和bdisplaystyle b才成立。

为了避免这种错误，尽量不要用平方根来表示虚数。例如，我们不应使用−7displaystyle sqrt -7，而应使用7idisplaystyle sqrt 7i。

i的运算

虛數單位 idisplaystyle i 的平方根在複平面的位置。

许多实数的运算都可以推广到 idisplaystyle i ，例如平方根、冪、对数和三角函数。

idisplaystyle i的平方根为：

i=±12(1+i)displaystyle sqrt i=pm frac 1sqrt 2(1+i)^[1]

其解法為先假設兩實數xdisplaystyle x及ydisplaystyle y，使得(x+iy)2=idisplaystyle (x+iy)^2=i，求解x,ydisplaystyle x,y^[2]

这是因为：

[±12(1+i)]2 displaystyle left[pm frac 1sqrt 2(1+i)right]^2	=(±12)2(1+i)2 displaystyle =left(pm frac 1sqrt 2right)^2(1+i)^2
	=(±1)212(1+i)(1+i) displaystyle =(pm 1)^2frac 12(1+i)(1+i)
	=12(1+2i+i2)(i2=−1) displaystyle =frac 12(1+2i+i^2)quad quad quad (i^2=-1)
	=12+i−12 displaystyle =frac 12+i-frac 12
	=i displaystyle =i

以下运算均为与idisplaystyle i有关的复多值函数，在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

一个数的nidisplaystyle ni次方为：

 xni=cos⁡ln⁡xn+isin⁡ln⁡xn.displaystyle ! x^ni=cos ln x^n+isin ln x^n.

一个数的nidisplaystyle ni次方根为：

 xni=cos⁡ln⁡xn−isin⁡ln⁡xn.displaystyle ! sqrt[ni]x=cos ln sqrt[n]x-isin ln sqrt[n]x.

利用歐拉公式

ii=[ei(π2+2kπ)]i=ei2(π2+2kπ)=e−(π2+2kπ)displaystyle i^i=left[e^i(frac pi 2+2kpi )right]^i=e^i^2(frac pi 2+2kpi )=e^-(frac pi 2+2kpi )

其中k∈Zdisplaystyle kin mathbb Z

最小的解(k=0)displaystyle (k=0)是e−π/2displaystyle e^-pi /2或近似值0.20787957635076...^[3]

Zdisplaystyle mathbb Z 代表整數集，代入不同的kdisplaystyle k值，可計算出無限多的解。

以idisplaystyle i为底的对数为：

logi⁡x=2ln⁡xiπ.displaystyle log _ix=2ln x over ipi .

idisplaystyle i的余弦是一个实数：

cos⁡i=cosh⁡1=e+1e2=e2+12edisplaystyle cos i=cosh 1=e+frac 1e over 2=e^2+1 over 2e

idisplaystyle i的正弦是纯虚数：

sin⁡i=isinh⁡1=e−1e2i=e2−12eidisplaystyle sin i=,isinh 1=e-frac 1e over 2,i=e^2-1 over 2e,i

在程式語言

• 大部分的程式語言都不提供虛數單位，且平方根函數(大多為sqrt()或Math.Sqrt())的引數不可以是負數，因此，必須自行建立類別後方可使用。


• 但Lisp的许多实现与方言，如Common Lisp，内建虚数和复数的支持。不少动态语言受其影响，也在语言本身或标准库中支持虚数和复数，如Python、Ruby。


• 一些传统编程语言，如C语言，也从C99开始支持虚数和复数。


• 在Matlab，虛數單位的表示方法為i或j，但i和j在for迴圈可以有其他用途。


• 在Mathematica，虛數單位的表示方法為I、𝕚或𝕛。


• 在Maple，必須啟用虛數功能，並選擇用i還是j表示虛數單位。

註解

参见

• 代數基本定理


• 虚数


• 复平面


• 单位根


• i

参考文献

• Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部链接

• 欧拉对多项式的复数根的研究


• 
  i作為-1的平方根（英文視頻）^{[永久失效連結]}


• 
  i7321displaystyle i^7321,的計算方法舉例（英文視頻）