值域

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在数学中，函数的值域（Range）是由定义域中一切元素所能產生的所有函數值的集合。有时候也称为函数的像。


给定函数f:A→Bdisplaystyle f:Arightarrow Bf:Arightarrow B，集合f(A)displaystyle f(A)f(A)被称为是fdisplaystyle ff的值域，记为Rfdisplaystyle R_fdisplaystyle R_f。值域不应跟陪域Bdisplaystyle BB相混淆。一般来说，值域只是陪域的一个子集。




目录





  • 1 例子


  • 2 求函数值域

    • 2.1 基本方法

      • 2.1.1 观察法


      • 2.1.2 不等式法


      • 2.1.3 反函数法


      • 2.1.4 复合函数法


      • 2.1.5 配方法


      • 2.1.6 判别式法


      • 2.1.7 图像求值




  • 3 相关条目




例子


假设函数fdisplaystyle ff为定义在实数上的函数：


f:R→Rdisplaystyle f:mathbb R rightarrow mathbb R f:mathbb Rrightarrow mathbb R

定义为


f:x↦x2displaystyle f:xmapsto x^2f:xmapsto x^2

fdisplaystyle ff的陪域为Rdisplaystyle mathbb R mathbb R ，但明顯地f(x)displaystyle f(x)f(x)不會取到负数值，因此，事实上值域只是非负实数集合R+∪0displaystyle mathbb R ^+cup 0mathbb R^+cup 0，即区间[0,∞)displaystyle [0,infty )[0,infty )：



0≤f(x)<∞displaystyle 0leq f(x)<infty 0leq f(x)<infty 。


求函数值域


求函数值域，尤其是复合函数的值域时，首先要对基本的初等函数的定义域和值域充分了解，其次要灵活运用基本不等式。



基本方法


初等函数的值域求法一般为：


  1. 观察法

  2. 不等式法

  3. 反函数法

  4. 复合函数法

  5. 配方法

  6. 判别式法

  7. 图像求值


观察法


例如：y=3−xdisplaystyle y=3-sqrt xy=3-sqrt x


由x≥0displaystyle sqrt xgeq 0sqrt xgeq 0


⇒−x≤0displaystyle Rightarrow -sqrt xleq 0Rightarrow -sqrt xleq 0


所以值域为(-∞,3]。



不等式法



反函数法


先求得所要计算的函数的反函数，则反函数的定义域即为原函数的值域。


例如：y=x3displaystyle y=sqrt[3]xy=sqrt[ 3]x


它的反函数为x=y3displaystyle x=y^3x=y^3


反函数的定义域为：(−∞,+∞)displaystyle (-infty ,+infty )(-infty ,+infty )


则原函数y=x3displaystyle y=sqrt[3]xy=sqrt[ 3]x的值域为：(−∞,+∞)displaystyle (-infty ,+infty )(-infty ,+infty )



复合函数法



配方法


主条目：配方法


判别式法



图像求值


画出連續函数的图像，则函数图像纵轴的最小值和最大值（若有）组成的区间即为函数的值域。



相关条目


  • 陪域

  • 定义域

  • 单射

  • 满射

  • 双射

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