实函数

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实函数（Real function），指定义域和值域均为实数集的子集的函数。實函數的特性之一是可以在坐標平面上畫出圖形。




目录





  • 1 定義

    • 1.1 定義域


    • 1.2 像與值域


    • 1.3 代數結構



  • 2 參見




定義


一個實函數 f 是一個把實數（一般以 x 表示）映射到另一實數（函數的值，一般以 f(x) 表示）的函數。換句話說，實函數是一個函數 f:X→Rdisplaystyle f:Xto mathbb R displaystyle f:Xto mathbb R ，當中 Xdisplaystyle XX 是 Rdisplaystyle mathbb R R 一個包含至少一個開集的子集（可以等於 Rdisplaystyle mathbb R R）。


定義於所有非負實數的平方根函數便是一個例子：f:X→Rdisplaystyle f:Xto mathbb R displaystyle f:Xto mathbb R ，當中 X=x∈R:x≥0displaystyle X=xin mathbb R :xgeq 0displaystyle X=xin mathbb R :xgeq 0 是所有非負實數的集合及對所有 x∈Xdisplaystyle xin Xxin X，f(x)=xdisplaystyle f(x)=sqrt xdisplaystyle f(x)=sqrt x。



定義域


一個實函數的定義域未必總是明確寫出。對任一定義域為 X 的實函數 f 和任一 X 的子集 Y，可定義 f 對 Y 的限制函數 f|Y。其定義域為 Y 而對所有 Y 的元素，函數的取值維持不變。若 Y 是 X 的真子集，這兩個函數理論上並不相同，但往往可將兩者視為等同。


相反，有時函數的定義域可透過解析延拓或利用函數的連續性擴大。由此可見，明確指出實函數的未必有明顯價值。



像與值域


函數 f 的值域是指當 x 可取定義域內任何值時，f(x) 所有可能取值的集合。若 f 是連續實函數而其定義域是一個區間，那麼它的值域也會是一個區間（除非 f 是常數函數，此時其值域將是一點）。


對任何實數 y，方程式 y=f(x) 所有實數解的集合稱為 y 的原像。



代數結構


實函數之間的運算可如下定義：


  • 對任意實數 r 及實函數 f，可定義兩者的積 rf:x↦rf(x)displaystyle rf:xmapsto rf(x)displaystyle rf:xmapsto rf(x)。若 r 不等於 0，則此函數的定義域與 f 相同。

  • 對任何兩個實函數 f 和 g，可定義兩者的和 f+g:x↦f(x)+g(x)displaystyle f+g:xmapsto f(x)+g(x)displaystyle f+g:xmapsto f(x)+g(x) 及積 fg:x↦f(x)g(x)displaystyle fg:xmapsto f(x)g(x)displaystyle fg:xmapsto f(x)g(x)。兩者的定義域均為 f 和 g 的定義域的交集。

由此，所有定義於全部實數和所有定義於某一特定區間的實函數分別組成 Rdisplaystyle mathbb R R 上的結合代數（也因此組成一個向量空間），其中加法和乘法單位元分別為常數函數 0f:x↦0displaystyle 0_f:xmapsto 0displaystyle 0_f:xmapsto 0 及 1f:x↦1displaystyle 1_f:xmapsto 1displaystyle 1_f:xmapsto 1。


雖然對任意實函數 f 可定義 1/f:x↦1/f(x)displaystyle 1/f:xmapsto 1/f(x)displaystyle 1/f:xmapsto 1/f(x)，但由於此函數的定義域不包含所有使得 f(x)=0 的 x 值，它不一定等於 f 的定義域，所以上述代數結構不構成一個體。



參見


  • 實分析
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